借助网络画板探究点运动的路径——以2018年贵阳市的一道中考题为例

李健雄

(莆田哲理中学,福建 莆田 351100)

把数学变得更容易学习,是张景中院士从20世纪70年代就开始思考并着手实践的事情,这也是“教育数学”的来由.随着教育信息化和数学学科信息技术的发展,为促进信息技术与数学教与学的创新融合带来了契机.网络画板(前身是超级画板)是最近几年发展起来的数学学科专用的优秀的信息技术平台,是中小学数学教学开发共享的数学实验室.笔者利用网络画板对2018年贵阳市中考的一道与点运动路径有关的试题进行探究,采用“模型提取——解题关键——完整解答——解后反思——巩固训练”的形式,让读者知一型,悟一法.

1 试题呈现

(1)当m=3时,求点A的坐标;

(2)DE=____,设点D的坐标为(x,y),求y关于x的函数关系式和自变量的取值范围;

(3)连接BD,过点A作BD的平行线,与(2)中的函数图象交于点F,当m为何值时,以A,B,D,F为顶点的四边形是平行四边形[1]?

图1 中考题图

2 模型提取

已知A,B,D三点确定(含m的式子),在抛物线上求一点F,当m为何值时,以A,B,D,F为顶点的四边形是平行四边形.

3 探究实验

第(2)问:如图2所示,拖动变量尺m,观察点D运动的路径,猜测这是什么函数的图象.

第(3)问:如图3所示,拖动变量尺m,观察点F1,F2,F3(点F1,F2,F3是过△ABD的顶点分别作对边平行线的交点),有几次机会落在点D的路径上.

图2 m=4时

图3 m=2.84

4 解题关键

(1)将m=3代入反比例函数解析式即可求出.

(2)本题用几何方法从图形上确定点D的运动路径很难,但点D的运动是由字母m的变化引起的, 点D的坐标和m之间就有着某种关联,可通过几何关系建立二者的内在联系,可得到D的坐标x和y关于m的关系式,消掉参数m即得到y关于x的函数关系式.

(3)虽然A,B,D三点随m的变化而变化,但都可以用m的式子表示,把它看作定点, 问题转化成已知三定点,求一点使这四点为顶点构成平行四边形的问题.因为BD∥AF,因此BD和AF是平行四边形的对边,即只有AD和AB是对角线两种情况,可以通过构造全等三角形,或平移前后对应点在水平和坚直方向上平移的距离相等,或平行四边形两组相对顶点横坐标之和相等,纵坐标之和也相等解决.

5 完整解答

(2)如图4所示,延长EA交y轴于点N.

图4 第(2)问示意图

∵DE∥y轴,

∴∠NCA=∠EDA,∠CNA=∠DEA=90°,∵AD=AC,∴△NCA≅△EDA,

∴DE=CN.∵点A(m,m2-m),B(0,-m),

∴BN=m2-m-(-m)=m2,AN=m.在Rt△CAB中,AN⊥y轴,

∴△ANC～△BNA,∴AN2=CN·BN,

∴m2=CN·m2,∴CN=1,

∴DE=1,∴点E坐标为(2m,m2-m), 点D坐标为(2m,m2-m-1).

(3)解法1 ∵x>2,

图5 解法1示意图

当四边形ABDF是平行四边形时,AF=DB.

∵FQ∥y轴,∴∠HMF=∠AFQ.

∵AF∥BD,

∴∠HMF=∠HBD,∴∠AFQ=∠DBH,

∴△FQA≅△BHD,∴AQ=DH=2m,FQ=BH,

∵D(2m,m2-m-1),B(0,-m),

∴BH=m2-m-1-(-m)=m2-1,

∴当m=2时,以A,B,D,F为顶点的四边形是平行四边形.

解法2 如图6所示,分别过△ABD的顶点A,B,D作对边的平行线交于点F1,F2,过点A作GH∥x轴,过点B作BI∥x轴,作F2H∥y轴,F1G∥y轴,交点分别为G,H,I.

∵四边形ABDF1和四边形AF2BD是平行四边形,易证△AGF1≅△AHF2≅△BID,

∴F1G=HF2=DI,AG=HA=BI.

∵x>2,A(m,m2-m),B(0,-m),D(2m,m2-m-1),设F1(xF1,yF1),F2(xF2,yF2),

图6 解法2示意图

①当四边形ABDF1是平行四边形时,有

即F1(3m,2m2-m-1).

解得m=2或m=0(舍去).

②当四边形AF2BD是平行四边形时,有

即F2(-m,1-m).∵m>1,∴-m<-1.

综上所述, 当m=2时, 以A,B,D,F为顶点的四边形是平行四边形.

6 解后反思

本题为代数几何综合题,考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的全等、相似三角形的判定与性质、平行四边形判定及用字母表示坐标,熟练掌握和灵活应用相关知识、利用数形结合和分类讨论的数学思想是解题的关键．

当用几何方法难以确定动点运动路径时,一般用相似(全等)或线段间的数量关系得出动点横、纵坐标之间满足的关系,即把几何问题转化为代数问题,然后从函数的关系入手.

在日常教学或者解题教学中,遇到动点的路径问题,教师应该借助网络画板、超级画板、几何画板或者GGB等软件,做动画给学生展示动点的运动过程,让“静”的几何元素“动”起来,不仅形象生动,激发学生的学习兴趣,还可以培养学生的几何直观能力,提升学生直观想象素养.

7 巩固训练

(2021年铜仁市中考题)如图7,E,F分别是正方形ABCD的边AB,BC上的动点,满足AE=BF,连接CE,DF,相交于点G,连接AG,若正方形的边长为2,则线段AG的最小值为____.

图7 巩固训练题图