基于单元整体教学设计 促进学生几何思维培养

作者简介：栾长伟，大连教育学院高级教师。

课题项目：本文系辽宁省教育科学“十四五”规划课题“初中数学优质课堂教学背景下的作业设计研究”研究成果之一。课题编号：JG21CB202。

摘要：初中数学教材中几何部分的内容是学生学习的重点之一。在几何命题的猜想与证明、解题思路的培养与训练中，教师都应重视发展学生的几何思维。在几何教学中，教师要以“教—学—评”一致性为视角，从单元整体教学设计出发，探究教学过程的关注点及学生几何思维的培养策略。

关键词：“教—学—评”一致性；单元整体教学；几何思维

初中数学教材中几何部分的内容是学生学习的重点之一。当前，很多教师把几何教学的重点单一地放在培养学生的解题能力上，过于注重几何定义、性质的应用，忽略了其形成過程；过于注重演绎推理的培养，忽略了合情推理能力的培养；过于注重以教材课时为单位的几何教学设计，忽略了以整体单元来架构学生思维的教学设计。

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下通称“新课标”）在主要变化中提出要注重实现“教—学—评”一致性，不但明确了 “为什么教”“教什么”“教到什么程度”，而且强化了“怎么教”的具体指导，要求做到好用、管用；在“教学建议”中提出要改变过于注重以课时为单位的教学设计，推进单元整体教学设计，体现数学知识之间的内在逻辑关系以及学习内容与核心素养之间的关联。为此，教师要基于“教—学—评” 一致性理念，寻找课堂上促进学生几何思维培养的着力点，思考提出单元整体教学设计的理由，探索单元整体教学设计下的教学内容分析与目标确定之法，夯实单元整体教学设计方案下的具体几何教学环节。

一、提出单元整体教学设计的理由

在几何部分需要进行单元整体教学设计，其本质上有两个原因：一是基于数学学科的本质特征，即数学是具有抽象结构和逻辑结构的，其中抽象结构是指数学概念和方法的表达逐渐抽象，使得数学具有一般性；逻辑结构是指数学表述的前后关系是有逻辑的，使得数学具有严谨性。学生对数学知识的认知，应当从简单到复杂，从表象到本质。初中阶段是学生学习数学概念的起始阶段，是学生学会论证的开端，是学生使用数形结合的萌芽。二是基于数学学科的教育特征，主要体现在新课标中“课程性质”所描述的内容中：“数学不仅是运算和推理的工具，还是表达和交流的语言。数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分。”之所以要做到 “教—学—评”一致性，是因为要践行新课改的关键理念之一，即教师不仅应关注结果性目标，更应关注过程性目标，应引导学生在实验、操作过程中获得经验。从“双基”到“四基”、从“四基”到“三会”，教师应该统一的思想是“数学的眼光比抽象更上位，数学的思维比推理更上位，数学的语言比模型更上位”。

二、单元整体教学设计下的教学内容分析与目标确定之法

（一）构建教学内容之间的框架体系

教学内容分析是理解教学内容、实施课堂教学的必要手段，是教师专业化水平的体现。一节课的教学内容不应该是孤立、碎片化的，而应该是整个教学体系的一部分，教师的任务是重新构建这个教学内容的框架体系。

以人教版数学教材七年级下册“平行线的性质”为例，平行线的性质是研究角的相等或互补关系的重要理论依据，是研究几何图形位置关系和数量关系的重要知识基础。学生利用平行线的性质可以有效地建立起角之间的关系，这不仅为三角形内角和定理的证明提供“转移角，凑平角”的转化方法，也为后续的三角形、四边形等几何核心图形以及平移等知识的学习提供了建立角之间数量关系的理论支撑。

图形的性质与判定是几何研究的核心内容，其中图形的性质研究的是图形组成元素之间的相互关系。平行线的性质的学习是学生系统研究图形的性质的过程，将为其后续学习图形的性质提供基本研究思路。教材从平行线的判定引入，引导学生对平行线的性质展开研究，一方面，渗透图形的判定与性质之间的互逆关系，凸显几何知识研究的连续性；另一方面，使学生经历利用判定（性质）研究性质（判定）的过程，积累几何图形研究的基本活动经验，体会研究几何图形的一般方法。

