百年数形双心结 千里因缘一线牵

郑智萍　黄腾达

摘   要：二次函数是初中数学学习的重点内容，融合初中数学代数与几何的内容，是每年中考压轴题的必考内容，实现对学生学科素养和思维品质的考查.作为初高中知识的衔接的一条重要纽带，可以将高中的一些知识和数学思想融入其中.

关键词：抛物线；初高中数学衔接；命题

1  试题展示

已知抛物线y=ax2+bx+c经过点（0，-1）对于任意的实数m，若点（m，t）在图象上，则点（-m，t）也在图象上.抛物线与x轴相交于两点，且两点间的距离为4.

（1）求抛物线的解析式.

（2）【模型探究】如图1，已知点A（0，n），n＜-1为y轴上的一个动点，过A点的直线AC与抛物线只有一个公共点B，其解析式为y=kx+n，连接OB.探究k与n的关系，并证明：OB=OA.

（3）【模型应用】如图2，过原点的直线交抛物线于E，F两点，经过E点、F点分别作不与轴垂直的直线，使它们与抛物线都只有一个公共点.两直线相交于G点，分别与y轴交于M，N两点.过G点作x轴的平行线PG，作EP⊥PG于P，作FQ⊥PG于Q，连接OG.求证：OG2=EP·FQ.

2  设计过程

2.1  命题意图

试题是一道二次函数综合题，旨在考查一次函数、二次函数、全等三角形、相似三角形、直角三角形等初中数学主干知识.试题关注抛物线几何性质的挖掘，以素养立意，考查学生的数学运算、数学抽象、数学建模、直观想象和逻辑推理等学科素养，关注学生代数推理和几何推理能力，考查学生的创新意识和应用意识[ 1 ].试题涉及的数学知识对应的具体学科核心素养的表现及其级别见表1.

2.2  命题过程

2.2.1  立意与选材：函数是初中数学的一个重要内容，承上，融合了数与式的运算、方程与不等式、平面几何图形的性质等知识，启下，为学生高中学习基本初等函数、解析几何奠定基础，是中考重点考查的内容之一，是考查学生的关键能力与学科素养的一个重要素材.

福建省近几年中考二次函数综合题的命制立意高远，有着很好的生长性，初高中衔接特点鲜明.

例1（2018福建中考摘录）如图3，抛物线y=-x2+2的顶点为A，P（0，4），过原点的直线交抛物线于M，N，求证：∠MPO=∠NPO.

例2（2019福建中考摘录）如图4，抛物线y=（x-1）2的顶点为A，过（1，1）的直线与抛物线交于B，C两点，过B点作直线y=-1的垂线，垂足为D，求证：A，D，C三点共线.

两道试题的背景实质上都来源于抛物线的几何定义及性质.

借鉴两道试题的命制，能否从抛物线其他的几何性质入手？

2.2.2  联系与搭架：抛物线有这样的光学性质：从焦点F发射出来的光线，经过抛物线镜面反射后，反射光线平行于对称轴.如图7，若过点A作抛物线的切线，则必有∠CAF=∠DAB.尝试从这一性质出发进行设计.

2.2.3  加工与调整：

第一稿注重推理、运算、通法.联立方程组求直线与抛物线的交点，根据点坐标计算线段的长度，证明线段相等，运用代数的方法解决几何问题.作为选择部分压轴题，试题效度不高，在班级里实测得分率偏高，与试题的实际难度相差较大.大部分学生利用图形直观得出答案，没有起到对试题背后的数学知识考查的目的.

第二稿：已知抛物线y=ax2+bx+c经过点（0，-1），对于任意的实数m，若点（m，t）在图象上，则点（-m，t）也在图象上.抛物线与x轴相交于两点，且两点间的距离为4.

（1）求抛物线的解析式.

（2）如图8，已知点A（0，n），n＜-1为y轴上的一个动点，过A点作一条与轴不垂直的直线AC，使AC与抛物线只有一个公共点B，连接OB，过B点作y轴的平行线BD.求证：∠OBA=∠CBD.

（3）如图9，过原点的直线交抛物线于E，F两点，经过E，F两点分别作两条与轴不垂直的直线，两条直线与抛物线都只有一个公共点.两直线交于G点，分别交y轴于M，N两点.求证：EG⊥FG.

