高中生函数学习障碍:表现、归因与破解*

段志贵 储 鹏 朱王锶睿

盐城师范学院数学与统计学院 ( 224002)

函数是刻画现实世界数量关系的一个重要模型,是贯穿高中数学最基本的一个概念,也是高中数学知识体系中的难点和重点.调查显示[1-4]高中生在函数学习上普遍存在困难,一部分学生甚至因此丧失高中数学学习的信心.部分学者把产生函数学习困难的原因归究于学习方法不对头,还有部分学者则认为应该是教师的教学方法需要改进,这些说法往往笼统宽泛,一些结论甚至带有主观成分,缺少研究的理论基础或必要的证据.本研究拟通过对高中生函数学习的测试,立足于学习论视角下建构的分析框架,结合更深入的访谈,解构学生函数学习障碍,分析成因,并提出相应的教学建议.

1 研究的设计与实施

调查选定在Y市一所普通高中,以这所学校高一、高二年级各两个班共240名学生作为研究对象,以2022年秋学期Y市期末高一、高二年级统考试卷中的函数考题及考试成绩作为研究素材进行编码分析.其中高一年级统考卷与函数相关的试题共11道题,编码单选题1A1、1A2、1A3,多选题1B1、1B2、1B3,填空题1C1、1C2、1C3,以及解答题1D1、1D2;高二年级与函数相关的试题共6道题,分别编码单选题2A1、2A2,多选题2B1,填空题2C1、2C2,以及解答题2D1.根据相关考试成绩的数据统计及具体测试内容分析,结合与学生个体面对面访谈,了解学生函数学习错误及思维特点,寻找他们在函数学习中的障碍,并进行成因分析.相关编码及测试结果如表 1所示.

透过上表不难发现,对于高中阶段函数模块的学习,虽然从教师到学生都非常重视,但总体上说学习的效果并不令人满意.高一年级学生平均得分率为60.0%;高二年级学生平均得分率为59.8%,两个年级合计得分率只有59.9%.

2 高中生函数学习障碍表现

基于测试内容的分析,我们发现,高一年级学生主要表现在函数概念、复合函数定义域等方面的理解存在困难,在数形结合、换元、函数整体思想的运用等方面存在问题;高二年级学生表现出来的问题主要有思想方法领悟不透、函数性质的掌握和应用不灵活等.依据梁威教授对学习障碍的分类[5],学习障碍主要包括语言学习障碍、数学学习障碍和社会技能学习障碍.结合高中数学特点,我们将学习障碍归类为语言学习障碍、理解障碍、运算障碍以及应用障碍四个方面.其中,语言学习障碍指在数学学习的口头语言、书面语言技能的获得与运用中的障碍;理解障碍表现为影响信息接收者完整、准确理解信息的障碍;运算障碍表现为计数困难,对空间及序列概念区分不清,理解数学术语或符号困难;技能应用障碍表现为社会知觉能力不足,社会判断能力差,角色及观点采择能力低下,自我概念不良.基于这一分类框架,我们对本次统考有关函数问题的解答情况进行分析,并结合对学生的随机访谈,总结得出高中生在函数学习上主要存在概念理解障碍、数学思想方法领悟障碍、运算障碍、公式与性质应用等四个方面的障碍.

2.1 函数概念理解困难

概念理解障碍包括没有掌握函数的基本性质,对函数三要素(定义域、对应法则、值域)、函数性质的理解不够透彻.测试卷中1A1、1B1、1C1关于函数三要素、函数奇偶性以及函数概念的得分率均在85%左右,说明大部分学生可以求出简单函数的三要素、判断简单函数的奇偶性以及理解高中函数的定义,达到了数学抽象核心素养水平一的要求.1A3考查学生对于三角函数图像的应用,得分率为65%,说明仍旧有部分同学不理解三角函数的概念与图像;1D1考查学生判断函数是否相同这道题得分率仅为50%,说明学生对于函数解析式综合求解类型的题目仍旧有所欠缺,没有对定义域进行单独的思考,没有从真正意义上理解函数三要素的本质。以函数学习“定义域优先”这一知识点为例,部分学生没有经过深入的思考与理解,以至遇到比较函数是否相同这种类型的题目,他们通常是先化简函数,再观察化简之后函数的定义域.

2.2 思想方法领悟不透

数学思想方法的学习是高中数学学习的核心部分.在高中函数学习阶段,高中生需要学习一些新的数学思想,主要是函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想和数形结合思想[6].测试卷中1B2利用数形结合求解分段函数相关问题的得分率为55.6%;1C2利用换元法求解函数最值的得分率为29.4%;1D2考查学生利用函数整体思想以及参数分离求解参数取值范围,得分率为60.3%;2A2利用函数法比较大小的得分率为29%.这4道渗透数学思想方法的题目得分率偏低,大部分高中生对于函数思想方法理解不透彻.通过课间对学生的随机访谈发现,大部分学生对于这类综合题很难想到解题突破口,解题思路也较为混乱,不知道如何解答.例如,对于抽象函数的相关问题,题型非常多,其中蕴含的数学思想方法也较为繁多与复杂,导致学生解题时出现思维混乱的现象.访谈时还发现教师在课堂上讲解这类综合题时,部分学生无法跟上教学思路,课后也没有进行适当的练习,从而导致这部分学生对于数学思想方法的感悟不透彻.

