基于混合策略改进粒子群算法的配电网无功优化研究

马永翔，张勋，淡文国，闫群民

（1.陕西理工大学电气工程学院，陕西汉中 723001；2.乌兰察布电业局，内蒙古乌兰察布 012000）

0 引言

随着我国电网规模不断扩大，负荷的需求不断增长，对电力系统的运行也提出了更高的要求，合理的调整无功功率可实现降低系统网损，提高电能质量的目标，对电网的经济、安全运行有着重要作用。配电网无功优化通常包含选择无功补偿点和优化无功补偿量两方面[1-7]。

无功补偿点的选择一般有灵敏度分析法、奇异值分解法[8]以及无功精确矩法[9]等方法，文献[10]利用二阶网损灵敏矩阵计算灵敏度，并计及补偿点对潮流和灵敏度的影响，解决了传统灵敏度分析法因存在虚高补偿点使补偿容量限值不定。文献[11]优化了原无功精确矩法只进行一次潮流计算的劣势，通过多次进行潮流计算确定补偿点，有效的解决了补偿点过于集中、分布不均的问题，同时求解补偿点和补偿容量，可能会因补偿点过多，导致变量维数激增造成计算量过大[12-13]，且不能保证求取的补偿点和补偿容量是最优的，文献[14]先通过模糊聚类法和联系多种电压指标确定系统薄弱点，后求取补偿点，但并未考虑上一补偿点对系统潮流的影响，易造成过补偿。

无功补偿容量的优化是一个复杂的非线性问题，传统的非线性规划法、牛顿法等，对初始点的求解较为复杂且迭代步长选取不当也会造成收敛速度变慢。为此新兴的智能算法包括遗传算法[15-16]、粒子群算法[17-19]、鲸鱼算法[20-21]等，相继出现在无功优化问题求解中。其中，粒子群优化算法（particle swarm optimization，PSO）具有设置参数较少、优化效率高、实现简单等优势，但在后期寻优过程中，易陷入局部最优，即“早熟”现象。

为处理同时求解补偿点和补偿容量易导致计算量过大且结果非最优的问题，本文先对无功补偿点进行优化，在奇异值理论的基础上，考虑多次潮流计算，计及上一补偿点对潮流的影响，顺序确定补偿点，防止无功的过补偿，同时为解决基本PSO算法后期易早熟、收敛慢等缺点提出了一种多策略融合的改进粒子群优化算法（improved particle swarm optimization，IPSO），利用混沌机制产生混沌序列改变粒子运动轨迹，确保初始种群中粒子的多样性，引入Logistic 生长函数并把群体适应度方差和Tent混沌变换相联系动态的设置惯性因子的取值，有效保证粒子前期的多样性和后期搜索能跳出局部最优能力，在所形成的精英集中利用最速下降法求解，加快收敛速度。最后在IEEE 30 节点算例验证其有效性。

1 配电网双目标无功优化数学模型

1.1 目标函数

本文主要从经济和安全的角度出发，降低系统的损耗和提高电压稳定性。

1）配电网网损最小

式中：Nk为总支路数；Gij为节点i、j间电导；Vi、Vj为i、j节点电压幅值；θij为节点i、j间的相位差。

2）电压平均偏离最小

式中：γ1为惩罚因子；Ui为i节点的实际电压；UNi为节点i的标称电压；n为节点总数。建立网损最小，电压平均偏离最小的综合目标函数[22]，并进行标幺化处理后加权[23-24]。

式中：λ1、λ2为权重系数；P0为原网络有功损耗；U0为初始电压平均偏差。

1.2 约束条件

1）节点的潮流平衡约束方程为

式中：PGi、QGi为i节点机组有功、无功输出；PLi、QLi为各节点负荷消耗的有功、无功功率；Gij、Bij、θij为节点i，j间电导、电纳、电压相角差；N为总节点数。

