同步发电机定子-绕组系统耦合振动特性

摘 要：针对同步发电机定子-绕组系统耦合振动问题，重点研究了发电机定子-绕组系统的一、二次强迫耦合振动特性。首先建立了发电机铁心和绕组系统的力学解析模型，推导得到了定子铁心所受的磁拉力解析表达式、定子绕组所受的电磁力解析表达式，分析两种载荷各自的激励特性和相互间的耦合特性、定子铁心和定子绕组的振动响应特性。然后，在有限元仿真软件中建立了发电机三维全局模型并进行了机-电-磁多场耦合仿真计算，得到了铁心与绕组的载荷激励数据和力学响应数据。最后，利用YC-3型一、二次强迫振动耦合实验机组，对绕组所受到的一次强迫振动、二次强迫振动和一、二次强迫耦合振动特性进行验证。结果表明，发电机运行时定子-绕组系统激励及其一、二次强迫振动均为耦合加成关系，端部绕组耦合激励/耦合振动主要包括直流分量和二倍频成分，且直流分量和二倍频成分的幅值大于仅受单一激励下的幅值。

关键词：同步发电机；定子-绕组系统；定子磁拉力；绕组电磁力；耦合振动

DOI：10.15938/j.emc.2024.11.002

中图分类号：TM311

文献标志码：A

文章编号：1007-449X（2024）11-0012-13

Coupling vibration characteristics of stator-winding system in synchronous generators

XU Mingxing^1，2， HE Yuling¹， ZHANG Wen¹， DAI Derui¹， FU Zixiang¹， WAN Shuting¹

（1.Hebei Engineering Research Center for Advanced Manufacturing and Intelligent Operation and Maintenance of Electric Power Machinery， North China Electric Power University， Baoding 071000，China; 2.Baoding Key Laboratory of Intelligent Measurement and Control and Industrial Interconnection， Hebei Software Institute， Baoding 071000， China）

Abstract：Regarding the issues of synchronous generator stator-winding system coupling vibration， the research focuses on the first and second forced coupling vibration characteristics of the generator stator-winding system. Firstly， the mechanical analytical model of the generator core and winding system was established， and the stator core magnetic pull force analytical expression and stator winding electromagnetic force analytical expression were derived to analyze the excitation characteristics of the two kinds of loads and their mutual coupling characteristics， as well as the vibration response characteristics of the stator core and stator winding. Then， a three-dimensional global model of the generator was established in finite element simulation software and the mechanical-electrical-magnetic multi-field coupling simulation was carried out， and the load excitation data and mechanical response data of the stator core and the winding were obtained. Finally， the first forced vibration， second forced vibration and first and second forced coupled vibration characteristics of the windings subjected to in the YC-3 type first and second forced vibration coupling experimental set were verified. It is shown that the stator-winding system excitation and its first and second forced vibrations during generator operation are both coupled and additive. The coupled excitation/coupled vibration of the end winding mainly consists of DC component and 2nd frequency component， and the amplitude of DC component and 2nd frequency component is larger than that of the single excitation only.

Keywords：synchronous generator; stator-winding system; stator magnetic pull; winding electromagnetic force; coupling vibration

0 引 言

发电机组作为电网系统的关键组成部分，在电网运行过程中发挥着重要作用。通常发电机组的自动保护系统根据振动幅度和绕组温度的阈值控制来执行保护操作，且电枢绕组的剧烈振动将严重影响能量转换效率并降低发电机的使用寿命，然而，发电机在实际运行过程中许多因素都将加剧绕组的振动。因此，对发电机绕组振动的监测和抑制受到越来越多的关注^[1]。

以定子端部绕组为例，由于其独特的结构和在发电机运行过程中的重要作用，其剧烈的振动已成为发电机发生故障的主要原因之一^[2-]。到目前为止，已有许多学者对定子端部绕组的振动特性做出了出色的研究工作。例如在正常工况中，文献[4-6]基于有限元分析计算了端部绕组的磁场分布与端部绕组电磁力的分布，并通过结合集成方法得到了转子端部的漏磁场和绕组电磁力，最后通过实验进行了验证，以此来评估端部绕组的振动特性。随后，研究人员进一步研究了发电机在偏心、短路以及偏心和短路复合故障下的端部绕组受力及振动特性^[7-8]。

