探寻运算出路 培养运算素养——以一份高中毕业班适应性练习卷若干试题为例

何 灯 林新建

福建省福清第三中学 (350315)；福建教育学院数学教育研究所 (350000)；福建省福清市教师进修学校 (350300)

数学运算是“会用数学思维思考世界”的重要体现,数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的过程.在学习过程中,大部分学生存在拿到题目没有思路或是思路混乱、繁杂的现象,从而导致数学学习困难.学生为什么总会在运算上出问题呢?总结原因就是运算的方向没有探寻到位,以致思维混乱,不懂如何从上一步进行到下一步.教师在常态课堂教学中应多关注学生的运算过程,指导和帮助学生为“运算”找出路,通过运算教学促进学生思维的发展,从而形成规范化思考问题的品质,发展学生的数学运算素养.[1]

本文以福建省2023届高中毕业班适应性练习卷(福建省省检)若干典型试题为例,就解题过程中如何探寻运算出路做一探析,与同仁交流.

1、明晰运算对象,探寻运算出路

运算对象是解决问题的前提,在进行数学运算时,首先要看清、看准运算对象,认真阅读、理解运算对象的相关条件和结论,完成运算前的预备工作;其次,要深层次理解运算对象,只有这样,才能够找准问题解决的突破口,达到降低思维难度,简化运算的目的.

例1 (第6题,单选)中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献,很好地展示了国家形象、增进了国际友谊,多次为祖国赢得了荣誉．现有5支救援队前往A、B、C等3个受灾点执行救援任务,若每支救援队只能去其中的一个受灾点,且每个受灾点至少安排1支救援队,其中甲救援队只能去B、C两个受灾点中的一个,则不同的安排方法数是( ).

A．72 B．84 C．88 D．100

思路一：(正面求解)甲去了B,考虑剩下4个人的分配情况.由于A、B、C三个受灾点,B较为特殊(需要满足甲在其中),故考虑先对其分配.

综上,当甲去了B,共有50种结果,同理,当甲去了C,也有50种结果,合计100种结果,故选D.

评析：思路一对运算对象的理解停留在浅层次阶段,故需要分较多的类别和较多的步骤来求解.思路二深层次理解了运算对象的特点,关注到甲去A、B、C三个受灾点是等可能的,从整体分配入手,只需分两类讨论即可实现问题的求解,抓住了问题的本质,简化了运算的过程.

2、关注选项差异,探寻运算出路

对于选择题,由其题型的特点,选项中蕴含正确的答案,故可以尝试从选项入手,考量各个选项之间的差异与联系,从差异处入手或从关联处着眼,能够探寻运算的方向,达成快速解题的目的.

A B

分析：本题考查函数的奇偶性、函数的零点、利用导数研究函数的性质.关注选项的差异,可以从奇偶性的判断(f(x)是奇函数)排除掉A、B两个选项.针对C、D两个选项,可以从特殊点位置的函数值或图象在特殊点处的单调性两个方向入手,探寻问题求解出路.

评析：求解本题,除了关注到选项与选项之间比较宏观(图象的对称性)的差异外,还需要关注到选项与选项之间比较细微的差异(如:特殊点位置的函数值,零点所处位置与图中已知刻度的长短比较,特殊点位置的图象的单调性等等),而这些“细枝末节”正是问题求解的关键点所在,从这些关键点出发,即可探寻出问题的突破口.

3、基于思想方法,探寻运算出路

数学思想是处理数学问题的指导思想和基本策略,是数学的灵魂.在解题教学过程中,教师应有意识的引导学生了解和掌握数学思想,灵活地借助数学思想方法解题,从而避免复杂的运算,优化解题过程,降低解题难度．

例3 (第15题)已知函数f(x)=

思路三：(数形结合)令f1(x)=ax,f2(x)=

图1

评析：思路一分离参数需要分别求导两次,并且需要借助洛必达法则求解;思路二借助不等式放缩,需要学生熟悉不等式链lnx≤x-1

4、依循图形特征,探寻运算出路

数无形,少直观,借助图形能够直观分析题中数量之间的关系,丰富表象,引发联想,启迪思维.解题者对题目的图形特征获取的越具体,越能够在纷繁复杂的解题路径中探寻到一条捷径,简化运算,实现问题的简洁求解.

