刍议高中数学解题中构造函数法的应用

赵帅

摘  要：近几年，随着素质教育的不断推行，学生的综合素质得到了更多的关注。数学作为一种抽象、有理论意义的学科，在高中阶段是一个重要而又困难的课题。学生在求解数学问题时，由于问题的复杂性，求解的方法和步骤比较烦琐，因此影响了求解的效率和精确度。为了优化求解过程，教师教授了各种特定的解法。构造函数法是一种常见的问题求解方式，可以较好地解决某些困难的类型问题，从而进一步提升学生的数学学习能力。基于此，文章在分析构造函数法基本含义的基础上，对其在高中数学问题求解中的一些应用进行了探讨，以达到提高问题求解效率的主要目标。

关键词：高中数学；解题方法；构造函数法

构造函数法是一种应用于高中数学中的转换思想，主要是把复杂、抽象的问题转换成常见的问题，从而使问题更容易得到解答。在实际中，学生必须先对已有的数学问题进行分析，用构造函数法进行算术、方程和向量的构造，再根据问题的条件给出求解的办法。在高中数学中，构造函数法是一种具有多重特点的解题方式，需要学生掌握相应的解题方法。

一、构造函数法概述

构造函数法就是运用函数的概念和属性来构造一个辅助函数，在该过程中，要找出辅助函数中能反映主题特性的功能，并利用功能的特性来解决问题。构造函数法是一种更具弹性、创意的问题解决模式，学生必须遵守下列准则：首先，构造函数法一定要和原来的任务相联系；其次，建立一个主题要比原来的问题处理简单得多；最后，构造函数法要符合最初的主题，如单调性、奇偶性、周期性等，同时还应对条件、结论等进行分析。在此基础上，学生需要对构造出的函數逻辑进行优化，并依据对象的具体情况对其进行整合，从而达到设计的目的。

在问题解决期间，学生所建立的功能要符合下列需求：首先，函数一定要和最初的问题联系在一起。其次，所建立的构造函数一定要比普通的方法更易于处理。函数必须符合问题的范围，如单调性、奇偶性、周期性等，避免出现功能上的错误。最后，函数的构造要基于任务条件。在构造函数时，学生必须对句子的条件、结论、特征进行分析，然后根据题目情况对问题进行重组，得到问题的解题方法，该方法更符合逻辑，便于求解，适用面广，在高中数学教学中是一种非常有效的教学手段。

二、构造函数法的基本内涵

通过对高中数学问题的大量实践研究可知，运用设计的思想与方法来解决高中数学问题，可以极大地减少数学问题的复杂性。学生通过对数学基本问题的梳理，对数学内容的分析，运用新的函数、图形等方法，能够使数学中的抽象、复杂、模糊问题变得具体、简单、清晰，并能使数学中的一些简单问题得到解答。构造函数法是一种特殊的函数形式，可以有效地求解复杂的数学问题。对此教师要对问题进行深入解析，建立相关的功能关系，并将所构造的功能与题目相结合，对问题进行全面的分析、分类，以保证学生在数学问题中应用该方法。

为了更清楚地了解问题的不确定性，减少问题的复杂程度，学生可以用新的图形、方法或功能对问题进行分析，并运用数学方法来解决问题，这也是一种结构化的方法。结构化的方法是一种灵活、有创意的解决问题的方式，而构造法则是以功能的方式来解答问题。问题的求解方法是创建与初始任务紧密联系的功能，然后对功能进行分析和系统化，从而得到正确的结果。

在运用构造函数法求解数学问题的过程中，要注意到，数学的功能一定要具备下列特点：第一，建立一个功能，必须和最初的问题相结合；第二，要保证所建立的功能比原来的方法简单；第三，构造函数法必须能解决周期性、奇偶性、单调性、值字段等问题，从而有效避免构造器的错误；第四，要与主题内容相结合，建构对应的功能架构；第五，在建立函数时，必须注意条件、结论、特征等。要对建议进行分析，不要只考虑逻辑、观点等，可以根据题目情况，将其重新组合，从而得到具有建设性作用的问题。

三、高中数学解题中构造函数法的应用意义

（一）提升学生对函数的认知

在高中数学教学中，函数教学是较为重要的一部分。然而，由于传统教学模式中，教师对函数知识的讲解较为单一，导致学生对函数知识的认知较为肤浅，无法进一步提升学生的学习效率。因此在高中数学教学中，教师需要对学生加强讲解函数知识。而通过构造函数法教学可以帮助学生进一步掌握函数的概念与性质，进而提升了学生的数学素养。教师要积极地引导学生运用构造函数法解题，从而提升学生的认知水平。

（二）促进学生思维能力的发展

构造函数法主要是对函数的一些性质进行研究，然后将这些性质与题目中的信息结合起来，从而得到一个新的函数。因此通过构造函数法解决数学问题，能够给学生提供一种解题思路，帮助学生解决数学难题。同时构造函数法在解题中的运用还可以帮助学生加深对知识的理解，进而提高学生的数学思维能力与数学水平。因此高中数学教师在教学中，应该注重对构造函数法的运用，并引导学生利用构造函数法解题。对学生而言，他们数学思维的形成与发展，需要经过一个漫长的过程，而通过构造函数法解题可以培养学生良好的数学思维，使学生对数学知识的认知更加深刻，从而提高学生的解题能力。此外，在运用构造函数法解题时，还可以锻炼学生的推理能力、逻辑思维能力等。由此可见，构造函数法不仅可以丰富学生对数学知识的认知，还能够培养学生良好的数学思维。