由于计算机技术的快速发展，有限元软件不断得到改进，具备了更高的计算精度和效率。因此，在更先进的有限元软件的辅助下，绕组电磁力在端部绕组上的详细分布^[9]、绕组电磁力引起的端部绕组的振动响应^[10]及其特性^[11]得到了更深入的研究。更重要的是，如何在有限元软件中建立更适合振动分析的端部绕组新模型^[12]、优化端部绕组结构设计方案^[1]以及确定端部绕组振动特性^[8，10-11]已成为新的研究课题。

现有研究已经针对端部绕组受力及振动做了大量的工作，但以往的研究工作主要集中在单一的端部绕组电磁场特性以及由其引起的绕组振动。显然对于发电机中各部件相互联系的复杂机械系统，其端部绕组的振动不可能仅由电磁力作用引起。Patel和Butler于二十世纪八十年代就已提出定子铁心-绕组系统可以等同于2个自由度系统的论点^[14]。不仅绕组电磁力会引起端部绕组振动，而且铁心振动也会通过定子绕组的直线段传递到端部绕组。因此，端部绕组的振动在发电机中应为耦合振动。

基于上述分析，在研究定子端部绕组的振动特性时，也应考虑定子铁心的振动特性。对于定子铁心的振动特性，也有很多学者进行了非常详细的研究。例如，文献[15]为克服解析法和有限元法在电磁力波计算中的缺点，提出一种电磁力波的快速准确计算方法。文献[16]提出一种解析方法用于计算定子铁心的振动特性，克服了当前有限元计算耗时太长等缺点，并验证得到了两者分析结果误差小于5%。以上研究为定子振动特性的分析提供了重要参考，但未提及定子振动对端部绕组的影响。尤其是未考虑定子-绕组的激励耦合特性与振动响应特性。

本文以定子铁心-绕组系统的耦合振动为出发点，通过理论解析、有限元计算和动模实验验证探索直线段绕组二次强迫振动（定子铁心传递）与端部绕组一次强迫振动（电磁力激发）的耦合作用机制，为电机设计者对耦合振动下绝缘磨损退化风险位置进行定位、针对性地进行特殊的工艺处理及相关绕组制造、安装工艺的改进提供理论参考。

1 理论分析

1.1 物理模型

简化后的铁心-绕组力学激励的耦合物理模型如图1所示，端部绕组为类似悬臂梁结构，直线段绕组为类似多支撑弹性简支梁结构。

由于与端部绕组相连的直线段绕组嵌装在铁心中，不同运行状态将引发定子铁心产生不同程度、不同规律的振动，并通过直线段绕组将振动传递至端部绕组。相当于整个定子绕组在端部承受电磁力激励产生振动的同时，还将承受直线段部分传递的来自于定子铁心所施加的强迫振动（其本质激励源为定子铁心在不同运行状态下所受的磁拉力）。因此，根据系统结构及所受约束的特点得到二力学自由度的定子-绕组精简结构模型，如图2所示。

图2中：Fw为端部绕组电磁力；K1表示刚度；D1表示阻尼；yw（t）为端部绕组振动的位移矩阵，用来反映绕组总体变形量；m1表示定子铁心质量；Fs为定子铁心所受磁拉力；K2为刚度；D2为阻尼；ys（t）为定子铁心振动的位移矩阵，用来反映振幅即总体变形量；m2表示绕组质量。在发电机正常运行时Fw和Fs总是同时存在，即yw（t）和ys（t）之间存在一定的耦合关系。系统的动力学方程为：

F′（t）=Ma;

F′（t）=F（t）－FK（t）－FD（t）；

F（t）=Fw（t）Fs（t）；

FK（t）=Ky（t）=k1+k2－k2－k2k2yw（t）ys（t）；

FD（t）=Dy·（t）=D1+D2－D2－D2D2y·w（t）y·s（t）；

M=m100m2；

a=y··（t）=y··w（t）y··s（t）。（1）

式中：K为刚度矩阵；D为拉线作用的阻尼矩阵；M为质量矩阵；FK（t）和FD（t）分别是由弹性弹簧和阻尼提供的抵抗力矩阵；F（t）为激励载荷矩阵；y（t）为位移矩阵。

