从三角形面积看勾股定理单元的教学设计

刘靖

【摘  要】  古人云：“通神明、顺性命；立规矩、准方圆；周三径一、方五斜七.”这些语句体现出勾股定理的重要性.主要应用是求线段长即两点间距离公式和中点坐标公式，高中教材直接探索锐角、钝角三角形三边关系，创新性选择探究勾股数和画无理线段为学生提供建模的思维平台.

【关键词】  初中数学；三角形；勾股定理

初中知识可以推导的三角形面积公式有：

，，，

，

⑤，

⑥，其中.

基于此，本文绘制了勾股定理单元结构图（如图1）和勾股定理单元教学课时安排表（表1），并围绕其进行教学设计.

图1

表1

课时 1 2 3

基础知识 勾股定理 勾股定理逆定理 探索勾股数与画无理线段

基本技能 方程法、面积法 同一法、反证法 归纳法

基本思想 分类、数形结合、特殊到一般 转化、数形结合、一般到特殊 演绎推理、归纳推理

基本活动经验 发现问题、提出问题、解决问题 猜想、证明、归纳 信息技术、网络资源共享

核心素养 几何直观、抽象能力 推理能力、模型观念 创新意识、应用意识

1  勾股定理

1.1  教材内容分析

教材结构人教版，内容北师版借鉴华师版.几何理论上一维有，二维有，代数上科学家研究的是不定方程问题有无数多个正整数解，也有无数多个正整数解，对于高于二次的方程没有正整数组，使等式成立，即费马大定理.教材中更侧重于计算直角三角形的面积，而我认为初中可以计算一般三角形面积，在数轴上可以用一个直角三角形如何表示二次方根，这是学生可以研究的内容.

1.2  学情分析

学生思维停留在拼图上，借助旋转等积变形证明定理是突破难点关键性方法.

1.3  教学目标的确定

（1）教学目标

知识与技能：理解并掌握勾股定理证明，并且能初步运用勾股定理解决问题.

过程与方法：经历探索勾股定理的过程，并且能体会特殊到一般方法和数形结合思想.

情感态度价值观：通过了解与定理有关的中外数学史，激发兴趣和研究精神.

（2）教学重难点

教学重点：勾股定理的证明和运用.

教学难点：几何直观证明勾股定理.

1.4  教学过程的设计

（1）创设情景，导入新课

①直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三边关系如何？

②以三角形各边为边长向外作正方形，求三个正方形面积恒成立的关系？

（2）合作探究，形成猜想

问题1  网格状态下计算三角形面积方法？

问题2  抽离网格计算三角形面积方法？

问题3  试阐述勾股定理的其他推导方式？

问题4  锐角、钝角三角形三边数量关系？

（3）独立思考，验证过程

例1  在中，，求斜边上的高、线段及面积.

（4）巩固提高，灵活运用

①直角三角形直角边长分别为和，求第三边？

②直角三角形两边长分别为和，求第三边？

③一般三角形的两边长为和，求三边取何值为锐角三角形？

④一般三角形的两边长为和，求三边取何值为钝角三角形？

⑤如图2，在中，，高，求的面积？

图2

1.5  小结升华，思维建构

（1）知识；（2）方法；（3）经验.

1.6  基础作业

①蚂蚁沿图3所示的折线由点爬到了点，蚂蚁一共爬行了多少厘米？（图3中小方格的边长代表）

图3

②如图4，有枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长最短几何？

图4

③如图5，一只蚂蚁从圆柱体的下底面点沿着侧面爬到上底面点，已知圆柱的底面半径为，高为（取），则蚂蚁所走过的最短路径是？若取道母线到顶沿直径爬行此路线最短，高应在什么范围内？

图5

④如图6，长方体三条棱的长分别为，，，蚂蚁从1出发，沿长方体的表面爬到C点，求最短路线长？若从内部通过最短距离长？

图6

1.7  探究作業

①台阶栏杆如图7，横为和，竖为和，求栏杆总长？

图7

②研究各种装修梯子及消防云梯的高度？对高层建筑的平流层封门问题提建议？

③已知：对于正数，求证：.

④求的最小值？求的最大值

⑤观察图8和图9，阅读网上资料了解非欧几何.

图8                   图9

2  勾股定理逆定理

2.1  教材内容分析

教材直角三角形用同一法证明逆定理，现实生活是一般三角形普遍存在，尝试用其他方法可证.

