简谐运动的深度剖析——以机械振动常考题型为例

江秋萍

(福建省漳州第一中学)

简谐运动在生产生活中应用比较广泛,但学生对简谐运动的直接体验较少,而简谐运动的知识规律抽象、难懂。本文深度挖掘简谐运动的特征,剖析运动本质,旨在帮助学生更深刻地认识简谐运动规律,厘清思路,快速寻找解题入手点。本文从简谐运动的相关物理量推理、典型例题解析、解题思路归纳总结三个角度对简谐运动的知识点进行梳理,引导学生由浅入深、由表及里地分析和解决问题,培养科学的学习方法,让学生真正理解物理学科内涵,提高物理核心素养。

一、简谐运动的相关物理量推理

(一)简谐运动周期公式

如图1所示,小球从最高点开始做匀速圆周运动,经过t时间,转过的圆心角为θ,则θ=ωt,小球做匀速圆周运动的向心力大小为F=mω2A(A为矢量圆的半径),小球的水平分运动是简谐运动,说明向心力的水平分力在提供小球水平方向做简谐运动的回复力,即F回=mω2Asinθ。

图1 矢量圆的水平分运动为简谐运动

简谐运动回复力与位移关系F回=-kx。(这里负号仅代表回复力与位移方向相反)

小球水平投影的位移为x=Asinθ

(二)简谐运动能量公式

小球圆周运动的线速度大小v=ωA

纵观高中物理,能量的本质较为抽象,且很大程度上是通过能量的守恒体现出来的。其推理的中间过程比较烦琐,但结论相对固定,故而在高中阶段可以考虑将“能量本质观”做隐形处理,并将其作为二级结论来使用。以下从简谐运动的两个常见模型进一步验证简谐运动的能量公式。

1.弹簧振子模型

图2 水平弹簧振子

2.单摆模型

如图3所示,不可伸长的轻绳上端系在天花板上,下端悬挂一个质量为m的小球,摆长为l,不计空气阻力,则单摆在摆动过程中的机械能等于摆球的重力势能和动能的总和。假设小球在摆动过程中最低点处为零势能点,则小球在摆动到最高点时所具有的重力势能为Epm=mgl(1-cosθ)

图3 单摆

(三)回复力系数k值的物理意义

(四)简谐运动对称性思想和振动图像问题

图4 简谐运动x-t图像

二、典型例题解析

1.(2023·山东卷改编)(多选)如图5所示,沿水平方向做简谐振动的质点,依次向右通过相距L的A、B两点。已知质点在A点的位移大小为振幅的一半,B点处于最大位移处,质点向右经过A点时开始计时,t时刻第一次经过B点,该振动的振幅和周期可能是

( )

A.2L,3tB.2L,6t

图5

【答案】BC

【试题分析】本题截取简谐振动的部分运动为情境,分析质点可能的运动情况,求解相应的振幅和周期,考查的必备知识包括简谐运动的周期性和对称性问题,主要考查学生的理解能力、模型建构能力、以及学科素养中的物理观念和科学思维,突出考查基础性和应用性特点。

图6

由题意可知tb-ta=t

解得T=6t

解得A=2L

图7

tb-ta=t

解得T=3t

2.(2022·湖南卷改编)下端附着重物的粗细均匀木棒,竖直浮在河面,在重力和浮力作用下,沿竖直方向做频率为1 Hz的简谐运动,与此同时,木棒在水平方向上随河水做匀速直线运动,如图8(a)所示。以木棒所受浮力F为纵轴,木棒水平位移x为横轴建立直角坐标系,浮力F随水平位移x的变化如图8(b)所示。已知河水密度为ρ,木棒横截面积为S,重力加速度大小为g。则x从0.21 m到0.25 m的过程中,木棒加速度方向竖直________(填“向上”或“向下”),大小逐渐________(填“增大”或“减小”),木棒在竖直方向做简谐运动的振幅为________。

图(a)

【试题分析】本题以木棒在水中做简谐运动为背景,考查了简谐运动的加速度变化规律和振幅的求解。主要考查学生构建理想模型的意识和能力、分析论证能力以及利用F-x图像灵活处理信息能力。培养学生的关键能力和必备品格,即能够应用知识解决实际问题的能力,形成严谨的科学态度与责任。

【解题思路】木棒在竖直方向做简谐运动,由简谐运动的对称性可知,0.1 m、0.3 m、0.5 m时木棒处于平衡位置,x从0.21 m到0.25 m的过程中,木棒从平衡位置上方向下运动(未到平衡位置),位移竖直向上,加速度竖直向下,大小逐渐变小。

【解题技巧】通过简谐运动的证明,可以将k值求解出来,这对于简谐运动周期和振幅的求解有重要意义。原题还对图8(b)进行深度考查,学生会误认为这幅图为波动图,实际上这是一幅振动图像,图像表示的是同一根木棒在不同位置对应不同时刻所受的浮力大小,浮力最大时,木棒处在最低点处,浮力最小时,木棒处在最高点处。而木棒的实际运动速度是由竖直方向的简谐运动和水平方向随水流做匀速直线运动的矢量叠加。

( )

图9

B.小球的最大加速度为g

【参考答案】D

【试题分析】本题以弹簧振子模型为背景,考查简谐运动的动力学特征和能量问题。涉及的必备知识包括机械能守恒定律、牛顿运动定律和对称性思想。主要考查学生的理解能力、建模能力、推理能力,突出考查知识的应用性。

【解题技巧】简谐运动的最大回复力与振幅有关,F回max=-kx,此时|x|=A,可以求得简谐运动的振幅A,再利用简谐运动总能量公式可以求动能、势能等物理量。

4.(多选)如图10所示,半径为R的光滑圆弧槽和半径为4R的光滑圆弧槽在B处平滑相连,两圆弧槽的曲率圆圆心O1、O2连线为同一竖直线且过B点。质量为m的小球半径为r,r≪R。小球在A处(摆角θ约为5°)由静止释放,沿两圆弧槽内表面做来回运动,在右侧曲面上最远能运动到C点。已知重力加速度为g,则下列说法正确的是

( )

图10

A.小球在B点两侧圆弧槽内的运动均为简谐运动

C.小球在B点两侧所走的最大弧长相等

D.若摆球在平衡位置右侧的最大摆角为α,则θ=2α

【参考答案】ABD

【试题分析】本题以等效单摆的摆长可变为情境,涉及的必备知识为单摆的周期公式和能量公式,通过能量守恒算出两个圆弧槽上的振幅关系。主要考查学生的理解能力、推理能力和知识的迁移应用能力,培养学生核心素养中的科学观念,形成物质观、运动观和能量观的素养。

三、简谐运动解题思路归纳总结

求解简谐运动问题的思路如下:

本文通过引导学生深度学习简谐运动的特点和相应题型的解题思路,其核心是对简谐运动概念的深度理解,最终目的在于使学生达到高阶思维、能够灵活应用知识解决实际问题的能力。物理学家劳厄曾说过:“重要的不是获取知识,而是发展思维能力,教育无非是一切都忘掉的时候所剩下来的东西。”教师在一线教育教学中可以对知识难点进行深度剖析,引导学生通过深度学习来提高学生的科学思维能力,使学生打下扎实物理的基础内容,掌握基本规律,更好地将知识点迁移和应用,提高学生的物理核心素养。