虽然已将实际系统化简为多自由度系统，但研究其振动的幅值波动仍具有一定难度。因此对分析过程进行了简化，意图通过激励特性来映射振动特性。即从系统的受力入手进行分析。实际上，由于技术条件的限制，这种力很难测量，因此常通过测量加速度来反应力的振动，这是因为力与绕组的加速度成比例，具体参考式（1）。

1.2 电磁力与铁心磁拉力

对定子铁心所受磁拉力与定子绕组所受电磁力这两种激励关联耦合效应进行分析与求解。其中：定子铁心的材料为硅钢片，是一种典型的导磁体，定子铁心所受的磁拉力属于磁场力的一种（典型特征为受力体不通电）；而定子绕组材料一般为铜，是典型的导电体，他受到的电磁力（安培力）为另一种形式的磁场力（典型特征为受力体通电）。其中，气隙磁通密度作为计算电磁力和铁心磁拉力的关键参量，可由气隙磁动势^[17]与磁导^[18]相乘获得。即气隙磁通密度为

B（αm，t）=f（αm，t）Λ（αm，t）=

Fccos（ωt－pαm－β）Λ0。（2）

式中：Fc为气隙合成磁动势；Λ0为单位面积气隙磁导。

由图3可知，发电机转子为实心圆柱体结构，而定子为对称空心壳体结构。在正常运行时合力相互抵消，故定子振动只能用其铁心磁拉力来反映^[19]，因此，定子振动借由内圆面所受铁心磁拉力表达，可表示为

q（αm，t）=B（t）22μ0=［Λ0Fccos（ωt－pαm－β）］22μ0=

F2cΛ204μ0［1+cos（2ωt－2pαm－2β）］。（3）

对于定子铁心磁拉力，可以将其理解为磁体对于导磁体的引力。再根据定子铁心结构，可以得到定子铁心在磁场中的受力与变形，如图3所示。

根据图1与图4所示的绕组结构及其受载示意图，端部绕组电磁力^[20]为

Fs（αm，t）=∫l0Bl（αm，t）i（αm，t）cosαlsinβldl=

∫l0Bl（αm，t）［B（αm，t）Lv/Z］cosαlsinβldl=

ηB2（αm，t）Llv/Z=

12F2cΛ20ηLlv［cos（2ωt－2pαm－2β）+1］/Z。（4）

式中：Bl（αm，t）为发电机端部磁通密度，数值上为B（αm，t）与削弱系数η的乘积，其中0lt;ηlt;1；i为电流；L为绕组直线部分的长度；l为绕组渐开线部分轴向长度；αl为端部绕组某点磁通密度与该点法线的夹角；βl为端部绕组某点法线与转子轴线的夹角；v为直线段绕组切割磁感线的速度；Z为阻抗。

发电机在无故障时磁场呈对称分布，如图5所示。在1个周期内发电机内部磁场变化可以分解为4种特殊时刻的状态，如图6所示。

由图6可得，1对极同步发电机直线段绕组电磁力方向总是在切向和径向之间来回切换。具体来说，发电机从状态1变为状态3时，转子旋转了180°，同时绕组电流方向也发生了改变。根据左手定则可得出直线段绕组电磁力方向为切向，如图6（a）和图6（c）所示；同理，发电机从状态2变为状态4时，直线段绕组电磁力方向为径向（垂直于圆心向外）。根据电磁力方向的变换次数，可直观地得出绕组电磁力的频率为发电机工频（50 Hz）的两倍（100 Hz）。

1.3 耦合特性

所研究的发电机以系统工频旋转。由式（3）和式（4）可知，忽略高次谐波后，电磁力和磁拉力存在同频成分（直流分量和二倍频成分）。铁心磁拉力与绕组电磁力为同频关系，将其看作2个同频的周期信号。但因为磁拉力与电磁力作用对象不同，不能直接耦合，在实际的发电机中，定子铁心将受到磁拉力而产生振动，振动将通过绕组直线段传递到端部，而端部也会受到电磁力的作用而产生与传递的振动同频的振动，故实际发电机绕组与铁心的关系为振动（位移）耦合。为简化计算，将定子铁心传递至端部绕组的振动简化为一个力作用在端部绕组上而产生的振动，此力为传递力q1，如图7所示。故绕组的振动可看作传递力与电磁力耦合作用后的结果。另外，近似认为传递力与定子铁心磁拉力一致。

