深挖教材 提炼方法 培养思维——浅谈初中数学中的分类讨论思想

陈友杰

(福建省闽清县第二中学,福建 福州 350811)

在初中数学解题中,解题方式较为灵活,一道习题可能会有多种解题方式,不同类型的题目也可能有着相同的解题思路.在数学问题解决中,教师应当注重数学思想的应用.分类讨论思想是重要的数学思想之一,广泛用于学习与生活,可完善学生数学知识体系,锻炼学生思维能力及逻辑能力.同时,借助分类讨论思想,帮助学生整理数学知识点,深入探究数学知识规律,简化数学问题,让学生切实做到举一反三.

1 初中数学教材中分类讨论思想内容分析

在初中数学教材中,包含很多分类讨论思想内容,要求学生在学习过程中,体会分类讨论思想,做出归纳和总结,以此,完善学生知识结构,体会分类讨论思想在解题中的运用.初中数学各阶段分类讨论思想内容如表1所示.

对于初中阶段的学生来说,刚刚系统化地接触分类讨论思想,想要深入发掘教材中的分类讨论思想,需要了解分类的原则与步骤,尝试自主分类,明确分类思路,为数学问题解决做出知识迁移准备[1].

表1 初中数学教材分类讨论内容表

2 分类讨论思想的应用原则

2.1 同一性原则

在初中数学解题中,分类讨论应当坚持同一个标准,对对象做出合理的分类.需要让学生认识到,分类思想应用的前提是有着明确的研究对象,只有准确把握对象特征,才能够灵活利用,围绕同一性进行分类,避免出现不同组对象产生属性交集.

2.2 层次性原则

针对多次分类问题,需要准确把握层次性原则,结合概念的差异做好研究对象分类.在整个分类过程中,应当做到全面考虑,避免忽略对象的某个属性,导致出现分类错误.

3 初中数学解题中分类讨论思想的应用策略

3.1 利用分类讨论思想解决方程问题

例1 某商场准确购进A、B、C三种型号的电视机,A型号电视机每台进价为1 500元,B型号电视机每台进价为2 100元,C型号电视机每台进价为2 500元,如果商场准备使用90 000元购进三种型号的电视机50台,那么进货方案有几种?

分析通过对题目条件进行分析,利用方程不能够直接得出结果,而且A、B、C三种电视机的数量都是变量,因此,需要对问题进行转化,利用分类讨论思想进行解题.

当z=3时,得出y=20,x=27;

当z=6时,得出y=15,x=29;

当z=9时,得出y=10,x=31;

当z=12时,得出y=5,x=33;

答:商场可以有四种进货方案.

3.2 利用分类讨论思想解决函数问题

函数问题是初中数学中的常见题型,主要有一次函数、反比例函数、二次函数等,作为考试中常见的题型,是初中数学解题中的重点和难点.因此,作为初中数学教师,需要有效利用分类讨论思想,引导学生解决函数问题.

(1)求解抛物线的解析式;

(2)用含有m的式子表示C、D的坐标;

(3)如果△ACD为等腰三角形,求解所有符合条件的P点坐标.

图1 例2题图

(3)根据题意,得出B(m,0),

在Rt△ADE中,AD2=AE2+DE2=4m2-8m+5.

在P点坐标求解时,可以分三种情况进行讨论.

3.3 利用分类讨论思想解决几何问题

在初中几何问题教学中,教师可以巧妙引入分类讨论思想,引导学生思考问题,明确解题思路.如直线与圆的位置关系、等边三角形的边角关系以及直角三角形的边角关系等,可以巧妙利用分类讨论思想,完成几何问题的解题.

例3 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=4,点D、E分别为BC、AB的中点,将△BDE围绕B点旋转,旋转后D、E的对应点分别是D′、E′,当直线D′E′经过点A时,线段CD′的长是____.

分析此题解题时分两种情况,当A点在E′D′的延长线上以及A点在线段D′E′的延长线上,通过分类讨论,求解出BD的长度,完成解题.

图2 例3题图(a)

解如图2所示,当A点在E′D′的延长线上时,

∵∠C=90°,AC=2,BC=4,

∵点D、E分别为BC、AB的中点,

∴∠EDB=∠ACB=90°,

∵将△BDE绕着点B旋转,

∴∠BD′E′=∠BDE=90°,D′E′=DE=1,BD=BD′=2,

∵Rt△ABC和Rt△BAD′中,D′B=AC=2,AB=BA,

∴Rt△ABC≌Rt△BAD′,

∴四边形ACBD′为平行四边形,且∠ACB=90°,

∴四边形ACBD′是矩形,

如图3所示,当点A在线段D′E′的延长线上时,

∵∠AD′B=90°,

∴根据勾股定理得出AD′=4,

∴AE′=AD′-D′E′=3,

∵将△BDE绕着点B旋转,∴∠ABC=∠E′BD′,

图3 例3题图(b)