《数学通报》2573问题的证明及变式推广

徐凤旺 成 敏 刘天明

贵州师范大学数学科学学院 (550025)

1 问题呈现

这是《数学通报》2020年第11期数学问题解答2573问题的一道不等式证明题,可以看出该不等式的分子和分母都是由常数项和一次项构成,条件和结论结构对称,具有数学的美感,文[1]主要是通过基本不等式和权方和不等式得到证明,读后深受启发,本文拟对该不等式的证明方法、变式及推广做进一步的探究,与大家一起分享.

2 问题解析

2d)+(7+2a)]2/[(1+a)(7+2b)+(1+b)(7+2c)+(1+c)(7+2d)+(1+d)(7+2a)],则只需证

3 问题变式

分析：此变式是根据证法2得到的,利用权方和不等式可以证明.

分析：此变式是在问题的基础上,将不等式分母的常数项“1,1,1,1”分别变为未知数“c,d,a,b”,使分母的未知数从“1”元变到“2”元,证明方法同上述证法1.

分析：此变式是在问题的基础上,将不等式分子的常数项“7,7,7,7”分别变为未知数“d,a,b,c”,使分子的未知数从“1”元变到“2”元,证明方法同上述证法1.

分析：此变式是在问题的基础上,将分母的结构改变,使分母从二项式变为三项式、未知数个数从“1”元变到“2”元,证明方法同上述证法1.

分析：此变式是在问题的基础上,将分子的结构改变,使分子从二项式变为三项式、未知数个数从“1”元变到“2”元,证明方法同上述证法1.

4 问题推广

分析：此推广将问题中条件式子的结果从“1”推广到“t”.

分析：此推广是在推广1的基础上,将未知数的个数从“3”元推广到“n”元.

分析：此推广是在问题的基础上推广,将不等式的分子和分母的系数“7,2,1,1”推广到“λ,μ,α,β”.

分析：此推广是在变式3的基础上推广,将变式3中不等式的分子和分母的系数“1,2,1,1”推广到“α,β,λ,μ”.

分析：此推广是在变式5的基础上推广,将变式5中的分子和分母的系数“7,2,2,1,1”推广到“λ,α,β,μ,γ”.

上述推广1到推广5的证明方法是类似的,这里给出推广3和推广5的证明,其余推广的证明不再叙述.