首先，通过对传递力与绕组电磁力的互相关分析获取两种激励的相位差确定两者的关系。设两信号分别为x（t）和y（t），且其表达式为：

x（t）=A1sin（ωt+θ）;y（t）=A2sin（ωt+θ+φ）。（5）

由于x（t）、y（t）具有相同的周期，故两者符合同频相关，其互相关函数为

Rxy（τ）=limT→∞1T∫T0x（t）y（t+τ）dt=

1T0∫^T00A1sin（ωt+θ）A2sin［ω（t+τ）+θ+φ］dt=12A1A2cos（ωτ+φ）。（6）

式中T0为两列信号的周期。

在互相关函数Rxy（τ）中，不仅保留了相位差φ的信息，而且完整保留了两信号的ω及A的信息。利用该方法，将式（6）中的x（t）和y（t）用端部绕组电磁力和传递力代入发现两者时间上的相位差为0。

根据力的合成原理，得到发电机绕组受载情况示意图，如图7所示。进而得到绕组的合力表达式为

|F|=|q1+Fs|=

|q1|2+|Fs|2－2|q1‖Fs|cos（π－φ）=

Z2+4η2L2l2v2μ20+4ηLlvμ0Zcosφ=

F2cΛ20［1+cos（2ωt－2pαm－2β）］4μ0Z×

Z2+4η2L2l2v2μ20+4ηLlvμ0Zcosφ。（7）

其中：

|q1|=F2cΛ204μ0［1+cos（2ωt－2pαm－2β）］；

|Fs|=ηF2cΛ20Llv2Z［1+cos（2ωt－2pαm－2β）］。（8）

式中φ为传递力与绕组端部电磁力夹角。

由图8可得，传递力与绕组端部电磁力夹角φ与发电机绕组节距有关，由发电机结构可得

φ≤y2360°z≤τ2360°z=z2p2360°z=90°p。（9）

式中：p为极对数；z为定子槽数；τ为极距，2个磁极之间的距离，通常采用定子槽数来表示；y为绕组节距，绕组线圈两条直线边间隔的距离，可用定子槽数来表示。

所以当发电机确定后，传递力与绕组端部电磁力夹角也就随之确定了，且其一般小于90°。传递力与绕组端部电磁力矢量图如图9所示，结合时域相位差与分析的空间关系可以推断出系统的激励为加成耦合关系，故振动也应为加成关系。

2 有限元仿真

2.1 研究对象及设置

根据河北省电力机械装备健康维护与失效预防重点实验室的CS-5型故障模拟发电机参数进行了三维有限元建模，如图10（a）所示。为了与实验机组保持一致，有限元仿真通过设置外接电路使发电机在额定工况下运行，如图10（b）所示。发电机的关键参数如表1所示。

经过有限元仿真分析后，将得到的计算结果导入另一个模块中，计算绕组机械响应，数据导入过程如图10（c）所示。

2.2 仿真分析

从图11中可以看出，当转子逆时针旋转180°从图11（a）状态1变为图11（c）状态3时，直线段绕组电磁力与端部绕组电磁力大小和方向均未发生巨大改变。另外，直线段绕组电磁力方向虽然未能严格指向转子切向方向，但大部分电磁力方向仍保持一致，始终朝向转子转动方向。端部绕组电磁力方向与直线段绕组电磁力方向相比有些许变化，其与绕组切线垂直且远离发电机端部，并与端部呈锐角。此外，从图11（b）状态2变为图11（d）状态4时，转子依然转动了180°，并且从图中可以看出直线段绕组电磁力的方向始终沿径向方向（垂直于圆心向外），端部绕组电磁力与绕组切线垂直且指向远离轴线方向。

从图11中可以发现，从状态1到状态4实际上就是发电机转子的一个旋转周期。在这个旋转周期内，绕组电磁力的方向跟随转子的转动变化了2次，由此可得绕组电磁力的频率为100 Hz。图11与图6基本保持一致，说明对定子绕组电磁力的仿真较好地验证了理论推导的准确性。

