根的判别式应用中应注意的几个问题

李德江

【摘  要】  数学解题，必须小心谨慎，处处提防那些防不胜防的“陷阱”.在一元二次方程的判别式的应用中，有几个解题误区应特别引起大家的注意.本文结合例题分析，以帮助学生走出误区，提高解题的正确率.

【关键词】  判别式；一元二次方程；初中数学

数学解题，贵在思维缜密，如果掉以轻心，必然会犯下这样或那样的错误.在一元二次方程的判别式的应用中，有几个解题误区应特别引起大家的注意.为了防患于未然，本文提出如下问题，以期大家莫入误区.

问题1  一元二次方程的二次项系数可以为零吗？

例1  已知关于x的一元二次方程有实数根，求的取值范围．

错解  因为一元二次方程有实数根，

所以判别式＝.

剖析  一元二次方程有实数根的条件是：（1）二次项系数；（2）≥0．错解只考虑了（2），而忽视了（1），即忽视了二次项系数不为零这一条件．

正解  且．

问题2  用韦达定理解题时你注意根的判别式了吗？

例2  已知关于的一元二次方程．求它的两根的平方和的最小值.

错解  设方程的两个实数根为，，

则＋＝，．

所以.

所以當时，两根的平方和的最小值为.

剖析  两个根的平方和为负数，显然不对.问题就是出在忽视了大前提：原方程有实数根，因此必须先考虑根的判别式，从而确定实数的取值范围.

正解  因为.

所以.

当时，两根的平方和的最小值为2.

问题3   题目中的条件你看清楚了吗？

例3  当取哪些整数时，关于的两个方程：①与②的解都是整数？

错解  由题意可得

解得－

故满足条件的整数m为－1，0，1．

剖析  当时，方程①的解不是整数；当时，方程①不是一元二次方程，方程②的解不是整数；当时，两个方程的解都为整数，方程①的解是，方程②的解是，．显然，与不合题意，应舍去．错解忽视了的取值应使所给两个方程的“解都是整数”这个重要的题设条件.

正解  ．

问题4  题目中隐含条件你注意了吗？

例4  已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．

错解  因为方程有两个不相等的实数根，所以，

解这个不等式得．

因为二次项系数，即，

所以的取值范围是且．

剖析  错解忽视了隐含条件必须有意义，故有．

正解  由题设可得 ，

解得且．

因此，的取值范围是且．

问题5  二次项系数含字母的方程一定是二次方程吗？

例5  已知关于的方程，当为何值时，方程有实数根？

错解  因为方程有实数根，所以，

即，

解得，

又因为，所以且.

剖析  错解默认该方程是二次方程，其实此方程也可以是一次方程，故此题应分一元一次方程与一元二次方程两种情况讨论.

正解  （1）当时，原方程为一元一次方程，其实根为，故k可取0.

（2）当时，原方程为一元二次方程，应满足，即且，综合（1）（2）知.

结语

数学解题，必须小心谨慎，处处提防“陷阱”.而要做到这一点，我们在平日解题时就应养该成认真审题、自觉挖掘题目中的隐含条件的解题习惯，只有这样，才能提高解题的正确率.

参考文献：

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