2.3 相关运算素养薄弱

批阅测试卷时发现,部分学生在函数学习时存在运算错误问题.数学运算是数学核心素养之一,是解决数学问题的基本手段,同时也是利用计算机解决问题的基础.测试卷中有4道题考查学生函数计算能力,1C2函数求值问题,得分率为29.4%;1C3根据复合函数定义域,计算参数范围,得分率为60.4%;2A1给定三角函数值求角的大小,得分率为63.0%;2B1三角函数恒等变换相关计算,得分率为66.4%.可以看到,高一、高二两个年级学生的计算得分都比较低,运算素养有待提高.事实上,通过访谈我们了解到许多学生知道如何进行解题,有解题思路,但是无法计算出正确答案.有专家把这种现象称之为“懂而不会”,虽然理解,却不能得出正确答案.

2.4 性质应用不够灵活

在函数的解题过程中,可能会用到函数本身所具备的一些性质,如果不能准确的应用,将影响整道题目的解答.测试卷1A2考查学生对数函数的等量变换,得分率34.6%;2C1利用基本不等式的相关性质,得分率为64%;1B3新定义题,在原有知识的基础上,考查新的性质,得分率为57%;2C2、2D1两道题考查导函数相关性质应用,得分率均在65%左右.从相关数据来看,两个年级学生对于函数性质应用的平均水平都比较较低,仅有三成多学生达到了核心素养水平二要求.通过课间对学生的随机访谈,我们还发现部分学生之所以在分段函数这边出现一而再,再而三的失分情况,是由于这部分学生没有养成一个良好的学习习惯,不能在课堂上认真记录教师讲述的内容,认真揣摩解题方法和解题步骤,课后也未能做到以适量的练习来巩固课堂知识,以致学习函数内容感到吃力,对函数性质也就更谈不上灵活应用了.

3 高中生函数学习障碍归因

依据学习障碍归因理论,结合高中生函数学习困难的上述种种表现,我们认为导致高中生产生函数学习障碍主要包括学习兴趣不浓、函数较为抽象、教师教法失当以及理解能力欠缺等多方面因素.

3.1 学习兴趣不浓

访谈发现,大部分高中生在数学学习时,面临着学习兴趣不浓等问题.进一步分析发现,学生学习函数兴趣缺失的主要原因是存在畏难情绪。他们根据平时做题经验,主观的认为函数题较难,碰到含有参数的函数题目更是心存畏惧.有些相对简单的问题,如二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题很容易借助图像运用数形结合的方法求解,但是由于普遍存在畏难情绪和抵触心理,直接放弃做答的学生很多.

3.2 函数较为抽象

根据对随机选取的几名学生面对面访谈的结果进行分析,我们发现函数本身所具有的抽象性是引发学生函数学习障碍的最主要因素.初中函数所给出的定义“变量说”,内容简单,易于学生理解,而高中函数采用“映射说”的定义方法,定义函数y=f(x),对于该式本身,学生就不太容易理解,而其中的x、y、f三个字母代表的意义及关系,学生就更加不理解了.同时,由于高中函数知识相对复杂,如果一个问题涉及函数多方面性质的综合应用,那么该问题的难度将会大大增加.例如在考查函数的概念时,加入函数单调性的考查,那么,学生的作答的得分率就会大幅度降低.以测试卷为例,测试卷2D1要求根据导函数性质求解参数的范围,学生的得分率仅为65%.

3.3 教师教法失当

部分教师函数教学存在的问题也是学生产生学习障碍的原因之一,主要表现在:一是教学与生活实际相脱离,未能将将偏重理论的函数知识与生活实际密切联系起来,以致函数的抽象性让许多学生无法跟上教师的教学节奏;二是初高中衔接不到位,大部分高中教师没有初中教学的经历,不了解初中教材,也未能深入研究哪些知识点是初高中之间的断层,因此在教学中忽略了学生的接受程度,超出了学生的“最近发展区”,直接影响着学生对函数知识的学习理解.