同样在图12中，定子铁心所受磁拉力随着转子磁极转动而发生变化，在状态1和状态3中，定子铁心各部位所受磁拉力大小几乎一致，方向皆沿径向并指向圆心；同理，状态2和状态4亦是如此。从状态1到状态4定子铁心磁拉力在发电机的一个转动周期内变换了2次。可以得出定子铁心磁拉力与绕组电磁力频率一致，即都为100 Hz。显然，图12所得结果与图3理论分析结果一致。

为了更加直观地表示绕组变化趋势，利用仿真软件中的“probe”探针工具，并在绕组中选择了5个测点对绕组变形量进行分析。具体位置如图10（d）所示，其中，测点1和测点5位于直线部分与渐开线部分的连接处，测点2和测点4位于渐开线部分的中间位置，测点3位于绕组鼻端。不同激励导致的绕组变形量如图13、图14和图15所示。将图13、图14和图15中的变形值进行总结整理，如图16所示。图16中图例“电磁力”为定子绕组电磁力导致的变形量幅值，简称一次强迫振动。“磁拉力”为定子铁心磁拉力导致的定子端部绕组变形量幅值，简称二次强迫振动。“耦合”则是定子绕组电磁力和定子铁心磁拉力同时施加，即传递力与电磁力耦合激励下的绕组变形量幅值，简称一、二次强迫耦合振动。

从图16中可以看出无论在何种状态下，“耦合”激励下的形变量幅值总是最大。且在4种状态下，“耦合”作用下5个测点的变形量也为最大值。仿真分析结果可以得出一次强迫振动与二次强迫振动为耦合加成关系，与理论结果基本一致。

3 样机试验

3.1 实验设置

为实现对一次强迫振动和二次强迫振动的单独模拟，作者设计并制作了YC-3型一、二次强迫振动耦合实验机组。该机组能够将绕组电磁力和定子铁心磁拉力进行分离。由于端部绕组的受力情况复杂、模拟难度大，而定子铁心上某处的振动变化近似于正弦，模拟定子铁心磁拉力将更为容易，所以从定子铁心所受磁拉力沿径向的特点入手设计实验方案。设计了一个树脂材料“铁心”（近似空气磁路），利用激振器径向激振“铁心”来模拟定子铁心磁拉力，如图17（a）所示。

在实验中设置四对极发电机的转速为750 r/min，系统工频为50 Hz。发电机绕组作为一个闭合回路，在旋转磁场中作切割磁感线运动，绕组回路中产生感应电动势，从而在绕组中产生电流。最后通电导体在旋转磁场中产生力的作用，即绕组电磁力。

具体实验验证方法为：

1）机组运行，激振器不工作，获取绕组在电磁力激励下的振动响应。由于定子铁心为树脂材料不导磁，不会因铁心受磁拉力而引发电磁振动，此时测得的绕组振动即为电磁力所激发的振动，见图17（b）。

2）机组不运行，将不同方案下的定子磁拉力波形作为输入，使激振器对树脂材料定子铁心进行激励，获得绕组二次强迫振动响应，见图17（c）。

3）机组运行，激振器也运行（树脂定子），见图17（f），此时测得的绕组振动即为一、二次强迫耦合振动。

4）机组运行，激振器不运行（硅钢片定子），见图17（e），此时测得的绕组振动即为天然耦合振动（一、二次强迫耦合振动），见图17（d）。

5）对比前面4种情况下测得的振动响应，验证其是否符合合成规律，具体实验方案见表2。

在实验过程中激振器频率设置为系统工频的2倍，100 Hz，即可模拟由磁拉力引起的定子铁心振动，并将振动传递到绕组。YC-3型机组实验中发电机绕组的振动数据由压电陶瓷双屈曲梁（piezoelectric ceramic bimorph，PCB）加速度传感器测取，且传感器布置位置与有限元仿真中测点3（见图10（d））位置相同，都位于端部绕组鼻端。

3.2 实验分析

通过表2中实验方案4得到的硅钢片材料定子（常规发电机）的端部绕组振动加速度如图18所示。通过调节激振力的大小，直至方案3中的端部绕组振动加速度具体数值与方案4相同，如图19（c）和图19（f）所示（实验数据提取转换幅值存在微小差异，可忽略不计），此时激振力的大小为5 N。类似的在方案2中设置激振力大小为5 N，以模拟作用在定子绕组上的传递力（忽略定子为树脂材料自身物理、机械性能在二次强迫振动和一、二强迫耦合振动的影响）。

