基于改进变结构趋近律的机械臂滑模控制系统

宋涛涛，李艳萍，李洪港，韩春雪

（山东建筑大学信息与电气工程学院，山东 济南 250101）

0 引 言

机械臂是一个典型的不稳定、非线性、多变量且具有强耦合性的控制系统［1］，在各种场景都具有广泛的应用属性。在装配、钻孔、打磨等各个领域，都需要机械臂高精度的轨迹跟踪。但是作为一个复杂性的被控对象，机械臂本身具有模型难确定和易受干扰影响的缺点，使得标准的数学模型较难确定下来。常见的控制器如PID 控制在受到外部干扰时，其动态特性和稳定性难以控制。因此，为了保证机械臂的控制效果，国内外的学者提出了许多类型的控制算法，比如鲁棒控制［2-4］、自适应控制［5］、滑模控制［6-7］、模糊控制［8-9］、智能优化算法控制［10-11］和多种控制策略结合［12-13］。其中滑模控制（SMC）以其抗干扰能力强、易实现和控制效果良好的特点得到了广泛的应用。但是，滑模控制的切换特性使得机械臂存在着抖振现象，造成控制精度下降，使系统的鲁棒性下降。因此消除抖振现象势必能够提高系统的控制效果。

为了解决滑模控制器内部存在的抖振和收敛速度问题，各领域的学者提出了各种优化方法。文献［14］使用改进饱和函数来替代传统切换函数，在保证饱和宽度下，调整指数因子削弱抖振，提高控制精度。但是由于误差为非零值，系统的鲁棒性减弱。文献［15］利用幂次趋近律和反双曲正弦函数设计了一种新型变结构幂次趋近律，设计了一种自适应滑模控制减弱了高频震颤现象。但是收敛时间较长，逼近效果降低。文献［16］提出了一种功率指数趋近律降低了到达滑模面的抖振效应，减少了到达时间，但未考虑非线性复杂系统的应用。文献［17］通过分块RBF 逼近模型的滑模控制方式，针对不同阶段的趋近律进行设计，降低了跟踪误差。文献［18］结合双幂次趋近律和双曲正切趋近律的特点，提出改进趋近律对系统的抖振做出了有效控制，但收敛速度仍然存在一定的降低。

考虑到传统滑模控制的趋近律切换函数会造成系统的抖振现象，并且在趋近滑模面的过程是渐进收敛的原因，本文在反双曲正弦函数和快速幂次趋近律的特点上设计一种改进变结构趋近律来提高收敛速度和削弱系统的抖振。本文利用快速幂次趋近律的特点，在远离滑模态时以较大的速度趋近滑模态，同时在趋近滑模时以较小的控制增益趋近滑模态，以降低抖振。同时，当趋近滑模态时，利用反双曲正弦函数光滑连续的特性可使系统在有限时间内到达滑模面，加快收敛速度。通过动力学搭建机械臂数学模型，利用神经网络的万能逼近特性，逼近线性系统的非线性部分、不确定项和未知扰动，可以有效地补偿控制器的干扰。通过Matlab/Simulink 对控制算法进行实现，对比其他控制方法，验证了该改进趋近律在加快系统收敛速度和降低抖振方面具有有效性和可行性。

1 机械臂模型描述

拉格朗日法［19］通过计算控制系统的动能和势能，分别对广义坐标和其导数求导得标准公式为：

式中：L=K-P，K为系统的总动能，P为系统的总势能；θi和θ̇i分别为各个关节的角度和角速度，τi为各个关节的驱动力矩。

图1 为二自由度的旋转机械臂，图中忽略了关节连接处质量。令连杆1 和连杆2 的质量分别为m1与m2，连杆的长度分别为l1与l2，连杆1 与x面的夹角为θ1，连杆2与连杆1的夹角为θ2。设连杆的重心位于连杆中心处，通过拉格朗日方程建立数学模型为：

图1 二自由度机械臂模型

其中，M（θ）为正定的质量惯性矩阵［20］，C(θ，θ̇)为哥氏力、离心力矩阵，G（θ）为重力矩阵，τd为阻力矩，μ为机械臂的输入力矩。

性质1惯性矩阵M（θ）为对称的正定矩阵，存在正数m1、m2且满足以下条件：

性质2Ṁ(θ) - 2C(θ，θ̇)是一个斜对称矩阵，满足：

求解式（2）中参数为：

表1为本系统中进行仿真时的参数表。

表1 机械臂参数

2 控制器设计

2.1 滑模函数

假设机械臂的期望轨迹角度为θd，实际角度为θ，定义期望轨迹与实际轨迹之间的误差e和其导数ė为：

将滑模函数定义为线性滑模函数：

取：

2.2 趋近律设计

滑模控制的运动过程主要分为2个阶段［21］：趋近运动和滑模运动。趋近运动过程是系统在任意的初始状态逐渐逼近到滑模面的过程，而趋近律可以体现在趋近的速度。同时典型的趋近律有：

1）等速趋近律：

其中，系数δ表示趋近滑模面的速率。由式（12）可知，δ越大，则速率越低，δ越小，速率越高，但是抖振会有所增加。

2）指数趋近律：

指数趋近律具有较大的趋近速度，能够快速到达滑模面，但是仅依靠指数项无法保证能在有限的时间内到达滑模面，因此需要增加等速趋近律项。在趋近滑模面速度不为零的前提下可以保证趋近过程在有限时间内可达，并且可以增大ε的同时减小δ，降低消减系统的抖振。

