探究平行四边形的存在性问题——以2016年安顺市中考的一道抛物线题为例

刘利果

(河北省邢台市沙河市第三中学,河北 邢台 054100)

抛物线中平行四边形的存在性问题,是中考的一个难点,也是热点,常常以压轴题的形式出现.如何突破这一类试题呢?笔者以2016年安顺市一道中考题为例进行探究.

1 试题呈现

(1)求抛物线的解析式.

(2)在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC的值最小,求点P的坐标.

(3)若M为x轴上一动点,在抛物线上是否存在一点N,使A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形?若存在,求点N的坐标;若不存在, 请说明理由[1].

2 思路分析

第(1)(2)问略.第(3)问:①如图1所示,AC为对角线时,取AC中点O′,连接M4O′,交抛物线于点N4;如图2所示,若AC为边,平移AC得到另外三种情况.过四边形顶点作横平坚直线 (平行于坐标轴)构造全等三角形解决问题.

图1 AC为对角线

②设M(x,0),分别以AC,AM,AN为对角线,分三种情况根据平行四边形两组相对顶点横坐标之和相等,纵坐标之和也相等,表示出点N的坐标,代入抛物线解析式求解即可.

图2 AC为边

3 一题多解

(3)解法1 存在点N,使A,C,M,N四点为顶点构成的四边形为平行四边形.

①当AC为边时,如图2所示,若点N在x轴下方.

图3 让M运动

∵AC=M2N2,∠CAO=∠N2M2D,∠COA=∠N2DM2,

解法2设M(x,0),N(xN,yN).

图4 探究点N的路径

对于平行四边形的存在性问题中已知两个定点,先虚拟一个动点,围成一个三角形, 过三角形的每一个顶点画对边的平行线,三条直线两两相交,就可以确定平行四边形的第四个顶点.按照虚拟的第三个点,第四个顶点存在三种情况.但是第四个点到底有几个,要具体问题具体分析.