从解题到写作 从能力到素养——以指导高中生数学写作为例*

姜尚鹏

(山东省平度市第九中学 266700)

1 引言

《普通高中数学课程标准(2017年版)》(下称《课标2017版》)要求“(数学教育)提升学生的数学素养,引导学生会用数学眼光观察世界,会用数学思维思考世界,会用数学语言表达世界”“提倡独立思考、自主学习、合作交流等多种学习方式”．要求以课题研究或主题学习的形式进行研究性学习,撰写研究报告或小论文,并作为过程性评价的形式之一[1]．数学写作能够很好地让学生在用数学眼光观察世界的基础上,用数学思维思考并用数学语言表达世界,可以有效地丰富学生的学习活动和课后作业形式,让学生进行深度学习,很好地发展学生的核心素养[2]．

目前,虽有不少学者也研究高中生数学写作,但主要都是在宏观或中观方面进行研究,或直接指导学生发表论文．至于指导学生进行数学写作的中间过程,没有详细描述．笔者以指导于川皓同学发表在《中学生数学》的论文为例[3],详细阐释了从解题到写作再到发表的全过程,为教师个性化指导学生进行数学写作提供参考．

2 指导高中生数学写作的实践

下面笔者把进行数学写作的过程看成是“做菜”的过程,通过描述做菜过程的步骤解释如何手把手来指导学生进行数学写作．

2.1 “选材”

当学习到“空间向量与立体几何”一节时,做到这样一个课后题,题目如下:

图1

题1如图1,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,M是棱AA1的中点,O是BD1的中点,求证:OM分别与异面直线AA1,BD1垂直,并求OM的长．

于川皓同学拿着这个题目问我.其实不证明OM分别与异面直线AA1,BD1垂直,也可以很容易求出OM的长,那为什么要先证明OM分别与异面直线AA1,BD1垂直,然后再求OM的长?OM的长会不会是两条异面直线的距离呢?

我告诉他,你可以先上网搜一下资料,查一下是否有异面直线的距离的概念,如果有,又是如何定义的.

点评当学生发现一个问题时,教师不要急于说出正确的答案,这样不利于培养学生发现问题和提出问题的能力．平时教学中,教师大多关注学生分析问题和解决问题的能力,而实际上发现问题和提出问题更重要,这才是培养学生创新能力的根本．而学生发现的问题,就可以作为论文的选题,也是最好的素材,相当于做菜之前先选好食材一样．

2.2 “清洗”

于同学查阅资料后,回来告诉我,确实有两条异面直线的距离的概念,定义如下:两条异面直线的距离是指两条异面直线的公垂线段的长度．

我继续引导他:虽然有这个概念,但课本没有交代,能否改编一下这个题目,让它变成一个新定义的题目呢?

点评由于学生主要的时间都用在解题,很少能从命题者的视角进行编题,而学生一旦能从命题者的视角思考题目,他们对题目的认识必然也会上升一个层次．因此,教师在平时可以引导学生尝试编题,让他们从不同视角思考同一问题,这有利于开发他们的思维．这个过程就是让学生学会查找资料,丰富认识,相当于买好菜后,把菜清洗一下吃起来才好一样．

2.3 “晾干”

于同学回去经过思考后,编写的新定义题目如下:

题2两条异面直线的距离是指两条异面直线的公垂线段的长度.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,求异面直线AA1与BD1的距离[3]．

点评此题目先交代定义,之后依定义解决问题．对学生来说,这是一道编写得不错的题目．教师要相信学生的能力,只要给学生一个支点,即一个明确的目标,他们就能“撬动地球”,给出一张漂亮的答卷．这个过程相当于清洗好菜后需要把菜晾干一下,做菜时口感才好．

2.4 “切材”

针对这个题目,我又给于同学提出一个问题:你能用多种方法解决这个题目吗?经过思考,他给出了下面的解题方法．

解法3转化成点到面的距离．异面直线AA1与BD1的距离可以看成直线AA1到平面BDD1B1的距离,即转化成点A到平面BDD1B1的距离．之后通过坐标法和等体积转化法两个角度解决问题．

解法4转化成线到面的距离．异面直线AA1与BD1的距离可以看成直线AA1到平面BDD1B1的距离．之后通过几何法得到直线AA1到平面BDD1B1的距离就是AE(E为AC与BD交点)解决问题．

解法5转化成面到面的距离．作BD1的平行线与AA1相交,记两条直线相交的平面为平面α,异面直线AA1与BD1的距离可以看成平面α与平面BDD1B1的距离,之后可求平面α与平面BDD1B1的距离为AE(E为AC与BD交点)解决问题．

点评教师要善于抓住一切培养学生思维的机会,不能让学生对问题的认识浅尝辄止．虽然前面已经解决了这个问题,但是更换题目后,是否还有更多的解决方法?教师应该给学生创造更多的深度思考的机会．这个过程就是让学生拓宽解题思路,优化自己的思维,相当于晾干菜后,可以对菜切片、切丝等,不同的切法,做出来的菜的口感不一样．

2.5 “烹饪”

由于整个问题的研究已经结束,于是我对于同学说,你能把我们对这个问题的研究过程撰写成一篇论文吗?