如图19所示，端部绕组振动的主要频率成分为二倍频，与仿真和理论得到的特征频率成分一致；此外，由图19可知一、二次强迫耦合振动在径向方向的幅值总是大于单独的强迫振动。实验结果证明了系统的一、二次强迫振动为加成耦合关系。

取状态1中的端部绕组测点3在不同激励下的变形幅值与测试的振动进行对比，如图20所示，可以发现在耦合情况下端部绕组的变形量和加速度为最大。与理论推导结果基本一致。

4 结 论

本文通过理论推导、有限元仿真计算和实验验证对同步发电机额定运行工况下定子-绕组系统的一、二次强迫耦合振动特性进行了分析，结论如下：

1）定子-绕组系统的一次强迫振动的激励源为绕组电磁力，二次强迫振动的激励源为定子铁心磁拉力，其二者的主要频率成分均为二倍频。

2）发电机运行时，直线段绕组电磁力方向总是在径向和切向间来回切换。

3）定子-绕组系统合力振动的耦合关系为加成关系。合力振动主要包含直流分量和二倍频成分，且频率成分幅值都大于仅受单一激励下的幅值。

4）无论转子在何种状态，5个测点变形量在耦合激励情况下总是最大。

本研究将有助于更全面地了解发电机的性能和振动特性，尤其是定子铁心磁拉力与电枢绕组电磁力之间的相互作用。研究内容能够给发电机绕组振动磨损和绝缘保护提供宝贵的参考依据。

下一步工作将进一步分析绕组在电磁力激励下振动响应导致的绝缘磨损规律，找出绝缘破坏的危险位置点，以期在制造装配过程中有针对性地对危险位置进行特殊工艺处理，实现绝缘磨损的主动预防。

参 考 文 献：

［1］ 肖阳，宋金元，屈仁浩，等.变频谐波对电机振动噪声特性的影响规律[J]. 电工技术学报，2021，36（12）： 2607.

XIAO Yang， SONG Jinyuan， QU Renhao， et al. The effect of harmonics on electromagnetic vibration and noise characteristic in inverter-duty motor[J]. Transactions of China Electrotechnical Society， 2021， 36（12）： 2607.

［2］ LETAL J， SATMOKO B， MANIK N. Statorend-winding vibration in two-pole machines： avoiding generator failure [J]. IEEE Industry Applications Magazine， 2020， 26（6）： 29.

［3］ KREISCHER C. Modern methods to monitor end winding vibrations in turbo-generators [J]. COMPEL-The International Journal for Computation and Mathematics in Electrical and Electronic Engineering， 2019， 38（4）：1214.

［4］ 赵洋，刘晋珲，肖洋，等. 大型汽轮发电机定子端部绕组物理参数识别及数学模型建立方法研究 [J]. 振动与冲击， 2024， 43 （5）： 202.

ZHAO Yang， LIU Jinhui， XIAO Yang， et al. Identification of physical parameters and establishment of mathematical model for stator end winding of large turbogenerator[J]. Journal of Vibration and Shock， 2024， 43（5）：202.

［5］ 王頲，杨震，赵洋，等. 大型发电机端部绕组电磁力物理数字孪生建模[J].计算机集成制造系统，2024，30（9）：2998.

WANG Tian， YANG Zhen， ZHAO Yang， et al. Digital twin modelling of electromagnetic-force physics for large turbo-generator stator-end winding [J]. Computer Integrated Manufacturing Systems， 2024， 30（9）：2998.

［6］ 赵洋，何乐，刘晋珲，等. 基于近似模型的大型汽轮发电机定子端部绕组动力响应预测研究 [J]. 振动与冲击， 2023， 42（21）： 81.

ZHAO Yang， HE Le， LIU Jinhui， et al. Dynamic response predietion of large turbo-generator stator end winding based on approximate model[J].Journal of Vibration and Shock， 2023，" 42（21）： 81.

［7］ 何玉灵，徐明星，张文，等. 气隙静偏心故障对永磁风力发电机定子绕组振动的影响 [J]. 中国工程机械学报， 2024， 22 （1）： 83.

