抛物线最值问题的解题策略

■河南省许昌高级中学 孙英环

抛物线是圆锥曲线的一种,了解抛物线的定义、几何图形及其标准方程和性质,让同学们主动寻找已有方法去研究所面对的新对象,并在再次利用解析几何一般方法的基础上,进一步深化对一般方法的理解,以提升同学们的直观想象与数学建模能力。抛物线的最值问题历来是高考的热点之一, 常以填空题或解答题出现。下面就最值问题中常见题型及方法进行总结,引导同学们在平时的学习中学会总结反思。

一、巧用抛物线的定义求最值

例1设点P是抛物线y2=4x上的一个动点。

(1)求点P到A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值;

(2)已知点B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值,并求取得最小值时点P的坐标。

解析:(1)如图1,易知抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,由抛物线的定义知点P到直线x=-1的距离等于点P到焦点F的距离。于是,问题转化为在抛物线上求一点P,使点P到点A(-1,1)的距离与点P到点F(1,0)的距离之和最小。显然,连接AF交抛物线于点P,此时距离之和最小,最小值为

图1

(2)如图2,过点B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P,则|PQ|=|PF|。此 时|PB|+|PF|取得最小值,最小值为3+1=4。

图2

因为点B(3,2),所以设点P的坐标为(x0,2)。代入抛物线方程y2=4x,得22=4x0,解得x0=1。此时点P的坐标为(1,2)。

反思点评:(1)利用抛物线的定义把抛物线上的点到准线的距离转化成它到焦点的距离,快速求解;(2)利用抛物线的定义把抛物线上的点到焦点的距离转化成它到准线的距离,同时看清命题意图。

例2已知直线l1:4x-3y+11=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是_____。

解析:如图3所示,过点P分别作PM⊥l1,PN⊥l2,垂足分别为M,N。

图3

设抛物线的焦点为F(1,0),由抛物线的定义可得|PN|=|PF|。

故|PM|+|PN|=|PM|+|PF|,当M,P,F三点共线时,|PM|+|PF|取得最小值,其最小值为点F到直线l1的距离,即

反思点评:利用抛物线的定义把抛物线上的点到两条直线的距离之和转化成点到直线的距离,化陌生为熟悉。

二、巧用转化求最值

例3求抛物线y2=x上的点到直线x-2y+4=0的距离的最小值及此时点的坐标。

解析:(方法一)

设(t2,t)为抛物线上一点,则d=

(方法二)

设与直线x-2y+4=0 平行且与抛物线相切的直线为x-2y+b=0。

故切线方程为x-2y+1=0,切点为(1,1)。

切点到直线x-2y+4=0的距离最小,最小值为

反思点评:方法一把抛物线上的点到直线距离的最值问题转化成二次函数的最值问题,大大降低了难度;方法二平移直线,让直线和抛物线相切,求切点坐标,把抛物线上的点到直线距离的最值问题转化成点到直线的距离问题,从而求解。

例4已知M是抛物线y2=2x上一点,N是圆x2+(y-2)2=1关于直线x-y=0对称的曲线C上任意一点,则|MN|的最小值为____。

解析:圆x2+(y-2)2=1 的圆心为(0,2),半径为1。

易知圆心(0,2)关于直线x-y=0对称的点为C(2,0)。

所以曲线C的方程为(x-2)2+y2=1。

设M(x,y)(x＞0),则|MC|2=(x-2)2+y2。

又y2=2x,所以|MC|2=(x-2)2+y2=x2-2x+4=(x-1)2+3。

当x=1时,|MC|2min=3,|MC|min= 3。

所以|MN|min= 3-1。

反思点评:结合对称问题把抛物线上的点到圆上点的距离的最值问题转化为抛物线上的点到圆心的距离减去半径,把复杂的问题简单化。

例5已知抛物线C:x2=8y的焦点为F,过点P(0,-1)斜率为k(k＞0)的直线l与抛物线C交于A、B两点,AB的中点Q到x轴的距离为3,若M是直线l上的一个动点,E(3,0),则||MF|-|ME||的最大值为____。

解析:设直线l的方程为y=kx-1(k＞0),A(x1,y1),B(x2,y2)。

所以x1+x2=8k,

则yQ=kxQ-1=4k2-1。

因为AB的中点Q到x轴的距离为3,所以4k2-1=3,k＞0。

解得k=1,则直线l的方程为y=x-1。

易知点F关于直线l的对称点为F'(3,-1)。

所以||MF|-|ME||=||MF'|-|ME||≤|EF'|=1,当M在射线F'E与直线l的交点时,取等号。

反思点评:利用对称的关系,求出焦点F关于直线l的对称点F'(3,-1),||MF|-|ME||的最大值就转化成EF'的长。

三、巧解复杂的最值问题

例6在平面直角坐标系xOy中,抛物线G的准线方程为y=-2。

(1)求抛物线G的标准方程;

(2)过抛物线的焦点F作互相垂直的两条直线l1和l2,l1与抛物线交于P,Q两点,l2与抛物线交于C,D两点,M,N分别是线段PQ,CD的中点,求△FMN面积的最小值。

解析:(1)设抛物线标准方程为x2=2py,其中p＞0,由题意得,解得p=4,则焦点F(0,2)。

故抛物线G的标准方程为x2=8y。

(2)F(0,2),由题意知直线l1,l2的斜率都存在且不为0。

如图4,设直线l1的方程为y=kx+2,P(x1,y1),Q(x2,y2),则直线l2的方程为y

图4

例7已知抛物线C:y2=4x的焦点F,过F分别作直线l1与抛物线C交于A,B两点,作直线l2与抛物线C交于D,E两点,若直线l1与l2的斜率的平方和为1,则|AB|+|DE|的最小值为____。

解析:抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),准线l:x=-1。设直线l1与l2的斜率分别为k1,k2,k1k2≠0,且k21+k22=1。

所以|AB|+|DE|的最小值为24。

高考命题围绕数学本质,从不同角度、不同层次进行考查,试题变化的是情境,不变的是数学本质。分析其中的“变”,查找变化因素,分析变化原因,可以不断提高同学们的数学素养。分析其中的“不变”,抓住事物本质,总结反思,提升同学们的思维能力。