优化课堂教学设计 培养高阶思维能力——以苏教版“等比数列(1)”为例

黄 荣

(江苏省如皋市第二中学 226500)

1 引言

随着数学课程改革的进一步推进,《普通高中数学课程标准(2017年版)》明确指出:数学教育应能促进学生思维能力、实践能力和创新意识的发展[1]．因此,发展学生的高阶思维是数学教学的重要目标,也是数学核心素养框架的核心内容．在数学教学中如何培养学生的高阶思维能力,是每一位数学教师需要思考和解决的问题．

作为数学教学的主阵地,数学课堂教学是学生获取数学知识、培养数学核心素养、发展数学高阶思维能力的主要途径．因此精心设计数学课堂教学、优化教学环节就显得尤为重要．笔者在设计“等比数列的概念和通项”这一节课时,通过引导学生分析情境中几个数列的特征,链接等差数列,使得学生理解等比数列的概念并自主探究出等比数列的通项公式．

2 教学过程

根据对教材的分析,结合学生的认知水平,确定本节课的教学目标:(1)通过脆饼制作、细胞分裂等3个情境归纳等比数列的概念;(2)类比等差数列定义和通项公式的探究过程,探索等比数列的定义和通项公式;(3)通过对等比数列的研究,提升观察、类比、归纳、猜想等思维品质．

本节课的教学重点是等比数列的定义和通项公式的探究、认识与应用,教学难点是等比数列通项公式的推导和运用．

2.1 创设问题情境

师:前一段时间我们学习了一类特殊数列——等差数列,它主要研究an与an+1之间的特殊关系．其实生活中还有很多有趣的现象,与它们有关的特殊数列也很有研究价值．比如如皋丁堰特产脆饼的制作,我们先来了解一下脆饼坯皮的制作过程(播放脆饼制作视频)．

师:如果我们依次记录每次擀平后坯皮的层数,能得到一个怎样的数列?

生:1,3,9,27,… ①．

师:这是一个不同于等差数列的数列,生活中这样的数列还有很多,请大家阅读活动1中的材料并思考材料后的问题．

某种细胞,如果每个细胞每分钟分裂为2个,那么每过1分钟,1个细胞分裂的个数依次为1,2,4,8,16,… ②．

师:材料中三个数列的每一项与前一项之间有什么关系?

生:①中每一项都是前一项的3倍．

师:能不能用数学符号语言表示?

生:a2=3a1,a3=3a2,…,an+1=3an,…．

师:还有其他表示形式吗?

师:其余两个材料中的数列呢?

2.2 提炼等比数列定义

师:你们发现数列①～③的共同特点了吗?

师:我们把具有这一特征的数列称为等比数列．等比数列项的特点和我们已经学过的等差数列项的特点有什么区别和联系?

生:等比数列和等差数列都是数列中后一项与前一项有联系．

生:等比数列是后一项与前一项的比是同一个常数,而等差数列是差．

师:我们发现两者存在联系但又有区别,请大家类比等差数列,尝试定义等比数列．

设计意图以先验知识等差数列为探究支架,引导学生寻找材料中3个情境的共同特征,提炼问题本质特征,概括得出等比数列定义,同时检验3个情境是否符合定义．通过短视频向学生介绍家乡的特色文化,帮助学生建立生活与数学的联系,引导学生用数学的眼光观察世界,用数学思维思考世界,发展正确的数学观．

2.3 编制等比数列

师:请根据等比数列的定义写出几个等比数列,并指出公比．(学生独立完成,同桌相互交流,教师选择学生回答)

生:1,4,16,64,…,公比为4．

生:1,1,1,1,…,公比为1．

生:3,3,3,3,…,公比为1．

师:这3个数列都是常数列,它们都是等比数列．那是不是所有常数列都是等比数列呢?

生:是的．

生:0,0,0,0,…,不是等比数列．0除0没有意义．

师:非常好．由此我们可以知道数列中的项不能等于0,那么公比能不能为0?

