渗透数学思想方法 提升数学核心素养——以“角平分线的定义及应用”教学为例

郑 莉

(福建省永泰县第二中学,福建 福州 350703)

《义务教育数学课程标准(2022年版)》指出:核心素养是在数学学习过程中逐渐形成和发展的,发展学生核心素养的有效载体是“四基”和“四能”[1].因此,在教学活动中,教师既要注重学生基本知识与基本技能的落实,还要注重学生数学活动经验的积累,特别是数学思想方法的渗透,让学生感悟数学基本思想,并内化为心理特征.文章以“角平分线的定义及应用”的教学设计为例,阐述教师引导学生类比“线段的中点”的探究方法去探究“角平分线”.围绕着问题串,展开一系列的思维活动,有意识地挖掘其中所蕴含的数学思想,体会教学中的类比迁移、数形结合、分类讨论等思想方法,提升数学核心素养.

1 教学内容分析

义务教育新课程标准指出,教学内容是落实教学目标,发展学生核心素养的载体.这节课内容为《义务教育教科书·数学》(人教版)七年级上册第四章第四节《角的比较与运算》(第2课时),主要内容为角平分线的定义及其应用,是在学生学习角的和差基础上,将问题特殊化,引入角平分线.角的平分线与线段的中点是类比性知识,都是从数和形两个方面进行研究;都采用图形语言、文字语言、符号语言来进行描述;都从具体到抽象(模型→图形→文字→符号),或反向进行训练.教学中,引导学生类比“线段的中点”进行学习,通过问题串展开探究活动,在获得活动经验的同时,体会数形结合、分类讨论等思想方法,为后续图形与几何的学习提供必备的知识经验与思想方法.

2 学情分析

学生在小学阶段已经学过本章节的相关内容,对于线段、角等图形的基本特征已有一些感性的了解,但仅仅局限于形的认识,还没上升到用数来描述图形.一开始,学生对这章的学习信心满满,因为内容熟悉,但很快感到一片茫然,面对问题,知道结论,却不懂如何表达,真是一筹莫展.究其原因,主要是学生的抽象思维能力较差,无法理解图形语言、文字语言、符号语言之间的可转化关系,更不要说在应用中渗透类比、数形结合等思想方法,并且达到融会贯通.为此,教师要善于引导学生积极主动地参与数学活动,不断感悟数学基本思想,积累数学思维经验,发展、提高数学核心素养.

3 教学目标分析

(1)理解角平分线的意义及数量关系.能结合角平分线的直观图形,用文字语言和符号语言描述其数量关系.反过来,也能根据文字语言和符号语言的表述,画出直观图形来.体会转化思想,培养学生反向思维能力,提升抽象能力等核心素养.

(2)类比线段中点的研究,将其方法迁移到到角平分线的探究中,应用角平分线的定义及其数量关系解决问题,体会类比与数形结合思想,发展学生应用意识及运算能力等核心素养.

(3)在变式训练中,体会分类讨论思想方法,发展学生的推理能力等核心素养.

4 教学支持条件分析

利用黑板板书知识框架,强调格式规范书写;通过希沃白板展示课件内容;利用几何画板展示图形变换,从静态到动态,让学生从观察、操作、想象、交流中认识图形.

基于上述的分析确定这节课的重难点:

教学重点:掌握角平分线的定义及其数量关系,感受类比的思想.

教学难点:能应用角平分线的定义及其数量关系灵活解决问题,体会数形结合思想.

5 教学过程

5.1 回顾旧知,初步渗透数学思想方法,提升数学核心素养

问题1 如图1,已知点C为线段AB上的任意一点,则图中线段AC、BC、AB存在怎样的数量关系?如果点C为线段AB的中点,则它们之间又有怎样的数量关系?

图1 线段AB

变式已知AB=100,

(1)点C为线段AB上的一点,D、E分别是AC和BC的中点,求DE的长度.

(2)将(1)中的“线段AB”改为“直线AB”,结论还成立吗?

师生活动学生思考、回忆解决问题的方法,教师利用几何画板演示图形动态变化(点C相对线段AB的不同位置),学生代表回答解题思路,师生一起点评.

[设计意图]上述问题的提出,让学生在回顾线段中点定义及应用的同时,掌握根据已有的图形或画符合条件的图形来求线段之间的数量关系的方法,初步体会数形结合、分类讨论等思想方法在几何综合应用中的重要性,为后面角的学习提供类似的学习方法做更进一步的铺垫,提升了几何直观、运算能力等核心素养.