例4 (第11题,多选)已知抛物线C的焦点为F,准线为l,点P在C上,PQ垂直l于点Q,直线QF与C相交于M,N两点．若M为QF的三等分点,则( ).

分析：本题考查抛物线的定义,抛物线的简单几何性质.本题的求解需要对“M为QF的三等分点”这一条件进行转化,可以通过三角形的相似转化为各点坐标的关系,求得各点坐标,在此基础上实现问题的求解.事实上,通过挖掘图形特征,可以发现其中蕴含的角度关系,在此基础上,可实现问题的简洁求解.

思路二：不妨设抛物线C的标准方程为y2=2px(p>0),如图2过点M作MT⊥l.由M为QF的三等分点,结合抛物线定义可得

图2

评析：相较两个思路,前者从坐标入手,运算量较大,后者通过挖掘图形的特征,厘清了各角度之间的关系,由此得到各线段的长度关系,大大简化了运算.

例5 (第21题)已知圆A1:(x+1)2+y2=16,直线l1过点A2(1,0)且与圆A1交于点B,C,BC中点为D,过A2C中点E且平行于A1D的直线交A1C于点P,记P的轨迹为Γ．

(1)求Γ的方程;

(2)如图3,坐标原点O关于A1,A2的对称点分别为B1,B2,点A1,A2关于直线y=x的对称点分别为C1,C2,过A1的直线l2与Γ交于点M,N,直线B1M,B2N相交于点Q．请从下列结论中,选择一个正确的结论并给予证明．

图3

①△QB1C1的面积是定值;②△QB1B2的面积是定值;③△QC1C2的面积是定值．

分析：问题(1)的求解,需要考生能够根据题设条件,提取有用信息,结合图形特征,得|PA1|+|PA2|=|PA1|+|PC|=|A1C|=4>|A1A2|,从而根据椭圆定义得Γ的方程.问题(2)需要考生在三个结论中选择正确的结论进行证明,这需要考生充分考量题设条件,通过观察、比较、分析、综合、抽象与概括,提取出对问题求解有用的信息.首先,通过观察与比较,要使得△QB1C1的面积是定值,Q点到直线B1C1的距离相等;要使得△QB1B2的面积是定值,Q点到x轴的距离相等;要使得△QC1C2的面积是定值,Q点到y轴的距离相等.其次,通过分析,如图4,将M,N两点关于x轴对称,得Q与Q1关于x轴对称,从而可得Q与Q1到直线B1C1的距离不相等,故的面积不是定值,Q点到y轴的距离相等.将M点逐渐靠近B1,可得Q2逐渐远离x轴,由此可得Q点到x轴的距离不相等,综合上述分析,可以猜测△QC1C2的面积是定值.最后,要证明Q点到y轴的距离相等,借助图形,抽象概括出解题方向:直线B1M,B2N的交点横坐标为定值,即联立二者方程,消去y后,得到横坐标x的表达式为定值.或者,通过MN垂直x轴这一特殊情况,计算出Q点坐标为(-4,-3),将x=-4代入直线B1M,B2N方程,验证一般情况下二者的纵坐标相等,以此来简化整个运算过程.

图4

评析：通过对图形特征的抽象,能够帮助我们快速探寻到解题的方向.老师们在课堂教学中,应引领学生在“看”上下功夫,直观出图形特征,感知出几何性质,在此基础上,培养学生理性思维能力,发展学生的数学核心素养.

当然,数学运算素养的形成和发展并非一蹴而就的,这需要长期的浸润,需要教师在数学问题分析过程中,不仅要指出运算对象,指明运算法则,指引运算方向,还要探究运算方法,规划运算流程,更要充分展示运算细节．尤其是关键运算步骤,还要凸显“特写”镜头．只有通过具体案例,经历实际操作,让运算过程看得见、摸得着、说得清、悟得深,才能让数学运算素养落地生根,生根发芽.[2]