3.4 理解能力欠缺

高中函数具有一定的抽象性,这就需要学生在函数学习过程中主动积极的通过思维联想 ,通过具体的实例,抽象得出函数的概念,因而具备一定的理解能力是学生学习函数的前提.然而,部分高中生的抽象思维能力尚未成形,独立总结归纳较为困难[7];他们思维固化,接受新知困难.一是函数概念理解困难.初中函数所给出的定义是“变量说”,即对于x的每一个值,y都有唯一确定的值与之相对应.对于这种“变量说”,内容简单直观,学生也已经较为熟悉,做起题目来也是轻车熟路.正是由于这种思维固化,导致学生对高中“映射说”这一定义的接受困难.二是函数符号理解困难.初中阶段的学习主要利用文字语言来直观地表述问题,而高中阶段对学生的思维要求比较高,通常运用数学抽象符号来表述问题,这种从直观语言到数学符号的转化也是造成学生函数学习障碍的重要原因.以单调增函数的定义为例,在初中阶段表述为“y随x的增大而增大”,高中阶段的表述是“设函数y=f(x)的定义域为A,区间I⊆A,如果对于区间内的任意两个值x1,x2,当x1≤x2时,都有f(x1)≤f(x2),那么y=f(x)在区间I上是单调增函数”.数学符号转化的障碍,不仅不利于培养学生的数学思维,而且也不利于学生逻辑思维能力的培养,更不利于学生从数学源头发现问题[8].

4 高中生函数学习障碍破解

4.1 着力培养学生学习自信心

对于大部分高中生来说,数学是一门较难的学科.部分学生没有接受过系统地逻辑思维训练,从而导致他们抽象思维能力不强.同时,这部分学生的自信心也存在不足,他们主观认为数学这门学科的难度较大,所以对数学学习的兴趣不高.对于这种情况,教师应当从激发学生的数学学习兴趣入手,改变学生对于数学学习的态度.激发学生对数学的学习兴趣,教师应当创设多种多样的数学课堂教学情境.引入热点话题,让学生积极参与到话题的讨论中来,引起学生的注意;将数学教学与现实生活进行联系,使数学贴近学生的生活,同时鼓励学生学以致用,用所学知识解决生活中的实际问题,帮助学生获得自我效能感;利用分层教学的方法,增强学生学习数学的自信心,从而改变学生对数学的学习情感.

4.2 加强初高中函数学习衔接

函数的学习重在基础,很多概念与性质是在初中函数知识上进行扩展和延伸的.所以需要对部分初中知识点进行集中复习,进而补救学生的知识薄弱环节.大部分函数的知识点学生虽在初中时有所接触,但是学得并不扎实.例如,初中虽然学过一次函数、二次函数、反比例函数,但是要求很低,只介绍了基本的概念与性质,习题相对简单,但是高中函数较为复杂,如果教师没有做好初高中衔接,学生的思维跨度过大,很容易出现知识上的断层.因此,要设置几节初高中衔接课程为学生学习函数知识做铺垫.例如,一元二次不等式解法中的恒成立、韦达定理、分类讨论思想的渗透等等.这些知识点上的衔接与铺垫不仅可以帮助学生提高解题能力,而且还可以提高学生学好数学的自信心.

4.3 瞄准学生学习最近发展区

当我们学习陌生的知识时,需要充分调动头脑中的原有的知识,同陌生知识构建“桥梁”,帮助陌生知识进行正向迁移,以完成对陌生知识的学习.作为一名教师,更应当了解学生现有的知识储备,这是教师上好一节课的前提.如果没有充分了解学生现有的知识储备,授课时很容易超出学生的“最近发展区”,让学生听得云里雾里.所以,在高一阶段的函数教学中,教师应当瞄准学生的最近发展区,夯实学生的函数基础.在高二阶段的函数教学中,教师应当瞄准学生最近发展区的上限,拓宽学生的最近发展区,帮助学生在函数学习中有所突破.

4.4 让信息技术助力难点突破

高中生自学能力也比较薄弱,他们获得数学知识技能的主要来源还是教师课堂上的讲授.教师如果只是一味地将知识灌输给学生而不去考虑学生单方面的接受能力,只会徒劳地增加学生的压力,令他们更加讨厌数学这一学科.信息技术的应用可以为晦涩难懂的函数学习增添一丝直观性,让抽象的数学形式化学习内容通过形象化的方式或手段呈现在学生面前,帮助他们理解.例如,学生在学习含有参数的二次函数时,教师可以运用几何画板帮助学生直观地观察到参数的变化对二次函数图像的影响.这种直观的教学模式不仅可以帮助学生加深对题目的理解,也有利于学生对含参方程知识点的巩固.

4.5 注重思想方法的教学渗透

基于函数这一教学内容的特点,高中函数的教学,教师重在引领学生加强学习内容的理解,提高他们的思维能力.在这其中,加强数学思想方法的渗透是教师教学的重中之重.高中阶段学习的数学思想方法主要是:函数与方程、转化与化归、分类讨论和数形结合.函数与方程思想是高中函数的基本思想;转化与化归思想可以训练学生的变通能力;分类讨论思想是高中数学的重难点之一;数形结合思想可以帮助学生将抽象的函数问题直观化.在高一阶段,由于部分高一学生数学基础较差,所以教师在教学设计时,应充分融入这些数学思想方法,帮助学生解决函数问题,从而提高教学质量.在高二阶段,经过高一阶段的巩固,教师则应该深挖数学思想方法的内涵,帮助学生熟练的掌握以及运用数学思想方法解决一系列数学问题.