本章先研究了两条直线相交的情形，探究了两条直线相交所成角的位置关系和数量关系，给出了邻补角和对顶角的概念，得到了相交线“邻补角互补”“对顶角相等”的性质。接下来，从一般到特殊地研究了相交线的特例——垂直，再将条件和结论反过来，得到垂线的性质。本章的重点是垂线的概念与平行线的判定和性质，学生研学的关键是理解与相交线、平行线有关的角的关系。从几何图形研学的视角分析，本章前面从一般到特殊地研究相交线，为后面从一般到特殊地研究两条直线被第三条直线所截的情况提供了必要的研学经验。学生研究两条平行线被第三条直线所截时，得出的同位角、内错角和同旁内角的关系，也就是平行线的性质。从一般到特殊地研学几何图形，同样也能为学生后续学习积累必要的基本活动经验，让学生体会研究几何图形的一般方法。

对于平行线性质的研究，教材充分尊重学生的思维发展水平，从整体视角优化内容设计，引导学生采用类比平行线的判定思路展开研学。例如，教材中同位角的性质1是通过探究活动引导学生归纳推理得出的，其证明设置在九年级上册第二十四章“圆”中作为选学内容，并要求用反证法进行证明；内错角和同旁内角的性质2及性质3是引导学生通过演绎推理得出的，这里的演绎推理过程呈现出传递性特点。本章内容中需要重点培养的数学核心素养是推理能力，教材通过上述设计使学生经历类比研学的过程，有效地培养了其推理能力，发展了其数学核心素养。

基于以上分析，教师可确定本节课的教学重点是：探索证明平行线的性质的过程。

（二）厘清课程目标、单元目标、课时目标之间的关系

从《义务教育数学课程标准（2011年版）》到新课标，从“知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观”到“四基”“四能”，再到“三会”，课程标准中课程目标的设置逐步趋向于高阶化。课程目标是让学生通过初中阶段三年的数学学习而到达的那个“目的地”，它指出了学生达成目标时的数学水平、思维能力、行为习惯等特征，但是并没有具体指明特定的学习方式和方法。事实上，课程目标具体化到特定教学内容时，就是教学目标。

新课标中的“内容要求”是单元教学目标，课堂教学目标是在“三维目标”指导下的单元教学目标具体化。课堂教学目标应该是“具体内容为载体，在过程中落实数学思想和方法，培养思维能力和情感态度价值观”，更明确地说就是“没有具体内容为支撑的课堂教学目标是无效目标”。

（三）根据结果性行为动词和过程性行为动词设计教学

新课标中的行为动词有两类，一类是描述结果目标的行为动词，包括“了解”“理解”“掌握”“运用”等；另一类是描述过程目标的行为动词，包括“经历”“体验”“感悟”“探索”等。这些目标是形成核心素养的基础和条件，最终指向学生数学核心素养的形成和发展。教师深刻理解这些行为动词，不但可以对教材设计意图有新的认识，而且可以根据这些行为动词来设计课堂教学。

例如，新课标关于“三角形”的教学目标要求如下：“理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性。”其中，“理解”为结果性行为动词，等价于“认识、会”，即“描述对象的由来、内涵和特征，阐述此对象与相关对象之间的区别和联系”。

几何图形是从实际生活当中抽象出来的，这是“对象的由来”。研究一个几何图形，就要研究它的组成元素和相关元素，三角形是由边和角组成的，边和角就是三角形的组成元素。研究它们的数量和位置，这是“对象的内涵和特征”；“三线”是三角形的相关元素，内角与外角之间有关联，“三线”之间有关联，同时，边和内角的数量关系影响了“三线”的位置关系，这是“阐述此对象与相关对象之间的区别和联系”。

新课标中“了解”为结果性行为动词，等同于“知道、初步认识”，即“从具体实例中知道或者举例说明对象的有关特征；根据对象的特征，从具体情境中辨认或举例说明对象。”为此，教材中通过“工程建筑经常采用三角形结构，如屋顶钢架，窗框斜定木条……”等实际生活中问题的举例，来落实“了解三角形稳定性”的教学要求。

“探索”为过程性行为动词，指“在特定的问题情境下，独立或者合作参与数学活动，理解或提出数学问题，寻求解决问题的思路，获得确定结论”。新课标在“内容要求”中提到“探索并证明三角形内角和定理”，就是要使学生经历三角形内角和的观察—度量—操作—猜想—验证全过程，这也是命题教学中强化探究过程的原因。事实上，教材中对很多性质的学习均提出“探索”级别的要求，目的是引导课堂教学关注知识的发生、发展过程，培养学生经历类比推理、归纳推理发现结论，利用演绎推理验证结论，从而提升学生的数学核心素养。

三、单元整体教学设计下的几何教学环节

（一）几何命题新授课的基本教学环节

几何命题新授课一般包括以下五个基本教学环节：发现命题、证明命题、认识命题、应用命题、拓展命题。推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理又包括类比推理和归纳推理，合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。在解决问题的过程中，虽然两种推理功能不同，却是相辅相成的。