2）变量约束方程

控制变量约束方程为

状态变量约束方程为

式（5）、（6）中：Ng、Nc、Nt、NPQ分别为机组数、补偿节点数、变压器分接头数、负荷节点数；UGi为机端电压；QGi为机组无功出力；QCj为无功补偿量；Ttk为变压器档位；Ui为负荷节点电压，在下标中带有“max”、“min”对应相应变量的上、下限。

2 无功补偿点的优化

本文选用优化后的奇异值分解法对无功补偿点进行优化。对雅克比矩阵奇异分解得到最小奇异值，并排序按照右奇异向量最大值作为无功补偿点。正常运行下潮流修正方程为

设雅克比矩阵为n阶矩阵，奇异值分解为

式中：V和U为正交矩阵；vi和ui为奇异值向量对应V和U的第i列；∑为δi对角矩阵。

根据修正方程可得相角和电压幅值的变量为

由式（9）可知，当δi接近0 时，任何微小偏移会导致相角和电压幅值产生极大变化，假定最小奇异值为δmin其对应的左右奇异向量分别为vmin、umin。当功率变化量和左奇异矩阵相等时，根据正交性质可得

式中，vmin中最大元素和电压幅值相对应，故可由其雅克比矩阵中右奇异向量中最大元素的几个值来作为无功候选补偿点。

上述方法在确定补偿节点时，往往只采用一次潮流计算，当所选补偿点较为集中时，未考虑补偿后节点对潮流计算的影响，导致无功过补偿。

为此本文选择无功补偿点，先计算原始潮流，再由式（10）获取首个补偿点，设节点为k，流入该点的有功功率为Pi，补偿前功率因数为cosφ1，补偿后功率因数为cosφ2，则首个补偿点容量为

将已补偿节点的无功补偿看成负载，即节点上功率增加-Qci，重复潮流确定后续补偿点。

3 改进的粒子群无功优化算法

3.1 基本粒子群算法

PSO 算法最早起源于生物学家对鸟类觅食过程的研究。PSO 算法在针对无功优化问题求解时，各粒子的位置使用相应的控制变量表示，速度表示各控制变量的修正量，将每次计算的控制变量值带入式（3）中可得到适应度值（目标函数值），并经k次迭代后可得个体极值和全局极值，再通过式（12）来更新速度和位置，最终获取最优解。

式中：k为迭代次数；ωk为第k次迭代时的惯性因子；为k次迭代粒子i的位置和速度；为k次迭代时粒子i个体极值和全局极值；c1、c2为学习因子，代表能够寻求得到两个最优极值的加速因子；r1、r2为随机均匀分布在（0，1）间的数。

使各个控制变量跟随迭代次数不断更新，每次迭代进行一次潮流计算，满足收敛条件后得到无功优化中的最优解。

3.2 改进的Tent混沌初始化

基本PSO 算法随机初始化种群，但并不能保证解的遍历性、多样性，易导致某些粒子偏离最优解，影响求解速度[25]。因此为保证解的有效性，本文采用改进的Tent 映射对粒子群初始化，得到优选的初始粒子群体，即无功优化中控制变量的位置和速度。其公式为

式中，当zk=0、0.25、0.5、0.75 或zk=zk-m时，其中m=（1，2，3，4），则采用公式为

根据式（13）和式（14）产生混沌变量β(k,i)，其中：k=1，2，3，…，N-1；i=1，2，3，…，m；N是粒子种群的规模；m为粒子的控制变量维度。利用混沌变量迭代搜索，再通过式（15）把混沌变量β(k,i)变换为式（5）控制变量的约束范围内，得到控制变量x(k,i)，(ximin，ximax)为控制变量上下限约束。

