对一道高考比较大小试题的深度探究

胡 坚

(江苏省淮安市金湖县第二中学,江苏 淮安 211600)

三角函数式、对数式和指数式的比较大小问题,一直都是高考的难点.那么,如何破解这一类比较大小试题呢? 这就需要我们深度研究高考真题,弄清楚试题的背景与来源,以及试题的命制思路.笔者以2022年高考数学全国甲卷第12题为例,进行深度探究,希望可以给读者带来一些启示.

1 真题再现

2022年高考数学全国甲卷第12题[1]如下:

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

2 试题分析

本题以三角函数值的大小关系为情境,考查三角式大小的比较.常见的处理方法是常数换元、构造函数,利用函数单调性或利用已知的函数放缩不等式.

3 解法探究

思路1作差,辅助角公式

解法1对于a,b.

对于b,c.

综上,c>b>a.选A.

解法2对于a,b.

对于b,c.

综上,c>a>b.选A.

综上,c>b>a.选A.

4 题后反思

图1 三角函数线

该证明体现了数形结合的思想.

5 课本溯源

2019年人教A版《普通高中教科书 数学必修 第一册》第256页习题26如下:

试用你的计算工具计算cos0.3,并与上述结果比较[2-3].

下面补充正切函数、对数函数和指数函数的泰勒公式:

6 试题推广

本题作为小题,如果能够利用结论或者泰勒公式就是最好不过. 如果不知道结论或者泰勒公式,那么破解此类题型的通法就是选择a,b,c共有的一个较小的常数,记为x,然后构造函数,求出函数的导数,利用其单调性进行比较大小.这样的题型和方法在2021年全国乙卷出现过.

A.a

7 变式训练

变式1设a=log32,b=log53,c=log64,则( ).

A.a

解3a=log38∈(1,2),3b=log527∈(2,3),所以a

4b=log581∈(2,3),4c=log6256∈(3,4),所以b

A.a

A.c

A.a