一堂双曲线的性质探究课实录及反思

吕成杰

［摘 要］双曲线是一种具有重要意义的二次曲线，教材对双曲线的性质只作了初步的研究，基于此，教师在教学中应积极引导学生对双曲线的性质进行深入探究，以激发学生的探究意识，培养其创新精神，促使学生将知识转化为能力与素养。

［关键词］双曲线的性质；探究；反思

［中图分类号］    G633.6            ［文献标识码］    A          ［文章编号］    1674-6058（2023）30-0010-03

在现行高中数学教材中，双曲线是一种极其重要的二次曲线，其性质得到了初步的研究，包括双曲线的渐近线、离心率与图象的对称性。然而，由于篇幅限制，教材并未对双曲线的其他重要性质进行深入研究。在教学中，教师应积极引导学生对双曲线的性质进行深入探究，以激发学生的探究意识，培养学生的创新精神，促使学生将知识转化为能力与素养。基于此，笔者上了一堂双曲线的性质探究课，现将其整理如下，以供同仁指教。

一、教学过程

（一）回顾复习，引出课题

师：我们已经学习了双曲线的简单的几何性质，其中包括双曲线[x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]的图象具有对称性，有两条渐近线[y=±bax]；渐近线与双曲线既不相交，也不相切。请同学们思考下面的问题。

问题1：直线[y=kx+m]与双曲线[x2a2-y2b2=]1 （[a>0，b>0]）最多有几个交点？

（让学生独立思考5分钟，然后相互交流。）

生1：我认为最多有四个交点。原因是双曲线由两支曲线组成，只需让这条直线与每一支曲线都有两个交点即可。

生2：我认为最多有两个交点。这是因为无论是椭圆还是双曲线，它们均属于二次曲线，而二次曲线与直线的交点数最多只有两个。因此，双曲线与直线也最多有两个交点。

师：两位同学说的似乎都有道理，还有同学补充的吗？

生3：我认为直线与双曲线最多有两个交点。可以将直线与双曲线的交点问题转化为对应的方程组的解的问题。因为通过消元法将方程组[y=kx+m，x2a2-y2b2=1]变形得到的一元二次方程最多有两个相异实根，因而对应的方程组最多有两组解。

师：非常棒！通过对这个问题的探究，我们再次体会到研究解析几何问题的基本策略——数形结合与方程思想的重要性。

师：从刚才的讨论中，我们发现双曲线看似简单，却隐藏着许多秘密。本节课就让我们一起来深入挖掘一些教材上没有提及的双曲线的性质。

（二）着眼定义，与圆“联动”

师：在数学问题的研究中，定义是根本。从定义出发，往往可以得到许多意想不到的性质，请同学们思考下面的问题。

问题2：若P为双曲线上一点，以焦半径[PF1]为直径的圆与以实轴为直径的圆有怎样的位置关系？

学生借助数形结合的方法分组讨论，得出的结论是这个两个圆是外切的，并给出如下证明：

如图1，记[PF12=r]，当点[P]在双曲线的左支上时，依据双曲线的定义，两圆圆心距为[d=OM=PF22=2a+PF12=a+PF12=a+r]，故两圆外切。因此，以焦半径[PF1]为直径的圆与以实轴为直径的圆外切。

同理，当点[P]在双曲线的右支上时，[OM=r-a]，所以，以焦半径[PF1]为直径的圆与以实轴为直径的圆内切。

师：请同学们从双曲线的定义出发再来探究以下问题。

问题3：设[P]为双曲线上一点，则[△PF1F2]的內切圆与实轴有怎样的位置关系？

由于有了问题2的铺垫，学生很快发现该内切圆与实轴相切，且切点是双曲线上点[P]的同侧的顶点，学生的证明过程如下：

如图2，由切线长定理：[F1S+F1T=PF1-PF2+F1F2=2a+2c]，[F1S=F1T=a+c]，而[F1T=a+c=F1A2]，[T]与[A2]重合，故内切圆与[x]轴切于右顶点，同理可证P在其他位置的情况。于是，当[P]为双曲线上一点，则[△PF1F2]的内切圆必切于与[P]在同侧的顶点。

（三）联立方程，“动”中探“定”

师：双曲线定值问题是一类常考的综合性较强的解析几何问题，这类问题能考查大家的逻辑思维能力、数学运算能力和解题自信心与毅力。请同学们尝试解决下面的问题。

问题4：过双曲线[x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]上任一点[A（x0，y0）]任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于[B、C]两点，则直线[BC]的斜率是定值吗？

学生探究：由数学直观可知，直线[BC]的斜率应该是定值，那定值的表达式是怎样的呢？

有学生建议采用从特殊到一般的探究方法，把原问题改成：过双曲线[x23-y24=1]上一点[A（3，22）]任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于[B、C]两点，则直线[BC]的斜率是多少？算得结果后，再用类比推理的方法得出一般性结论。