最后根据式（3）计算出各向量对应的适应度，按大小排列，选取前n个作为粒子群初始位置，同时随机生成n个初始速度。本文中n取15。

3.3 惯性因子和学习因子的设置

由于在求解中可能会使粒子出现集聚，导致粒子易陷入早熟，故引入混沌扰动改进惯性因子，对惯性因子产生细微的改变后对后续寻优影响巨大，并跳出局部最优。

PSO 算法进行无功优化时，根据式（12）可知惯性因子ω决定着粒子速度对次代粒子的影响程度，影响着算法的速度和精度性能，ω较大时，粒子速度的增大，搜索空间增大易于全局寻优，ω较小时，易于局部寻优，动态调节ω的取值有利协调算法的全局搜索和局部搜索间的矛盾。且在寻优的过程中，种群的多样性会降低；种群中个体会聚集在空间中某些位置，可能会使算法出现早熟收敛，为保证粒子的多样性引入群体适应度方差（粒子之间的熵值），通过熵值的大小来衡量粒子间的集散程度。

式中：熵值δ2的值越大，粒子间越分散，反之粒子间的熵值越小，粒子间越收敛；N为种群规模大小；fi、fav分为粒子适应度值和适应度平均值；f是为了限制调整δ2值的大小。公式为

本文利用Logistic 函数S(x)来控制惯性因子ω的取值，Logistic 是非线性函数，起始阶段呈指数增长，后期饱和增长变慢，具有S型生长曲线，对中间值敏感的特点，利用此函数来构造ω的生长曲线。当 |δ2|≤ε时，说明种群中的粒子聚集，可能陷入局部最优解，此时引入混沌扰动，调整惯性权重ω，提高解的多样性，防止得到局部最优解。z为由混沌扰动后的值。

式（18）、（19）、（20）中：Tmax为最大迭代数；ωmax、ωmin为惯性因子的最大值、最小值；t为当前迭代数；z0为在（0，1）间随机产生的数。

选择恰当的学习因子直接会影响算法的性能，c1控制个体的自我认识能力，c2控制个体的社会认知能力，学习因子c1，c2在整个求解过程起到调整个体极值和全局极值的作用。为了提高求解效率和精度，在算法早期迭代阶段使c1>c2，使粒子朝着全局最优方向学习，而在后期的搜索过程中，c2>c1，使粒子向着局部搜索学习，最终在总结分析现有典型的线性变化学习因子后，采用一种正弦函数变化的学习因子。

3.4 最速下降法

最速下降法对求解无约束问题效果明显，搜索方向沿负梯度方向，具有计算量小，收敛速度快的特点，适用于对后期的局部寻优。步骤如下：

Step1：取初始点x0，令k=1，设置终止误差为θ；

Step2：若‖∇f(xk) ‖≤ε停算，取xk最优解，否则dk=-∇f(xk)；

Step3：确定步长因子 令xk+1=xk+αdk，k=k+1，跳回Step2。

4 改进PSO算法的无功优化求解

4.1 算法流程步骤

Step1：设置初始化参数，包括群体适应度方差的临界值，种群规模的大小N，迭代次数Tmax，各变量的取值范围及算例参数等以及对改进的粒子群算法中参数的设置（c1、c2、ωmin、ωmax等）。

Step2：设置迭代次数t=1，对粒子的速度、位置初始化，按降序排列粒子适应度值，找出各粒子和，并将其存入精英集P中。Step3：初始化潮流计算参数。由式（16）-（19）更新惯性因子ω，根据无功优化算法式（12）对粒子速度、位置进行更新。

Step4：根据目标函数法（3）确定各粒子的适应度值，对适应值的大小进行排列，并比较粒子的优劣，更新和并将其存入精英集P。

Step5：判断算法是否满足最大迭代次数Tmax，如果(t≥Tmax)转向Step6，否则返回Step3。

Step6：在精英集中选取50% 的最佳粒子利用最速下降法进行寻优，利用寻优结果再次更新精英集P。

Step7：输出精英集P中的最优解。

算法流程图见图1。

图1 算法流程图Fig.1 Algorithm flow chart

4.2 算例分析

本文算法利用IEEE 30 节点算例，见图2。3 台并联电容器安装在节点3、10、24，详细参数见文献[26]。补偿电容器步长因子lQ为1 Mvar，分为50 段；变压器变比的步长为0.025，共8 档，发电机出力、变压器参数设置见表1-2。