四、构造函数法在高中数学解题中的应用范围

（一）利用构造函数求解或证明参数范围

在高中数学中，解参数区间是一个很受欢迎的题型。不同的习题，其解题思路是不一样的，这要求学生对已有的条件有深刻的了解，再通过构建新的函数来使原来的问题变得熟悉。对同一格式的已知问题，通常要运用“同构”的方法将已知的条件进行变形，构造新的函数，并对新的函数特性进行研究，从而得到所要解决的参数。

比如，函数f（x）=x（1-lnx），设a，b是两个非等正数

（二）利用构造函数计算变量的值

在高中数学中，计算变量的数值是比较普遍的。解题时，往往要借用函数的单元性，所以，如何在有限元法中灵活地使用各种方法，正确地确定一个函数的单调性是解题的关键。在这些问题中，为了减少求解困难，必须建立新的功能。虽然比较简单，但却是指数和对数的结合，如果思维不准确，将很难得到正确的答案。如果想解决这个问题，首先要将已知的条件进行变化，由异变同，由虚变实，再构造出两个新的函数，并在此基础上，对这两个新的函数的单元性进行分析，找出其中的两个特定点。

高中数学结构化思维具有很强的灵活性，在运用构造函数法时，学生要仔细地分析问题，认真地研究函数的表达式，只有确定问题的思路和方向，才能有效地解决问题。建构函数法是高中数学解题的一种主要方法，在课堂上，教师要注意对结构式的理解，在日常教学中让学生体验到具体的运用，并通过对问题的总结和思考让学生积累知识，使学生在练习中得到更多的经验，不断地提高学生的数学基础知识水平。

五、高中构造函数法在具体数学问题中的应用

鉴于高中数学知识的复杂性以及阶段教学的紧迫性，教师必须对数学内容进行归纳，尤其是在各个学科间寻找相似点，并不断完善，以归纳的方式来解决问题。

在高中数学教学中，均衡与等值级数是一个非常重要的概念。同时，高中数学往往会把数理知识和其他的数学知识相结合，并且非常注重学生对数字知识的综合运用。在高中阶段，教师不但要教导学生统一级数的概念、性质，而且要使学生得到一个通式的常用公式，以及观察与总结。同时，教师也需要教授如何运用数理统计其他数学知识，让学生进行实际的问题分析。

（一）运用构造函数法解析数学不等式

不等式是高中数学的一个重要知识，内容比较抽象，很容易根据不等式的基本性质改变题型，有些题型则结合其知识点来考查学生的能力，因此很难直观看出不等式是否成立以及学生不能快速解析不等式。为此，教师必须利用构造函数的方法来解析不等式，其基本步骤是：依据题目的情况，合理地利用函数的特性，将不等式的条件转化为函数，并对其进行分析，反复试验，使问题得到最优解。

（二）二次函数构造的运用

在求解某些数字的数值区间时，可以用二次函数的构造来获得。举例而言，a²+b²+c²=1，a+b+c=1，a、b、c为常量，解a的值范围。

在求解此类问题时，学生可以通过构造法的观点对问题进行简化，并进行合理的分析，得出1-a=c+b，1-a²=c²+（x-b）²=2×2-（b+c）²=0，则4（c+b）²-8（c²+b²）=0，就可以得到a的值区间。这个问题的关键在于，要将b²+c²和b+c看作一个完整的函数值，然后用二次函数来简化运算，最后由不等式得到一个值区间。

（三）一次函数构造的运用

对某些基本不等式，或与图像相结合的问题，教师可以先分析问题中的条件逻辑，然后依据方便原理构造一次函数，再利用数字与图形相结合的方法，对数学问题进行直观求解。这种一次函数与图像相结合的方式，既能将题目条件与解题方式相结合，又能通过图表直观地分析出推理过程，有助于学生对有关数学概念的了解，从而使学生形成科学的数学思考能力。

（四）在数列题中的应用

在高中数学中，数列包括了等比、等差数列等内容，在高中数学中是一个非常困难的问题。关于数列的知识，往往要结合其他的数学知识进行命题，这是一个难点。在解决这类综合性问题时，教师要指导学生熟悉各种类型的数列概念，以及通项公式的求解方法，打好数列学习的基础；同时，教师要选取具有典型意义的问题，让学生练习，在解决问题的同时，不断地总结技巧，不断地获得经验。

例题：已知｛a_n｝为等比数列，且a₁=2，a₈=4，函数f（x）=x（x-a₁）（x-a₁）（x-a₁）…（x-a₁）。求f′（0）的值。

这是一道关于函数與数列的综合问题，解决问题的重点是对函数表达式及求解内容进行细致的解析，使用构造函数法列式：f（x）=xg（x），然后通过数列的性质来进行计算。令g（x）=（x-a₁）（x-a₂）（x-a₃）…（x-a₈），因此f（x）=xg（x），求导后得出f′（x）=g（x）+xg′（x）。可知，f′（0）=g（0）=a₁·a₂·a₃·…·a₈，因a₁=2，a₈=4，可知g（0）=a₁·a₂·a₃·…·a₈=（2×4）4=212。

六、结语

综上所述，由于高中数学知识的复杂性，导致学生在学习过程中遇到了许多困难，因此教师必须不断寻求更加科学的学习方式，并充分了解构造函数的优点和应用范围。在教学过程中，教师不但要教授有关的概念、理论，还要运用具体的数学实践例子，引导学生逐渐发展自己的数学思考能力，帮助学生解决问题。教师要鼓励学生从多个视角探究同样的数学问题，使学生能够从事例中得到结论，并不断优化问题的解决方案，从而发展学生的解题能力。在高中数学教学中，构造函数法的运用是一种十分重要的解题思路，对提高解题效率、解题质量具有十分重要的意义。因此，高中生要正确理解问题解决思维的重要性，掌握问题的本质与形式，并以此为依据，灵活地应用问题、解决问题，从而有效提高实际问题的解决能力。

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（责任编辑：向志莉）