2023年全国甲卷理科第21题的解法探究

张 炙

(安徽省利辛县第一中学,安徽 阜阳 236700)

三角函数的导数是中学教学的重点与难点,具有一定的综合性. 2023高考全国甲卷理科第21题是导数与三角函数的综合题,试题设计新颖,紧扣课程标准,全面考查了利用导数证明不等式,具有较好的选拔功能,对中学数学教学有较好的引导作用[1].

1 真题再现

2023年高考全国甲卷理科第21题如下:

(1)当a=8时,讨论f(x)的单调性;

(2)若f(x)

2 解法探究

下面重点探究第(2)问.

以上两个不等式当且仅当x=0时取到等号.

综上,a的取值范围是[3,+∞).

综上,a的取值范围是(-∞,3].

当且仅当x=0时等号成立,所以必有a≤3.

下面证明当a≤3时,f(x)

综上,a的取值范围是(-∞,3].

综上,a的取值范围是(-∞,3].

点评由解法4可知,本题的背景是不等式2sinx+tanx>3x.利用这个不等式,通过放缩,可大大简化解题过程.类似地,我们还可以将不等式推广得到2tanx+3sinx>5x.于是,可编拟得到如下的改编题:

(1)求证:2tanx+3sinx>5x;

(2)若f(x)

解(1)略.

综上,a的取值范围是(-∞,5].

试题以三角函数、多项式函数为背景,构造了所要研究的函数.通过对函数性质的研究,试题全面考查了导数及其应用,这也是中学教学的重点与难点.试题的第(1)问面向全体考生,体现试题的基础性.利用导数就能得到函数的单调性,考查考生通过导数解决实际问题的能力、计算与转化的能力,体现函数与方程的数学思想在中学教学的应用.试题的第(2)问体现了试题的选拔性.通过构造函数,考查了化归与转化的能力、分类讨论的能力、逻辑推理能力、数学运算能力,具有较好的选拔功能[2].