有学生反对这种做法，该部分学生认为符合题意的情况多且复杂，不易通过类比得出结论，还不如直接推理。

经过一番讨论后，学生认为对待定值问题应该具体问题具体分析，从特殊到一般虽然是求解探究性问题的好方法，但不适用于本题，应该直接推理。那么如何推理呢？学生一致认为，对于本题应采取联立方程组并对有关未知数“设而不求”的方法。学生的解答如下：

通过引导学生对圆锥曲线中倾斜角互补的有关斜率问题进行研究得到了双曲线的又一个性质：过双曲线[x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]上任一点[A（x0，y0）]任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于[B、C]两点，则直线[BC]定向且[kBC=-b2x0a2y0]（常数）。

（四）分组讨论，合作探究

师：同学们，我们刚才研究了与双曲线相关的某些性质。那么双曲线是否还具有其他性质呢？下面请大家以学习小组为单位，合作探究。

学生分组探究，积极讨论。教师巡视，并解答学生在探究中遇到的问题。10分钟后学生交流成果。

小组1：我们小组从双曲线的定义出发，探讨了双曲线与相关圆的关系，得出如下结论：

（1）双曲线焦点三角形中，以焦半径为直径的圆与以双曲线实轴为直径的内切或外切。

（2）双曲线两焦点到双曲线焦点三角形内切圆的切线长为定值[c+a]与[c-a]。

小组2：我们小组研究了双曲线中的定值问题，经过讨论，得出如下结论：

经过双曲线[x2a2-y2b2=1]（[a>0]，[b>0]）的实轴的两端点[A1]和[A2]的切线，与双曲线上任一点的切线相交于[P1]和[P2]，则[P1A1·P2A2=b2]。

小组3：我们小组研究了与双曲线焦点弦有关的问题，通过作图与运算得到如下两个结论：

（1）双曲线的一条直径（过中心的弦）的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之长的比例中项。

（2）过双曲线一个焦点[F]的直线与双曲线交于两点[P、Q]，而[A1、A2]为双曲线实轴上的顶点，[A1P]和[A2Q]交于点[M]，[A2P]和[A1Q]交于点[N]，则[MF⊥NF]。

小组4：我们小组研究了“相似双曲线”，发现：

设A，B为双曲线[x2a2-y2b2=k]（[a>0]，[b>0]，[k>0]，[k≠1]）上两点，其直线[AB]与双曲线[x2a2-y2b2=1]相交于[P、Q]两点，则[AP=BQ]。

师：同学们都展示了自己小组的研究成果，这些成果都正确吗？请大家课后各小组相互交流并对这些结论加以证明。

二、教学反思

在教材中，对于双曲线的性质并没有进行深入研究。如果教师不引导学生进行拓展，那么学生的思维能力以及对双曲线的性质的认识只能处于浅层次的水平，只能解一些基础题。而高考对于双曲线的掌握程度要求颇高，不仅考查学生的逻辑推理能力，还考查学生的数学运算能力。此类考题往往属于压轴题，尤其是定值定点问题备受命题者青睐。因此，无论是从高考的角度，还是从提高学生数学素养的角度，引导学生对双曲线性质进行深度研究都是十分有必要的。教师具体该如何引导学生进行探究呢？笔者以为，教师应抓住三个“度”。

1.控制探究问题的难度。对于双曲线性质探究难度的把握，必须依据教材，紧扣教学内容，充分考虑学生的认知水平。教师可以从课本的例题和习题出发，也可通过类比其他双曲线的性质，从中得出相关问题引导学生探究。

2.把握探究问题的梯度。受思维水平的影响，学生一开始分析具有一定深度的问题还是存在困难的。因此，教师要根据学生的思维水平，提出具有一定梯度的问题，以便学生能够通过努力解决问题，实现“跳一跳就可以摘桃”。否则，会挫傷学生探究的积极性。

3.关注学生的参与度。在数学探究课中，“研究”的成分相对较多，而学生在认知水平上存在个体差异，因此教师不仅要关注学优生的探究兴致，同时也要关注学困生的学习情绪，引导学生人人参与探究。为了实现这个目标，教师既要把学生的学习看成个人行为，鼓励学生独立思考，也要让学生学会合作，集思广益，通过优等生联动学困生，从而实现全体学生的共同发展。

［   参   考   文   献   ］

［1］  岳绪彬.双曲线焦点三角形内心的性质及其应用［J］.中学数学，2022（3）：58-59.

［2］  李进，杨海燕.问题串引领下的深度学习：以“双曲线的性质”教学为例［J］.高中数学教与学，2022（2）：36-37，35.

［3］  朱志栋.基于核心素养下的教学设计：以双曲线的几何性质为例［J］.中学数学，2022（1）：32-34.

［4］  杨海燕.问题“明”导思考 同构“暗”导思维：以“双曲线的几何性质”的教学为例［J］.中小学数学（高中版），2021（11）：58，64.

［5］  宁锐，高俊翔.以新探旧，推陈出新：基于“双曲线”探究课的创新实践［J］.数学教学，2019（2）：21-25.

（责任编辑    罗    艳）

［基金项目］本文系陕西省教育科学“十四五”规划2022年度课题“新高考背景下信息技术对高中数学课堂有效性影响的研究”（课题编号：SGH22Y0054）的阶段性研究成果。