生:不能,公比为0,那第二项就为0,不行．

师:请同学们注意——等比数列中各项不为0,公比不为0．

设计意图课堂中适当留白,体现学生主体地位,让学生在自我实践中更深入地理解等比数列的概念及项与公比的取值限制,激发学生对数学学科的兴趣,培养学生的批判思维,提升数学核心素养．

2.4 等比数列定义的应用

师:请大家判断例1中的三个数列是否是等比数列.如果不是,请说明理由;如果是,请求出公比．同时反思等比数列定义中的关键词．

例1 判断下列数列是否为等比数列:

(1) 0,1,2,4,8;

(2) 1,3,9,18,54;

生:第(1)题中的数列不是等比数列,因为第一项等于0,0不能做分母．

师:通过进一步学习,你认为等比数列定义中有哪些词比较重要?

生:同一个常数．

生:后一项比前一项．

生:每一项．

生:从第二项起的每一项．

师:很好．(用彩色粉笔对定义中的重点内容作出标注)

师:带着你对等比数列定义的理解完成例2．

学生独立完成后投影展示(图1)．

图1

师点评:1)求等比数列中的未知项就抓住等比数列的定义构造方程;2)注意运算的准确性．

师:三个数a,A,b成等差数列,中间数A叫作a和b的等差中项．第(2)题中2,m,8三个数成等比数列,类比等差中项,我们把m叫作2和8的等比中项．

板书等比中项定义:若a,G,b是等比数列,则G叫作a和b的等比中项．

师:在实数范围内是不是任意两个数都有等比中项?

生:不是,要同号且非零的实数．

师:理由?

生:G是a和b的等比中项,则可以变形得到G2=ab>0．

师:很好.在实数范围内只有同号的两个数 才有等比中项,且等比中项有两个,它们互为相反数．

设计意图根据教材设计了两个例题,帮助学生升华对等比数列定义的理解,同时由例2类比等差中项引出等比中项的概念．

2.5 探究通项公式

师:理解了等比数列的定义,接下来我们一起探究等比数列的通项公式．请大家思考活动4中第1和第2两问．

试写出阅读材料中每个数列的通项公式．

生:数列①的通项公式是an=3n-1(n∈N*)．

师:说出你的思考过程．

生:a2=3a1=3,a3=3a2=32a1=32,a4= 3a3=33a1=33,…,an=3an-1=3n-1a1=3n-1．

师:很好.这位同学通过归纳、猜想得出了通项公式,那么数列②和③的通项公式是什么?你的方法和刚才的同学是否一样?

生:数列②的通项公式是an=2n-1(n∈N*),方法一样．

师:很好.大家都通过归纳、猜想得到了三个数列的通项公式．之前我们概括等比数列的定义时比较了等比数列与等差数列的区别和联系．大家能否根据等比数列的定义,类比等差数列的通项公式的推导过程,探究等比数列的通项公式?(学生独立完成,小组内讨论交流,学生展示,教师点评提炼)

生1的解答(归纳猜想)如图2所示．

图2

生2的解答(累积法,不严谨)如图3所示．

图3

生3的解答(累积法)如图4所示．

图4

教师总结学生使用的推导方法,并指出每个方法的注意点和易错点,同时板书:通项公式an=a1qn-1(n∈N*)．

设计意图遵循学生数学认知的逻辑顺序,由特殊到一般,由具象到抽象,引导学生类比已有经验和知识,逐步探究等比数列的通项公式．

2.6 通项公式的简单应用

例3 在等比数列{an}中:

(1)已知a1=3,q=-2,求a4和a7;

(2)已知a3=20,a5=80,求an．

学生独立完成后黑板展示,教师强调易错点和解题过程的规范表达．

2.7 课堂小结(略)

