导数与三角函数的精彩交汇

高咏咏

(克拉玛依市高级中学,新疆 克拉玛依 834000)

笔者在一轮复习的教学中,梳理近些年高考试题,发现利用导数解决三角函数的交汇命题很多,而学生面对此类问题常因方法不当,或运算过程繁杂,导致虽做对但耗时太多,或做错丢分,成绩不理想.在高考复习备考中遇到此类问题时,如何帮助学生能够准确、快速、高效地解答呢? 笔者通过梳理,现将该类问题整理成文,与读者交流,以期抛砖引玉[1].

1 命题点一 利用导数研究三角函数的性质

三角函数的性质主要包含周期性、单调性、奇偶性等,解题时要能够充函数与0的大小来研究函数的性质[2]

C.若f(x)在区间[a,b]上递增,则b-a的最大值为π

D.f(x)有且仅有三个零点

点评本题结合三角恒等变换将三角函数进行化简,考查三角函数的单调性,对称性,零点、最值和极值等,需要考生熟练掌握三角恒等变换的变形公式,通过求导,分析出f(x)的单调性,可判断AC,计算f(x)+f(π-x),可判断B,结合f(x)的单调性、奇偶性和极值符号可判断D.

2 命题点二 利用导数研究三角函数的零点

利用导数研究三角函数的零点问题,经常设计已知零点个数求参数的取值范围或以三角函数为载体,证明所给函数的零点个数.

例2(2023宁夏银川二中统测)设函数f(x)=aex+cosx,其中a∈R.

(1)若a=1,证明:当x>0时,f(x)>2;

(2)若f(x)在区间[0,π]内有两个不同的零点,求a的取值范围.

解析(1)f′(x)=ex-sinx,由x>0,得ex>1,sinx∈[-1,1],则f′(x)=ex-sinx>0,即f(x)在(0,+∞)上为增函数.故f(x)>f(0)=2,即f(x)>2.

点评函数的零点问题,解题策略是转化为两个函数图象的交点,三种方式中(一平一曲、一斜一曲、两曲)最为常见的是一平一曲.方法一是直接考虑函数f(x)的图象与x轴的交点情况,方法二是分离参数法,两种方法的本质都是一平一曲.另外,我们对某些函数或许可以通过换元,来降低函数的解决难度.

3 命题点三 利用导数研究三角函数的最值

利用导数研究三角函数的最值问题,关键在于能够正确判断出所给三角函数的单调性.

例3 (2023陕西安康模拟)函数f(x)=(1-cosx)sinx的最大值为____.

解析因为f(x)=(1-cosx)sinx,

所以f2(x)=(1-cosx)2sin2x=(1-2cosx+cos2x)(1-cos2x)=-cos4x+2cos3x-2cosx+1,

令t=cosx(-1≤t≤1),g(t)=f2(x),则g(t)=-t4+2t3-2t+1(-1≤t≤1),

所以g′(t)=-4t3+6t2-2=-2(t-1)2(2t+1),

点评该解法巧妙地利用换元法将三角函数问题转化成了幂函数问题,通过利用导数研究函数的单调性求出最值[3].

4 命题点四 利用导数研究三角不等式恒成立问题

利用导数研究三角函数不等式恒成立问题要区别于能成立问题,要能够将恒成立问题进行合理转化.

得sinx>kx-1.

点评(1)已知不等式f(x·λ)>0(λ为实参数)对任意的x∈D恒成立,求参数λ的取值范围．利用导数解决此类问题可以运用分离参数法．

(2)如果无法分离参数,可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解,如果是二次不等式恒成立的问题,可以考虑二次项系数与判别式的方法(a>0,Δ<0或a<0,Δ<0)求解.

三角函数与导数是中学数学中两个重点内容,考查的分值比例和上课课时数量都相对较高,因此两者的交汇命题会是高考命题的趋势.因此,在高考备课中,要深入研究三角函数的相关性质,准确把握导数与三角函数的命题题型,进行针对性训练.