动圆恒过两类定点问题的探究

颜士桥

(江苏省淮安市新马高级中学,江苏 淮安 211700)

圆锥曲线中的定点问题是高考的一个难点,其中动圆过定点问题是典型代表. 笔者经过问题的梳理与探究,发现圆锥曲线中的动圆恒过定点问题可以归纳为两大类,下文对问题展开探究.

1 过定点O1(-b,0),O2(b,0)

图1 命题1图

故以线段MN为直径的圆恒过两定点O1(-b,0),O2(b,0).

图2 命题2图

图3 命题3图

图4 命题4图

图5 命题5图

证明设A(x0,y0),B(-x0,y0),C(x1,y1),则直线AC,BC的方程分别为

令x=0分别解得

所以，节日前夜的李打油有些恍惚，甚至，有点像交代后事。先是鼓励我父亲好好养伤，接着奉劝我快快解决个人问题，问我扎根村小是否心坚。我朝他瞥瞥康复中的父亲。他说那就好，我来当花博士吧。他介绍的是锦江中心小学的校长，李打油说他统计过，每次镇教育办开会我至少偷窥人家三十次以上。其实不止。我因为她而热爱开会。我俩后来在李打油的撮合下终于走进婚姻殿堂。这是后话，不说了。说说六一那天。

又A(x0,y0),C(x1,y1)在双曲线上,有

故圆与x轴交于两定点O1(-b,0),O2(b,0).

2 其中一个定点是焦点F

图6 命题6图

证明设B(x1,y1),C(x2,y2),直线BC的方程为x=ky+c,代入双曲线方程并化简得(k2b2-a2)y2+2kcb2y+b4=0.

由韦达定理得

①

x1x2=(ky1+c)(ky2+c)=k2y1y2+kc(y1+y2)+c2

②

x1+x2=(ky1+c)+(ky2+c)=k(y1+y2)+2c

③

则以线段MN为直径的圆的方程为

令y=0得

①②③代入,化简得

图7 命题7图

则以线段PQ为直径的圆的方程为

令y=0得

想学好高中数学并非易事,需要我们有动手运算、动脑思考的意识和敢于探究、不怕困难的精神.“圆锥曲线”是高中数学的一个难点,其中的定点问题和定值问题更是让很多高中生头疼.其实教师在教学中,可适当地利用网络画板、几何画板和GGB等软件给学生展示动圆的运动过程,这样就可以形象地看出,当圆在运动时,它恒过x轴上的两个定点.这样做可激发学生的学习兴趣,让学生觉得数学不仅不是那么的无趣,而且还挺好玩,这同时也为问题的证明提供了方向和可行性的思路.