3 教学感悟

3.1 创设真实情境,点燃思维火花

思维不是凭空产生的,它往往是由一些“疑问”“认知冲突”激发的,思维活动的产生需要情境问题作为催化剂．本课开始时以脆饼制作、细胞分裂等为背景,设计三个问题情境.情境中提炼的数列对学生是陌生的,而这种陌生感恰好激发学生的好奇心和求知欲,诱发学生的高阶思维活动．课中通过三个情境提炼出三个数列后,引导学生对比新数列特征与等差数列特征的区别与联系,引导其从不同角度解构新问题,将等比数列投射到等差数列知识体系中．学生找出这三个新数列的特征是从第二项起每一项与前一项的比都相等,类比等差数列的概念,顺利概括出等比数列的概念．通过问题情境的创设,学生可以更好地理解等比数列的概念和应用,同时也可以培养发现问题、分析问题和解决问题的能力．

3.2 加入课堂留白,添加思维“催化剂”

课堂中恰当的留白可以消除教师“满堂灌”,为引导学生巩固和审视所学知识创造条件,也能很好地提高学生的课堂参与度,促进学生数学核心素养的提升．本课在学生归纳出等比数列的概念后,设计让学生自编等比数列的环节,给课堂留白．在这一环节中学生高度参与、兴趣高涨．在课堂展示中有学生认为数列“0,0,0,0,…”是等比数列,立即就有学生提出质疑,指出等比数列中各项均不为零．通过学生热烈的讨论我们可以发现,编制等比数列这一留白很好地促进了学生对等比数列定义及本质的理解,同时也很好地培养了学生的批判性思维．

3.3 例题层层递进,提升高阶思维品质

学生的高阶思维能力需要培养和训练,而实践应用则是提升学生思维品质、巩固学生高阶思维能力的重要环节．学生的认知遵循从低到高、从易到难、从特殊到一般的发展规律,教师在设计知识应用时也应遵循这一规律,若为提高学生的思维能力而一味拔高问题难度则会适得其反．本节课中共设计了三个例题:例1是简单的等比数列判断,让学生在巩固概念的同时能用批判的眼光看问题;例2由具体三个数类比等差中项给出等比中项的概念,同时引导学生得出一般性结论; 例3中两小问的难度也是递进的．这三个例题的难度和思维量是螺旋上升、逐步增大的,通过难度层层递进的例题设计,帮助学生加深了对所学知识的理解,使其在一次次适当难度的挑战中提高了高阶思维能力,发展了问题思考的广度和深度．

3.4 搭建互动平台,促进高阶思维发展

传统教学中教师为了赶进度或出于对学生能力的不信任,课堂互动交流特别是生生互动较少,学生的“学”是消极的、被动的,这严重影响了思维的发展．本节课探究等比数列的通项公式时,教师组织学生独立思考后将自己的成果在小组内交流．在独立思考时绝大多数学生都是由特殊到一般地进行猜想而非严谨的数学推理,此时设计小组内讨论可以让学生思维碰撞,产生新的火花．通过小组内成员互动合作,不少小组能进一步审视等比数列的定义,对比等差数列,从而给出较完善的等比数列通项公式的证明．在此过程中学生也感受到探究和解决新问题时要大胆假设,小心求证,让其思维更严谨．

基于共同目标的互动与合作能够促进个体的创新性认识,也很好地提升了学生的数学抽象、逻辑推理、沟通交流等能力,让学生抛开自我中心,学会主动倾听,懂得换位思考和尊重他人意见．

4 结语

在素质教育影响下的高中数学课堂教学需要在帮助学生建立系统的基础框架的同时,促进学生数学高阶思维能力的发展[2]．这就需要教师在遵循学生主体性原则下,根据他们的智力水平、现有基础知识、兴趣爱好等因素,优化教学设计,科学合理地安排课堂的每一个环节,借助新课引入引导其积极思考,在互动中指导其对问题深入思考,以便推动高阶思维能力的培养和发展．