HE Yuling， XU Mingxing， ZHANG Wen， et al. Impact of static air gap eccentricity fault on stator winding vibration in permanent magnet wind generator [J]. Chinese Journal of Construction Machinery， 2024， 22（1）： 83.

［8］ XU Mingxing， HE Yuling， ZHANG Wen， et al. Comprehensive investigation of winding mechanical properties in generators under RISC： Impact of position， degree， and eccentricity [J]. IEEJ Transactions on Electrical and Electronic Engineering， 2024， 19（11）：1842.

［9］ 乔长帅，唐赢武，钟博.牵引电机定子端部绕组电磁力计算分析[J].电机技术，2020（5）：15.

QIAO Changshuai， TANG Yingwu， ZHONG Bo. Calculation and analysis of electromagnetic force in stator end winding of traction motor[J]. Electrical Machinery Technology， 2020（5）： 15.

［10］ HE Yuling， XU Mingxing， ZHANG Wen， et al. Impact of stator interturn short circuit position on end winding vibration in synchronous generators[J]. IEEE Transactions on Energy Conversion， 2021， 36（2）： 713.

［11］ DAI Derui， HE Yuling， XU Mingxing， et al. Mechanical properties and insulation damage of PMSG stator end windings with eccentricity considerations[J]. Alexandria Engineering Journal， 2024， 105：156.

［12］ IGA Y， TAKAHASHI K， YAMAMOTO Y. Finite element modelling of turbine generator stator end windings for vibration analysis[J]. IET Electric Power Applications， 2016， 10（2）：75.

［13］ ZHAO Y， YAN B， ZENG C， et al. Optimal scheme for structural design of large turbogenerator stator end winding[J]. IEEE Transactions on Energy Conversion， 2016， 31（4）：1423.

［14］ PATEL M R， BUTLER J M. End-winding vibrations in large synchronous generators[J]. IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems， 1983， 102（5）：1371.

［15］ 邢泽智，王秀和，赵文良，等.表贴式永磁同步电机电磁激振力波计算与定子振动特性分析[J].中国电机工程学报， 2021， 41（14）： 5004.

XING Zezhi， WANG Xiuhe， ZHAO Wenliang， et al. Calculation of electromagnetic force waves and analysis of stator vibration characteristics of surface mount permanent magnet synchronous motor [J]. Proceedings of the CSEE， 2021， 41（14）： 5004.

［16］ 屈仁浩，蒋伟康.电机定子铁心振动特性分析的一种解析方法[J].振动与冲击， 2021， 40（3）： 81.

QU Renhao，JIANG Weikang. An analytical method for vibration characteristics analysis of motor stator core [J]. Journal of Vibration and Shock， 2021， 40（3）： 81.

［17］ HE Yuling， JIANG Mengya， SUN Kai， et al. Comprehensive analysis on rotor vibration characteristics based on a novel dynamic stator interturn short circuit model of synchronous generator [J]. IEEE Transactions on Energy Conversion， 2024， 39（3）： 1658.

［18］ 何玉灵，雷欢，张文，等. 三维气隙偏心对同步发电机转子铁心温度特性的影响 [J].电力自动化设备， 2021， 41（7）： 196.

HE Yuling，LEI Huan，ZHANG Wen，et al. Impact of three-dimensional air gap eccentricity on rotor core temperature of synchronous generator [J]. Electric Power Automation Equipment， 2021， 41（7）： 196.

［19］ 何玉灵，孙凯，孙悦欣，等. 气隙轴向静偏心对发电机定子-绕组受载及振动的影响[J].振动工程学报， 2022， 35（3）： 745.

HE Yuling， SUN Kai， SUN Yuexin， et al. Impact of axially static air-gap eccentricity on load and vibration of stator-winding system in generator [J]. Journal of Vibration Engineering， 2022， 35（3）： 745.

［20］ 何玉灵，张文，张钰阳，等. 发电机定子匝间短路对绕组电磁力的影响[J].电工技术学报，2020，35（13）： 2879.

HE Yuling， ZHANG Wen， ZHANG Yuyang， et al. Effect of stator inter-turn short circuit on winding electromagnetic forces in generators[J]. Transactions of China Electrotechnical Society， 2020， 35（13）： 2879.

（编辑：刘琳琳）