由对称α稳定运动驱动的随机微分方程参数估计

潘玉荣,贾朝勇,沙翠翠

(蚌埠学院数理学院,安徽 蚌埠 233000)

0 引言

随机微分方程常被用于金融学、经济学和生物医学等领域随机现象的建模[1-2].实际应用中,由于受到随机因素的干扰,导致随机微分方程的参数部分未知或全部未知,所以对随机微分方程中的参数进行估计成为亟待解决的关键性问题.随机微分方程参数的统计推断是概率论及其应用的重要研究领域.因此,研究随机微分方程的参数估计问题具有实际价值和重要理论意义.

假设(Ω,F,P)是一个右连续且带有增的σ-代数流(Ft,t≥0)的概率空间,{Zt,t≥0}是定义在此概率空间上的标准对称α稳定Lévy运动,1<α<2.考虑如下一类线性随机微分方程(SDE):

(1)

其中,a,b0为常数.

Ornstein-Uhlenbeck过程{Xt,t≥0}为方程(1)的唯一强解,x0(x0∈R)是该过程的初始值.当方程(1)中的Zt表示高斯过程时,相应的随机微分方程参数统计推断问题已被广泛研究[3-10],特别是由标准布朗运动驱动随机微分方程的参数估计研究已形成较为完善的理论体系.当Zt表示α稳定Lévy运动时,随机微分方程(1)的解Xt(t≥0)将服从α稳定边缘分布.具有α稳定边缘分布的Ornstein-Uhlenbeck过程属于非高斯的Ornstein-Uhlenbeck过程.这类非高斯的Ornstein-Uhlenbeck过程在计量经济学和金融学方面具有重要应用,受到很多学者的广泛关注.然而因α稳定过程具有无限变差性质,所以关于α稳定Lévy运动驱动的随机微分方程参数估计的研究较少.HU等[11]提出Ornstein-Uhlenbeck过程在时间上能被连续观测,采用轨道拟合与加权最小二乘技巧相结合的方法构造了随机微分方程漂移项未知参数的估计量,并讨论估计量的统计性质.鉴于实际问题中获取所讨论过程的连续观测数据是非常困难的,因此,一些学者假定过程能被离散观测,研究方程(1)的参数估计问题[12-16].HU等[12]讨论了随机微分方程(1)中漂移项参数a等于0、b0(b0>0)是未知待估参数的情况,构造了b0的最小二乘估计量并研究其统计性质.与文献[12]不同,ZHANG等[13]基于过程的积分形式构造了未知参数另一种最小二乘估计量,并研究了噪声Zt的稳定指数α满足0<α<2时估计量的强相合性和渐近分布.PAN[14]和FAN[15]研究了随机微分方程(1)的漂移项参数a和b0都未知的情形,运用不同技巧构造了两个未知参数的最小二乘估计量,然后证明了估计值具有强相合性,并给出了一定规则条件下估计量误差的渐近分布.

本文主要考虑随机微分方程(1)漂移项有两个参数,其中a已知但不等于0,b0(b0>0)未知的情形.假设过程{Xt,t≥0}在离散观测时间点ti(ti=ih,i=0,1,2,…)能被观测到,采用文献[12]中的最小二乘技巧构造了漂移项未知参数的估计量并探讨估计量的统计性质.并利用Matlab软件对该估计量进行了数值模拟.

1 预备知识

定义1.1 假如随机变量η的特征函数φη(u)能够被写成:

Eexp(iθη)=exp(σα(-|θ|α+iθw(θ,α,β))+iμθ),

则称η服从α稳定分布,记作η～Sα(σ,β,μ).参数α,μ,σ,β分别称为该α稳定分布的稳定指数、位置参数、尺度参数和偏度参数,且0<α≤2,σ≥0 ,-1≤β≤1,μ∈R.若μ=0,则该分布是严格α稳定的;若μ=0且β=0,则称随机变量η服从对称α稳定分布.若μ=0,β=0且σ=1,则称η服从标准对称α稳定分布,记作η～Sα(1,0,0).稳定指数α取不同值时的标准对称α稳定分布密度函数曲线如图1所示.

图1 标准对称α稳定分布Sα(1,0,0)的密度函数

关于α稳定Lévy运动的It-型随机积分得到了广泛研究[17-18].假设为定义在[0,+∞)×Ω上的所有实值F-可测过程f(t,ω)构成的族,即当且仅当称可测过程f(t,ω)关于α稳定Lévy过程是可积的.

引理1.1是文献[18]中推论3.1的结论,引理1.1的详细证明过程可参见文献[18].

引理1.2 假设随机变量Y服从一个指数α(0<α<2)的稳定分布,即Y～Sα(σ,β,μ),则(i)当0

2 最小二乘估计量的构造及其强相合性

假设随机过程X在离散时间点ti(ti=ih,i=0,1,2,…)能被观测到.应用最小二乘技巧,可得到随机微分方程(1)的比较函数:

(2)

显然,随机微分方程(1)满足Lipschitz条件和线性增长条件,所以其有唯一解,此解如下:

(3)

根据(3)式,通过计算得到:

(4)

(5)

b0是未知参数的真实值,则根据(5)式,容易计算得到:

(6)

要想证明定理2.1,需要建立下面的三个命题.命题2.1、命题2.2和命题2.3分别给出了Ψ1,Ψ2,Ψ3的收敛性.

命题2.1 当h→0时,有Ψ1→0.

命题2.1的结论是显然成立的.

对于Ψ2,通过基础计算和Hölder不等式有:

(7)

(8)

根据遍历定理和引理2.2可知,n→∞,τn(tn)→∞.对于Ψ3,得到:

(9)

(10)

几乎处处成立.

根据Hölder不等式,容易推出:

(11)

根据式(8)可知,当n→∞时,式(11)右边趋向0.综合式(9)至(11)可得,命题2.3成立.

根据式(6)并结合命题2.1、命题2.2和命题2.3,容易证得定理2.1成立.

3 数值模拟

图2 随T增大的波动图

表1 最小二乘估计量的数值模拟结果(真实值为3)

4 结语

针对一类由对称α稳定Lévy噪声驱动的随机微分方程的参数估计问题,本文提出Ornstein-Uhlenbeck过程在时间上能被离散观测,运用最小二乘技巧构造了随机微分方程漂移项中未知参数的估计量,并讨论了该估计量的统计性质.研究结果表明,在一定条件下构造的最小二乘估计量具有强相合性,Matlab数值模拟结果进一步验证了该结论.本文构造的最小二乘估计量的统计性质很复杂,本文在此仅论证了其具有强相合性,在今后的研究中将进一步讨论该估计量误差的渐近分布.