表1 发电机参数及其上下限值Table 1 Parameters and their upper and lower limit of generator

表2 各节点电压和变压器变比上下限Table 2 Upper and lower limit of node voltages and transformer ratio

图2 IEEE 30节点模型Fig.2 Node model of IEEE 30

设置各节点的初始电压值为1.0 p.u.，变压器变比设置为1，允许电压偏离范围设置为0.94～1.06 p.u.，基准功率SB=100 MVA，计算系统原始网损Ploss=20.88 MW，4 个节点电压越限，4 个发电机节点无功越限，见表3。

表3 节点电压和发电机无功出力情况Table 3 Node voltage and reactive power output of generator

采用优化后的奇异值分解法选择无功补偿点，原33 节点系统共有3 个补偿点，需进行3 次潮流计算依次选点。计算得到的右奇异值指标见表4。

表4 系统右奇异值指标Table 4 Index of the right singular vector index

通过表4 可得节点26、29、30 的右奇异值最大，故选作补偿节点。将所选补偿节点与原补偿点进行对比仿真验证，优化算法采用本文IPSO 算法，优化后的结果见表5。

表5 无功优化结果对比Table 5 Comparison of reactive power optimization

由表5 结果可知，方案1 和方案2 对降低网损效果相差不大，但相比于系统原网损，明显降低了网损，约为17.1%，经选点优化后，方案2 相比于方案1 无功补偿容量大幅度减少，说明本文方法选择的无功补偿点更有效。

为进一步验证本文所提算法的有效性，以方案2 选择补偿点，选取基本粒子群（PSO）算法、线性递减权重因子粒子群算法（LDWPSO）算法、自适应权重因子粒子群算法（WPSO）以及本文的IPSO 算法进行仿真对比测试。设置参数取惩罚因子γ1=4，权系数λ1=0.8，λ2=0.2。种群N=30，Tmax=200，相同仿真环境下进行计算分析，各算法独立运行30 次，结果见表6，收敛曲线见图3。

表6 算法寻优结果对比Table 6 Comparison of optimization results between PSO algorithms

图3 4种算法的网损收敛曲线Fig.3 Network loss convergence curves of four algorithms

从表6 和图3 中可知，本文提出的IPSO 算法进行多目标无功优化时，计算得到的有功网损由初始20.88 MW 降到17.32 MW，效果要优于其他3 种算法，且电压偏离的程度也得到一定的改善。由于采用混沌机制对粒子初始化，使IPSO 算法初始收敛速度快，能够从较优的初始值开始寻优，后期能快速的接近最优解，其在迭代30 次左右时开始收敛，可见本文提出的IPSO 算法无论是在寻优速度和收敛精度都要优于其他3 种算法。IEEE 30 节点系统优化前后电压分布见图4。

图4 IEEE 30节点系统优化前后电压分布Fig.4 Voltage distribution before and after optimization of IEEE 30 node system

根据图4 所示的节点电压分布可知，经IPSO算法优化后无节点电压越限情况，使各节点电压都在约束范围内，有效的处理了无功电源的越限问题，协调了无功优化网损目标与电压质量之间的矛盾。并且本文提出的IPSO 算法的电压平均偏离更小，验证了该方法在改善系统电压质量方面优越性。

5 结语

本文首先针对同时求解补偿点和补偿容量易陷入维数灾的问题，在奇异值理论的基础上，考虑多次潮流计算，逐个计算补偿点，避免无功过补偿，其次，在PSO 算法的基础上，采用混沌映射对控制变量进行初始化，细化搜索空间，使算法从较优初始值进行寻优，同时把惯性因子和群体适应度方差相联系，动态的改变惯性因子，有效的避免算法陷入“早熟”现象，丰富了种群多样性，将计算得到的每代最优粒子存入精英集中，最后利用最速下降法寻优，较大的提高了算法计算速度。算例仿真结果表明，该方法具有良好的优化效果，能够达到网损和电能质量的综合最优，且有效的减少了补偿容量。