在题中△EFG为直角三角形的背景下继续分析图形（如图2），根据抛物线的性质得出有GO⊥EF的结论，联系射影定理，有GO2=EO·FO.两直线垂直的代数表征是两直线斜率之积为-1，但这是高中知识范围.如何转化成初中学生所能接受的方法，突出对初中核心知识的考查，同时关注初高中数学思想方法上的衔接？

由抛物线的性质可知，点G在抛物线的准线上.在此基础上，如图2，过G点作x轴的平行线PG，作EP⊥PG于P，作FQ⊥PG于Q，由于原点为该抛物线的焦点，可以知道有EO=EP，FO=FQ的结论.再根据MO=EO可以得到∠OEG=∠PEG，由此可以证明出△EPG≌△EOG，于是有EO=EP，FO=FQ，故有GO2=EO·FO.通过改编，以高中的知识为背景，着重对初中知识的考查，题在课外，根在课内，较好考查学生综合运用知识解决实际问题的能力，对学生的学科素养要求更高，最终完成本题定稿.

2.3  试题分析

3  试题评析

作为一道函数综合题，本题以抛物线的光学性质、抛物线阿基米德三角形为背景，立意深远，难易适度，区分度高，综合性强，既面向全体又能照顾优等生，关注初高中知识和方法上的衔接的同时，突出对初中核心知识与能力的考查.本题考点多，涵盖了二次函数的图象与性质、直线和抛物线的位置关系、全等三角形、相似三角形、等腰三角形的性质与判定、两条直线位置关系的判定等初中数学核心知识.本题综合性强，考查学生的综合分析法、数形结合、转化与化归等重要数学方法，要求學生能够综合运用所学知识解决实际问题.本题重视对素养考查，全面考查学生的数学运算、数学抽象、数学建模、直观想象和逻辑推理的学科素养[ 2 ].

第一问，考查二次函数的图象和性质.面向全体，起点低，体现基础性.

第二问，考查运用代数的方法研究几何问题的能力，涉及直线与抛物线相切的代数表征、两点坐标求线段长度的通法，体现综合性.

第三问，需要学生对第二问的结论进行数学抽象，得出数学模型，并利用数学模型进行推理.考查学生综合分析法解决问题的能力和综合运用知识的能力.考查学生的数学建模、数学抽象、直观想象、逻辑推理的学科素养，体现综合性、应用性和创新性.

4  命题拓展

本题揭示了抛物线的光学性质：从焦点发出的光线经过抛物线镜面反射后平行于抛物线的对称轴.

更一般地，若经过（0，b）（b>0）的直线交抛物线y=ax2于A，B两点，D为AB中點.过A，B两点作抛物线的切线，交于点C.则C点在直线y=-b上，CD与对称轴平行[ 3 ].

5  命题反思

“数”与“形”，是两个永恒的数学话题，总是形影相随不可分割.本题通过“抛物线”的纽带，将代数推理和几何推理进行了深度融合，把高中的知识分解成学生能够理解掌握的知识进行渗透，实现初高中数学思想方法上的衔接.当然，试题由于涉及高中知识背景，若过份强调初高中衔接问题，在一定程度上会造成高中知识下放等教学内卷的不良现象.

近几年来，“初高中衔接”又登上了热门话题.笔者认为，初高中衔接，绝不是简单地把公式、结论介绍给学生，也不是一味地灌溉式的拔苗助长.初高中衔接，要关注课内知识的生长点，关注它与高中对应知识在数学思想方法上的衔接.所以在教学中，教师在讲授课内知识时，除了关注“它是什么？”“它从哪里来？”，还要关注“它要到哪里去？”“它要怎么去？”，把部分高中的知识点在恰当的时间恰当的节点以恰当的形式呈现给学生，拓展学生的知识面，领悟其中的思想方法，提升学生的学科素养，让学生更快适应今后高中的数学学习.

参考文献：

［1］ 卞倩璐，濮安山. 数学核心素养考查分析：以2020年南京市中考数学试题为例[J].初中数学教与学，2021（13）：4-6.

［2］ 徐登近.聚焦核心素养 探寻数学本质：以一道解析几何模拟试题教学为例[J].中学教研：数学版，2021（11）：18-20.

［3］ 苏立标.寻找探究的链接点 有效激活课堂教学[J].中学数学，2010（9）：9-10.