发现命题是几何命题新授课中培养学生合情推理的基本教学环节。我们常说的发现，是指学生主动形成发现问题的意识和倾向，它应该包括观察、度量、猜想等常见手段。证明命题是几何命题新授课中培养学生演绎推理能力的基本教学环节。认识命题既是对发现、证明过的命题进行再思考的过程，更是为应用和拓展命题做铺垫。教师既要从数学语言，即文字、图形、符号三方面认识命题，更要深刻分析命题的本质以及此命题对学生以后学习的价值。应用命题是命题价值的体现，更是培养学生演绎推理能力的常见方式。应用命题的教学目标是使学生应用命题去解决问题，几何命题新授课中的例题设计是应用命题的最好体现。拓展命题是在应用命题基础上推广建立的新命题体系。课堂教学中，拓展命题环节的关键是教师要选择与组织能体现命题学习价值的教学内容，其中包括题目的选择和题目的变式，并适时让学生进行习题的一题多解。

（二）利用数学史进行命题的教学环节

数学史展示了数学知识、数学方法、数学逻辑的来龙去脉，尤其对学生公理化思想的渗透有很大作用，能使学生深刻理解几何学局部演绎系统的设置原理，使学生明白“为什么要证明”“使用哪些定义、性质等来证明新命题”。

例如，古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》中对于“等腰三角形两个底角相等”的证明方法与我们教材中的证明方法不同。此时，教师可以引导学生进行讨论，让学生认识到，“欧氏几何是先给出研究对象的定义，然后通过公理规定研究对象之间必须满足的基本关系，最后推导各种各样的命题”，这就是所谓的公理化思想。考虑到学生的接受能力，教师可构建一些局部的演绎系统，帮助学生感悟演绎的化归方式与公理化的思想。

（三）在解决问题中培养学生几何思维的教学环节

类比推理、归纳推理是常见的发现结论的思维方式，演绎推理是验证结论的常见手段，而解决问题有利于学生演绎推理能力的训练与培养。几何内容是学生学习的一个难点，他们很难科学合理地架构起条件与结论之间的关系。解题过程与解题思路是有本质不同的，解题过程是已知方法寻求答案的过程，解题思路则是未知方法寻求方法的过程，目的是引导学生学会使用思维导图分析问题、解决问题。

如图1中，已知AB = DC，AC = DB，求证∠ABO = ∠DCO。

【分析】要求证∠ABO = ∠DCO，可以按照以下三个思路展开探究。

思路1：将∠ABO和∠DCO放到两个三角形中证明全等，即证明∆ABO ≌ ∆DCO。其中，已知∠AOB = ∠DOC，AB = DC，还缺少一个条件，经分析只能添加∠A = ∠D。要证明∠A = ∠D，需要再次把两个角放到两个三角形中证明全等，即证明∆ABC ≌ ∆DCB。已知AB = DC，AC = DB，BC = CB，得证。

思路2：将∠ABO和∠DCO放到两个三角形中证明全等，即证明∆ABO ≌  ∆DCO，也即证明∆ABD ≌ ∆DCA。连接AD，已知AB = DC，AC = DB，AD = DA，得证。

思路3：根据已知条件AB = DC，AC = DB，BC = CB得到∆ABC ≌ ∆DCB，从而∠A = ∠D，在∆ABO和∆DCO中，满足AB = DC，∠A = ∠D，∠AOB = ∠DOC，得到∆ABO ≌ ∆ DCO，得证。

思路4：在思路3的引导下，若得到∆ABC ≌ ∆DCB，则∠ACB = ∠DBC，从而OB = OC。∆ABO和∆DCO满足“边边角”关系，可以过两组对应边的交点向对边作垂直，从而得到∆AOP ≌ ∆DOQ，再得到∆BAP ≌ ∆CDQ，得证。

在单元整体教学设计中培养学生几何思维是一个漫长的过程，之所以强调基于“教—学—评”一致性的单元整体教学，就是需要教师从“教—学—评”一致性角度关注单元整体知识体系，引导学生通过类比、归纳等思维方式，建立具体几何思维表征之间的关联，培养学生发现问题的能力。教师要逐步从关注学生解题过程的描述向关注学生解题思路的训练过渡，逐步从单一的解题经验传授向活动经验积累过渡，逐步培养学生的几何思维，提升学生的数学核心素养。

参考文献：

［1］欧几里得.几何原本［M］.兰纪正，朱恩宽，译.南京：译林出版社，2011.

［2］鮑建生，章建跃.数学核心素养在初中阶段的主要表现之五：推理能力［J］.中国数学教育，2022（12）.

（责任编辑：杨强）