点评如果教师在学生最初遇到这个问题时,不是一步一步引导学生进阶地思考问题,相信学生是不会撰写论文的．因此,平时教师应学会分化难点,分步让学生解决问题,最后再梳理成文．毕竟学生从未进行过论文撰写的训练,如果不一步一步分解教授,学生很难学会思考问题的方式及撰写论文的步骤,也就无法达到核心素养的提升．这个过程相当于菜准备好了,最后就需要将菜进行烹饪一样．

2.6 “调味”

当于同学将整理好的论文交给我后,我发现论文的格式规范还存在很大的欠缺,如题目不能反映所写内容,小标题不加粗,字体、字号不对,数学符号虽然用了公式编辑器,但却把一个题目的所有步骤全部输入到了一个公式编辑器里,行文主线不够清晰等．

点评论文最后的排版是为内容增色的,就像一道菜最后要色、香、味俱全一样．因此教师在学生撰写好论文后,要给学生指出相应的学术规范．如果某杂志有明确的格式要求,提前告诉学生,让学生按照要求进行排版．这个过程相当于把菜做熟后进行上色、调味等,最后将菜做得色、香、味俱全一样．

2.7 “出锅”

论文修改完毕后,就需要开始选择杂志进行投稿．目前收录中学生习作的杂志有《数学通讯》《中学生数学》《中学数学月刊》等．根据稿件的定位,选择相应的期刊进行投稿.由于《中学生数学》审稿较快,文章偏向高中生的可读性,并且有审稿意见,故本篇论文投稿于《中学生数学》．

点评投稿关键要看杂志的定位,比如《数学通讯》偏向于中学生论文的学术性,《中学数学月刊》偏向于中学生论文的独创性,《中学生数学》偏向中学生论文的可读性．因此,要根据文章的类型选择合适的投稿期刊．这个过程相当于把菜出锅,期待食客品尝一样．

2.8 “重做”

论文投稿三天后通过初审,大致一个月左右收到修改意见,意见如下:

①作图不规范,重作．标点符号不规范,尤其是句号用“.”,请规范.

②解法1中点的平面距离公式中“-”误输入“+”,请更正.

③必须添加纯几何等体积转化.

④本文对特殊的正方体进行了多视角探究,应将在其中提炼的思想方法体现在一般的长方体的应用,建议选用2021年全国高中数学联赛吉林预赛第9题．

因此,又让于同学按照专家的审稿意见进行了修改.修改的文章很快通过了复审、终审,最后在2023年第1期发表．

点评收到专家的审稿意见后,一定要仔细阅读,并认真修改．但凡专家愿意提审稿意见,说明文章修改后还是有发表价值的．因此,只有诚心诚意地根据专家的意见修改,后续才有发表的可能．这个过程相当于之前做的菜被食客提出问题,下次需要根据食客的需求重新做菜品一样．

3 几点思考

3.1 为什么要指导学生进行数学写作

《课标2017版》聚焦学生的核心素养,而培养学生核心素养一个很好的途径就是指导高中生进行数学写作．在指导数学写作的过程中,可以教会学生用数学的眼光观察世界,用数学的思维思考世界,用数学的语言表达世界．《课标2017版》在“教学与评价建议”中指出:“可以把学生完成的研究报告或者小论文以及各方评价存入学生个人档案,为大学招生提供参考．”因此,高中生进行数学写作也为其进入大学积累了材料,更容易受到综合素质评价招生大学的认可．

3.2 如何指导学生进行数学写作

教师指导学生进行数学写作时,不能放手让学生随便写．一是要善于捕捉平时教学中学生发现的问题,让学生对发现的问题进行深入思考,问题即课题．二是要分解数学写作的难点．由于学生平时都在解题,很少会去思考如何解决问题,因此教师需要引导学生,每一步如何去做,最后再让学生整理成文．三是尊重学术规范．最后的排版就像衣服一样,只有规范才能光鲜亮丽,不被编辑退稿,同时也向编辑展示自己的学术态度．四是重视审稿意见．专家阅稿无数,提出的意见一定是中肯的,应及时按照专家的意见进行修改．如果不符合要求,则需多次修改,此时一定要有耐心,不能半途而废．

3.3 数学写作有利于培养学生的核心素养

数学写作让学生从“解题”时代走向“解决问题”时代,不仅培养了学生的解题能力,更培养了学生解决问题的素养．学生从只会做题,到会编题,再到将解决问题的过程整理成文,整个过程体现的就是对学生核心素养的培养．尤其是在创新拔尖人才培养的时代,教会学生“专家结论”已经不能满足新时代的需求,更重要的是要教会学生“专家思维”．如果提前在高中时代就培养学生的学术素养,那么学生到了大学时代再去研究一个问题就熟练多了,不仅少了撰写毕业论文的苦恼,还会对问题的研究更加深刻和有深度．