2021年全国甲卷立体几何试题的解法探究与教学思考

韦 艳

(昆山市锦溪高级中学,江苏 昆山 215300)

数学高考试题中,立体几何中的动点问题与最值问题一直都是个难点,如何突破这类试题呢?下文从几何法和向量法来分析与破解这类试题.

1 真题再现

2021年高考全国甲卷立体几何试题如下:

如图1,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB=BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点,D为棱A1B1上的点.BF⊥A1B1.

(1)证明:BF⊥DE;

(2)当B1D为何值时,面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小[1]?

2 试题分析

第(1)问的困难是不易确定点D的位置,从而给线线垂直的证明带来了很大的困难.最佳的解决方案就是建立空间直角坐标系,大部分学生都可以解决,这与以往的立体几何综合题的第(1)问可以用几何法轻松解决不同,需要考生灵活处理.用几何法也可以解决,只是要把直三棱柱补成正方体,这一点考生不易想到.也可以考虑利用向量的数量积来解决.第(2)问是求二面角的正弦值的最小值,考生感觉到困难的是运算问题,因为平面DEF的法向量中含有参数,不易求,也是由于参数的存在,在求二面角的正弦值的最小值时,考生会遇到困难.此外,也可以通过作辅助线寻找二面角的平面角来求解,也可以利用投影法来求解.给出一题多解,一是锻炼学生的数学思维能力和培训学科核心素养,二是在学生使用常规方法遇到困难时,可以多一种选择[2].

3 一题多解

(1)解法1几何法

因为BF⊥A1B1,A1B1∥AB,所以BF⊥AB.又因为AB⊥BB1,BF∩BB1=B,所以AB⊥平面BCC1B1.又因为AB=BC=2,构造正方体ABCG-A1B1C1G1,如图2所示,过E作AB的平行线分别与AG,BC交于其中点M,N,连接A1M,B1N,因为E,F分别为AC和CC1的中点,所以N是BC的中点,易证Rt△BCF≅Rt△B1BN,则∠CBF=∠BB1N.

又因为∠BB1N+∠B1NB=90°,所以∠CBF+∠B1NB=90°,BF⊥B1N.

又因为BF⊥A1B1,B1N∩A1B1=B1,所以BF⊥平面A1MNB1.

又因为ED⊂平面A1MNB1,所以BF⊥DE.

解法2向量法

因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以BB1⊥底面ABC,所以BB1⊥AB

因为A1B1∥AB,BF⊥A1B1,所以BF⊥AB,又BB1∩BF=B,所以AB⊥平面BCC1B1.所以BA,BC,BB1两两垂直.以B为坐标原点,如图3所,建立坐标系.

所以B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),B1(0,0,2),A1(2,0,2),C1(0,2,2),E(1,1,0),F(0,2,1).

图3 向量法

解法3向量法

(2)解法1 向量法

解法2 几何法

如图4所示,延长EF交A1C1的延长线于点S,联结DS交B1C1于点T,则平面DFE∩平面BB1C1C=FT.

图4 几何法

作B1H⊥FT,垂足为H,因为DB1⊥平面BB1C1C,联结DH,则∠DHB1为平面BB1C1C与平面DFE所成二面角的平面角.

设B1D=t,t∈[0,2],B1T=s,过C1作C1G∥A1B1交DS于点G.

解法3 投影法

图5 投影法

在Rt△DEQ中,

4 教学思考

第(2)问的几种解法各有优劣,其中坐标法是学生容易掌握的方法.对于立体几何综合题的动点问题或最值问题,向量法是通法,对学生而言也是最佳的策略[3].作为一线教师,在日常教学中,要将利用向量方法解决立体几何问题的思想渗透给学生,还要给学生充足的时间来完成运算.而几何法属于巧法,对于大部分学生也是需要掌握的,思考多了,运算量自然就减少了.

对于立体几何的教学,一线教师应该归回课本,重视通性通法,重视学生空间直观的培养,加强学生的运算能力.只有这样,在遇到难一点的立体几何试题时,学生才能从容应对,发挥出自己的水平.