5.2 探究新知,逐步渗透数学思想方法,提升数学核心素养

问题2 类比线段之间的数量关系,说说角之间有哪些数量关系?请在练习本上画图:

①画有公共端点的三条射线OA、OB、OC.

②表示出图中的所有数量角.

③说出这些角存在的关系.

师生活动学生动手画图,教师走到学生当中去,关注学生的解答情况,并展示有代表性的答案.教师利用几何画板演示射线OC相对于∠AOB的位置的动态变化图(绕点O顺时针或逆时针旋转),引导学生观察并归纳射线OC在∠AOB的内部或外部.

追问1 类比线段的中点,射线OC有没有一种特殊的位置,使得∠AOC和∠BOC相等?若有,请画出图形.并给这种特殊位置的射线OC取一个名字.

师生活动学生画出图形,如图2,并口头作答(角中点、角中线等),教师给出规范的名称(角的平分线).

图2 射线OC相对于∠AOB的位置动态变化图

[设计意图]类比线段的中点的探究方法,从画射线OC开始,OC相对于∠AOB的位置从一般到特殊,引入角平分线,过渡自然,让学生再次体会数形结合与类比等思想,同时加深理解知识之间的紧密联系,完善认知结构.

追问2 类比线段的中点的表示方法,你能用符号及文字表示图2中∠AOC、∠BOC、∠AOB之间的关系吗?

追问3 请回顾一下我们是如何学习角平分线?反过来,由角平分线可以得出哪些结论(结合图2)?

师生活动教师引导学生类比线段中点的学习方法,从相等、二倍、一半关系来理解角平分线的概念;学生小组交流,由代表发言,教师及时纠正学生的错误描述,并规范板书推理过程.

[设计意图]通过类比,让新知自然生成,让学生在讨论、探究与解决问题中,逐步感悟类比思想,有效地提升学生几何直观、抽象能力等核心素养.

5.3 运用新知,持续渗透数学思想方法,提升数学核心素养

例1 如图2,OC是∠AOB的平分线,若∠BOC=29.5°,则∠AOC=____, ∠AOB=____.

变式1 如图2,OC平分∠AOB,∠AOB=59°,求∠AOC.

变式2 判断“如果∠AOB=2∠BOC,那么OC平分∠AOB.”这句话对吗?为什么?

师生活动例1由学生口头回答,教师给出评价;变式1由师生共同解答;变式2由学生讨论解决,教师加以引导.

[设计意图]设计例1的目的是为了考查学生是否理解角平分线的几何意义,能否正确选择对应的数量关系解题,从而正确地完成文字语言、图形语言、符号语言三者的相互转化.其中变式2中射线OC相对于∠AOB的位置不明确,引导学生类比问题2,画出图形(OC在∠AOB的内部与外部两种),直观形象,学生能正确做出判断,同时发现角平分线的性质反过来说不一定成立,为后续的互逆命题的学习积累经验,培养学生的逆向思维,让学生进一步体会数形结合、类比迁移等思想,提升学生几何直观、抽象能力和推理能力等核心素养.

5.4 课堂小结,深入渗透数学思想方法,提升数学核心素养

问题6 这节课我们学习哪些知识内容?

追问回顾这节课的学习过程,我们从线段中点的问题入手,引入角平分线,从三种语言的相互转化中,形成并利用角平分线的定义解决问题,从中你体会最深的是什么?

[设计意图]设置开放性问题,学生能畅所欲言.教师引导学生归纳、总结,从中提炼数学思想与研究方法,深入体会到类比迁移、分类讨论及数形结合等思想方法在本节中的运用,为后续的学习提供类似的学习经验.

6 教学反思

核心素养具有可教、可学的知识层面,也蕴含可感、可知的思想层面.因此进行教学设计时,教师必须考虑在哪些环节,采用何种方法将相关的思想渗透进去,让学生更好地掌握知识、解答问题,提升数学核心素养.基于这点,设计这节课时,无论是回顾知识,还是探究新知,或是新知的应用等环节中,应无时无刻地进行数学思想方法的渗透.让学生在循序渐进的教学中,反复不断地感悟类比迁移、分类讨论、数形结合等思想,提升解决问题的能力.

总之,数学核心素养的提升始终伴随在教与学中,在知识和技能的掌握中,在数学思想的形成中,在问题的发现和提出、分析与解决中,而其中的思想看不见,摸不着,经常被忽略.所以在课堂教学中,教师应注重引导学生在活动中体会数学思想,最终内化为自身的能力.