2.2  学情分析

综合分析法在上学期二次全等的证明中刚刚完成，学生分析完整思路清晰，但对反证法和同一法接触较少，演绎推理是高中教学的主要内容，但十分有意思是在这一节课恰好可以水到渠成地汇集成一股清新隽永的源泉.

2.3  教学目标的确定

（1）教学目标

知识与技能：理解勾股定理的逆定理.

过程与方法：经历探究勾股逆定理的过程，突出代数、几何证法.

情感态度价值观：培养学生积极探索、勇于创新、学以致用的意识.

（2）教学重难点

重点：勾股定理的逆定理的探索及应用.

难点：用同一法证明勾股定理的逆定理.

2.4  教学过程的设计

（1）创设情景，导入新课

用尺规画三角形指出形状，并求出面积？

①；②；③.

（2）观察过程，写出结论

设为中最大的内角，

若，为锐角三角形；

若，为直角三角形；

若，为钝角三角形；

（3）特殊一般，驗证命题

例2  已知：中，，求证：不是直角三角形.

反证法：①假设它是一个直角三角形.

②根据勾股定理，一定有，与已知矛盾.

③因此，假设不成立，不是一个直角三角形.

例3  已知：中，， 求证：是直角三角形.

代数法：如图10，作于，在形内记为，设，，

若垂足点在形外记为，设，，，

点、与点重合，为直角.

图10

几何法：画，使B＇C＇=a，A＇C＇=b，∠C＇=90°，

B＇C＇2+A＇C＇2=a2+b2=c2=A＇B＇2，

AB=A＇B＇=c，BC=B＇C＇=a，AC=A＇C＇=b，

△ABC≌△A＇B＇C＇，

∠C=∠C＇=90°.

小结：①证明方法

②互逆命题与互逆定理

③知三边可判断形状或求面积

（4）巩固训练，应用定理

例4  判断由线段组成的三角形是不是直角三角形.

；.

（5）作业

①在四边形中，，求四边形的面积？

②设直角三角形的两条直角边长及斜边上的高分别为，以下选项正确的是？

能组成三角形.

能组成三角形.

能组成三角形.

能组成三角形.

③等边中，点是内部一点，求？

④在正方形中，点是内部一点，，求？

3  探寻勾股数与作无理线段

3.1  教材内容分析

勾股数公式为通项公式之一，研究有没有差的，？如、、、、、……

每一个被开方数为整数的无理线段都可以一次性通过作直角三角形做出来，选讲这部分内容可减少累积误差.

3.2  学情分析

数学原理都经历了提出、验证、普适的过程，思维方法是问题解决的重点.勾股数采用数学实践活动的方式意在学生知道思考一个猜想的形成和验证的整个过程建立模型意识.

3.3  教学目的

知识与技能：会用乘法公式求勾股数，会画常用的无理线段.

过程与方法：探索勾股数和无理线段清晰生成规律性结论.

情感态度与价值观：运用数形结合思想解决实际问题.

3.4  教学活动设计

（1）创设情景，导入新课

问题1  画为边的直角三角形其它两边是什么数？你还能画多少个？

问题2  探寻勾股数组

①研究时间轴

②你认为勾股数有哪些公式

……

（2）实践创新，构建组表

可构建如表2组表.

表2

原数 勾股数组

（3）分析奇偶，探求公式

例5  用平方差公式求勾股数组.

①算一条边的平方；②分解因数；③由列方程解其他两边.

被开方数为正奇数，.

被开方数为正偶数，.

（4）特殊一般，无理线段

交互展示 ①连续 ②一次.

4  教学反思

研讨课题乘风破浪的过程、是阐述数理蓄势待发的积淀、是仰望发展文化苦旅的伊始.学生以敏锐的数学眼光看，用清晰地数学思维写，播慧心得数学语言辩，激情趣之数学主动性，成同竞乎数学好玩群.如同这个生日帽展开卡的两端是省市区教学基本要求指导下完成，正面是师生共同的历练，勾股定理是数学史的璀璨明珠.

参考文献：

[1]贾保柱.基于高阶思维培养的数学深度教学——以“勾股定理”教学为例[J].江苏教育，2023（07）：42-46.

[2]余叶军.立足思维发展，促进素养生成——以“勾股定理”复习教学为例[J].数学教学通讯，2023（02）：74-75.

[3]薄守昌.例谈勾股定理在解题中的应用[J].中学数学教学参考，2021（30）：54-55.

[4]方海国.浅谈初中数学勾股定理的拓展教学[J].天津教育，2021（17）：90-91+94.

[5]朱记松.观“三角形面积最值”视频课有感[J].数理化学习（初中版），2019（06）：12-14.