初中数学解题中整体思想的应用策略

汤永梅

(江苏省灌云县中学生社会实践基地,江苏 连云港 222200)

初中数学教学中,常见的数学思想比较多,整体思想是其中重要的思想之一,在解题中被广泛地使用,对解决数学问题有着重要的作用.整体思想是通过对问题进行整体处理来解决问题的方法,其形式比较多,如整体代换、整体变形、整体设元等.借助整体思想,对问题进行深入分析,化繁为简,有效解决数学问题[1].

1 利用整体思想,解决代数式求值问题

代数式求值问题是中考中的常见题型,一般来说,学生通常采取逐一求解,之后代入解题,这样的解题方式计算量比较大,而且很容易因为过程繁琐出现错误.因此,教师可以引导学生利用整体思想,结合问题的条件或者结论,将其看作一个整体,通过等价代换的方式,深入分析问题,化繁为简,完成解题[2].

1.1 整体求解

分析此题在解答时,如果直接代入a、b的值,计算过程比较繁琐.如果能够对目标式进行变换、化简,将a、b两式相加或者相减,可以得到a+b和a-b的数值,之后整体代入化简后的目标式中,求解出代数式的值.

1.2 分式求解

∴m-n=-3mn

1.3 降次求解

例3 已知x满足x2-x-1=0,求解代数式-x3+2x2+2 014的值.

分析对于此类求值问题,学生通常是先求解一元二次方程,不仅过程比较复杂,而且求解的根是无理数,代入所求代数式,由于代数式最高次是3次,求解难度比较大.因此,可以采取整体思想求解,对所求代数式进行转化,根据已知变形代入,完成求解.

解∵x2-x-1=0,∴x2-x=1,

∵-x3+2x2+2 014=-x(x2-x)+x2+2 014=x2-x+2 014=2 015.

2 借助整体思想,解决方程及不等式问题

在初中数学解题中,部分方程问题和不等式问题比较复杂,面对这些问题,学生常常会无从下手.因此,教师可以结合题目结构特点,引导学生利用整体思想,明确问题解题思路,有效简化解题过程,强化学生数学解题思维[3].

2.1 解答方程(组)

分析在解此类方程问题时,不少学生会按照常规方式解题,先去分母,之后求解.这样的解题方式出现的最高次是4次,解题的难度比较大.因此,可以采取整体思想进行解题,通过对方程进行观察,利用整体换元的方式,将分式方程转化为整式方程解题.

解设y=2x2+3x,

分析在此题解答时,如果将x、y的值代入原方程,得出m、n的值,之后代入到第二个方程中求解a、b的值,解题过程比较繁琐,很容易出现解题错误.因此,通过对第二个方程进行观察分析,未知项的系数与原方程的相同,因此,可以将a+b、a-b各看作整体,它们的值与x、y相同,可以快速得出a、b的值.

2.2 解不等式(组)

分析此题解题时,如果直接求解方程组,之后代入不等式,求解k的取值范围,从理论上来说是可行的,但是这样的解题过程非常麻烦,难度非常大.因此,可以将题目中x+y看作一个整体,对方程组进行整理,再进行分析求解,解题过程比较简单容易.

3 利用整体思想,解答图形与几何问题

图形与几何问题是初中数学解题中的重要题型,对于一些问题,采取常规方式很难解答.因此,教师可以引导学生观察整体结构特点,从整体角度分析问题,化繁为简,帮助学生快速找出解题思路,提高学生解题效率[4].

3.1 求解图形面积

例7 如图1所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=2,分别以AC、BC作为直径画半圆,求解图中阴影部分的图形面积.(结果保留π)

图1 例7题图

分析此题如果采取常规方式解题,先分别计算阴影面积,之后求和,但由于阴影部分是不规则图形,很难利用标准图形面积公式进行计算.因此,可以利用差值方式,结合标准图形解题.

解设各个部分的面积为S1、S2、S3、S4、S5,如图2所示,

图2 例7分析图

∵两个半圆的面积为S1+S4+S5+S2+S3+S4,△ABC的面积是S3+S4+S5,阴影部分的面积是S1+S2+S4,

∴图中阴影部分的面积是两个半圆的面积减去三角形的面积,即

3.2 解答几何问题

例8 如图3所示,在△ABC中,∠BAC=50°,BD是∠ABC的平分线,CD是∠ACB的平分线,求解∠BDC的度数.

图3 例8题图

分析常规的解题方式是先求解出∠DBC、∠DCB,然后求解出∠BDC的度数.但是,根据题目中的已知,无法求解出相应角的度数,因此,可以采取整体思路,将∠DBC、∠DCB的度数看作整体,求解出两个角的度数和,完成解题.

解在△ABC中,∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,

∵∠BAC=50°,

∴∠ABC+∠ACB=130°,

∵BD是∠ABC的平分线,CD是∠ACB的平分线,

在△BDC中,∠BDC+∠DBC+∠DCB=180°,

∴∠BDC=115°.

在初中数学解题中,教师需要注重数学思想的渗透,引导学生分析题目整体结构,明确问题解题方向,看出问题的本质,有效利用整体思想解题.在具体的教学中,教师应当结合具体例题,引导学生总结和反思,灵活利用数学思想,锻炼学生数学思维,有效培养学生核心素养.