3）幂次趋近律：

可以通过调整γ的值来调整系统趋近于滑膜面，当接近滑模面的时候，可以保证具有较小的增益，以降低抖振。虽然比较平滑，但是趋近的速度会有所降低。同时指数趋近律的指数项具有快速趋近的特点，增加指数项能够提升到达滑模态趋近速度。符号函数sgn（s）虽然具有较快的收敛速度，但是抖振的影响较为明显。本文结合反双曲正弦函数arsinh（s）的顺滑特性和分段函数的精准控制条件对趋近律进行改进，如下所示：

式中，α>1，β∈（0，1），δ1、δ2、ε1、ε2、k1、k2为趋近律的正系数参数。

收敛性证明：

当在初始条件下，运动点偏离滑模面较大时，运动点会被 |s|> 1 项控制，α占据主导作用，同时幂次趋近律保证快速趋近滑模面。当 |s|≤1 时，β占据主导作用，仍然使靠近滑模面时依然有快速的趋近速度。同时反双曲正弦函数arsinh（s）保证了趋近过程的顺滑性，降低了抖振的影响。在相同条件下，本文对等速趋近律、幂次趋近律、快速幂次趋近律和改进变结构趋近律趋近过程进行对比实验，如图2所示。

图2 滑模相轨迹

由图2 可以看出，改进变结构趋近律在远处和靠近滑模面都表现出了快速趋近的特性，在趋近的同时还能有效地降低系统抖振现象。

3 神经网络设计

径向基函数（RBF）神经网络［23］是一种基于生物神经的数据处理模型，模拟神经元的传递方式进行不断的学习，其中神经网络包含节点和连接的阈值。RBF 是一种监督学习网络，具有收敛速度快、可以逼近非线性函数的特点。RBF的分层图如图3所示。

图3 RBF神经网络结构

由式（11）可知f代表模型信息，同时在运动过程中，需要对其进行非线性逼近。设置输入为xk=[x1x2…xn]，k∈{1，2}，其中η为输入变量x的维数。本文中的核函数选择高斯函数hj，即式（17），其中，m为隐含层的个数。

其中，a为m×n的矩阵，b为标准化的常系数，W为阈值构成的系数矩阵，f（x）为输出矩阵。采用神经网络的输出来逼近机械臂的模型中的f，设得到输出的逼近结果为f̂(x)，则得式（19）：

代入式（18）得：

式中，Kv为正控制系数，v为用来补偿RBF的误差ε和干扰的力矩τd的鲁棒项。取：

将式（20）与式（21）代入式（10）可得：

4 稳定性分析

李雅普诺夫（Lyapunov）稳定性［24］可以描述一个动力系统的稳定性。如果该动力系统在任意初始状态下能够回归到平衡态，则称为李雅普诺夫稳定。本文定义李雅普诺夫（Lyapunov）函数L为：

其中，tr 为矩阵的求迹运算；H为斜对称矩阵diag（h1，h2，…，h2m），且hi>0。对两边求导得：

取自适应律̇为：

代入公式（26）和数学模型的性质1，可得到斜对称物理特性，sT(Ṁ - 2C)s= 0。

由于sT(ε+τd+v) ≤0 可得L̇≤0。且L>0 属于正定，L̇≤0 属于半负定，证明根据LaSalle 不变性定理，当且仅当s=0，L̇=0，即闭环系统属于渐进稳定。

5 仿真分析

本文设置2 杆角度的初始位置为θ=[3.0 2.0]T，而二自由度机械臂的目标期望轨迹角度设置为：θd=[2 sin(0.2πt) 2 sin(0.2πt)]T；干扰项参数设置为：τd=[0.1 sin(t) 0.1 sin(t)]T，误差项ε=[0.1 0.1]T和正常系数参数Κv= diag(100,100)。同时令RBF 神经网络的输入取：x=[ed ėd θd θ̇d θ̈d]T，高斯函数的中心点c= 0.5[-2 -1 0 1 2]T，令标准化系数常数b=3，H=diag（100，100，…，100）。本文通过基于重力补偿的PID、等速趋近律、快速幂次趋近律与改进变结构趋近律之间进行控制对比实验，针对2 轴机械臂模型进行实验仿真。机械臂的角度和角速度的跟踪仿真结果如图4~图7所示。

图4 关节1角度跟踪

通过Simulink 搭建仿真模型，对模型进行轨迹跟踪分析。如图4和图5所示，针对角度跟踪效果，基于改进的趋近律相较于传统PID 控制、等速趋近律控制和快速趋近律控制逼近速度更快，波动性较低。

图5 关节2角度跟踪

由图6 和图7 可知，改进分组趋近律对角速度的跟踪效果良好。且由图8 和图9 的误差效果比较可知，改进型变结构趋近律误差收敛速度更快，保证在较短的时间内快速回归到误差零点，能够有效地降低抖振，而PID 和等速趋近律收敛速度较慢，快速幂次趋近律存在速度收敛较慢且具有一定的抖振现象。

图6 关节1角速度跟踪

图7 关节2角速度跟踪

图8 关节1误差曲线

图9 关节2误差曲线

6 结束语

本文建立了一种二自由度机械臂的模型，通过分析机械臂，代入已知参数，计算拉格朗日方程，得到机械臂的数学模型和状态方程。基于等速趋近律和幂次趋近律，提出了改进型变结构趋近律方法。分析了其抖振特性和趋近速率，验证了其能够有效地削弱系统的抖振现象和提高趋近速度。基于Lyapunov 稳定性理论证明了系统必然趋于稳定，通过仿真结果表明改进趋近律有着更快的趋近速度和降低抖振的特性。