一道预赛试题的解答优化和推广

王文雅 张国治

浙江大学附属中学 (310007)；新疆生产建设兵团第二中学 (830002)

波利亚认为“掌握数学的重要体现就是善于解题,解题的成功决定于选择正确的角度,决定于从容易接近的一侧来攻克要塞”.[1]单墫教授则认为“ 解题应以简单自然为上”.所谓“自然”,就是抓住问题的实质,该怎么解就怎么解,不故弄玄虚,朴实自然”.本文以一道浙江预赛题为例,谈谈是如何优化寻求自然解答的历程,供参考.

一、题目及解答

二、易错剖析

三、解答优化

评注：在预设过定点直线方程时一定要考虑全面切记不能遗漏.一般地,过点A(a,0)的直线l的方程可设为x=my+a或y=0;过点B(0,b)的直线l的方程可设为y=kx+b或x=0.更一般的结论:过A(a,b)的直线l的方程可设为x=m(y-b)+a或y=b,也可以设为y=k(x-a)+b或x=a.

反思：既然剖析了标准解答设线法中隐蔽的错误,我们首先思考是否还有其他更好的解题思路吗?事实上,可以采用设点法,利用点差法给出如下别具一格自然解答.

四、自然解答

五、一般推广

六、教学思考

解决数学问题不仅仅是得到问题的答案,更重要的是对数学思维的训练,达到举一反三、触类旁通的效果.一道题做完了,不能轻易的画句号,应该多画问号与省略号.正如著名数学家阿蒂亚曾说过,教育数学就要致力于把数学简化和统一、致力于使数学更容易理解.笔者认为,自然解法之所以自然,是透过现象切入了本质,抓住了变化中的不变性,数学解题贵在自然,数学解题及数学教学应该从学生已有的知识基础和经验出发,跟着学生感觉走,努力寻求自然的解法,这才是最真实和最宝贵的.[5]

好的试题就像一把“尺”,能比较准确地测量学生的学习情况﹔差的试题非但不能准确地测量学生的学习情况,反而会对教学工作造成误导.我们在编拟数学试题时,应该怀着严谨的态度﹐保持缜密的思维﹐反复推敲﹐勇于怀疑,求真务实,坚持真理.[6]