小学数学的情思特征与核心素养的融通

2024-01-08曾春燕陈洪义

数学学习与研究 2023年24期

曾春燕陈洪义

【摘要】“情思教育”追求“入境、融境、悟境、出境”的教学四境，与《义务教育数学课程标准（2022年版）》里提出的“三会”核心素养是一致的.“情思教育”关注的是学生在学习过程中的全面发展和核心素养的提高.文章以“梯形的面积”的教学设计为例，探讨如何在“入境、融境、悟境、出境”教学四境中培养学生的数学探究能力和数学核心素养.

【关键词】情思教育；教学四境；核心素养；梯形面积

【基金项目】广东省中小学教师发展中心2022年度中小学幼儿园教师教育发展专项课题———小学教师教研能力提升研究（课题编号：22GDJSJYYB06）；广州市教育科学规划2022年度课题“以实践研究为特征的教师适切性成长路径探索与实践”（课题编号：202213824）阶段研究成果；2023年度教育部职业院校教育类专业教学指导委员会研究课题“2022年版课标下教学法课程的思政建设———以G校小学数学教育专业为例”（课题编号：JYJZWJY-2023B-27）阶段研究成果.

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（下文简称“新课标”）提出了“三会”的核心素养：会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界.为了提升学生的数学核心素养，小学数学教学进行了一系列的改革.“情思教育”与数学核心素养的融通恰好是促进教学改革的有效途径之一.所谓“情”指的是情境、情感，“思”指的是思维、思想.具有情思特征的教学设计重点在寻找“情”和“思”的最佳结合点，然后通过搭建情境体验与问题探究的“脚手架”，让教学在“情”和“思”的相融相促中走向高效.下面，文章以“梯形的面积”一课的教学设计为例说明小学数学的情思特征如何与数学核心素养融通.

一、“入境”：用数学的眼光观察世界

“入境”，就是创设一个贴近学生生活且与课题密切相关的情境，让学生在教师的引导下进入相应的情境，产生要解决其中问题的动机.这里的“情”包括两个方面：一方面是情境，是由现实情境进入数学情境；另一方面是情感，是由现实情境引发的理智感———解决问题的动机.“情”“思”的转变过程靠的是用数学的眼光去观察世界，而这也是由实际的“情”入数学的“境”的工具.

例如，北师大版的小学数学“梯形的面积”一课的导入设计.教师创设了一个“给小车车窗贴膜”的情境，这个现实情境中涉及的现实问题非常多，如：为什么贴膜？去哪里买膜？膜的颜色如何？膜的价格如何？膜的形状大小如何？等等.此时，教师引导学生用数学的眼光去看待这个现实情境，在诸多问题中选择数学性的特征，即考虑物体的数量关系和空间形式等特征，让学生得到车窗玻璃近似梯形形状，膜的大小就是要求梯形面积的大小，最终把车窗贴膜问题转化为求梯形面积大小的数学问题.

本课题的导入以学生熟悉的小轿车车窗为情境，设计了“为小轿车车窗贴膜”的现实问题，将数学知识和日常生活有机结合，体现了数学的实用价值.该导入通过引导学生用数学的眼光观察现实世界，从而增强学生数学抽象的核心素养，体现了新课改的方向和小学数学的情思特征.

二、“融境”：用数学的思维思考世界

“融”，就是交融，是新旧情境相融互生，是用数学的思维思考世界.数学的思维要求建立数学对象之间、数学与现实世界之間的逻辑联系，根据已有的数学知识推出新的知识，构建数学的新体系，这就实现了新旧情境的“融”.在这一环节中，学生面对情境中的问题可以运用数学思维联系旧知，从多角度进行探析，从而得出新结论、新方法.

（一）忆境，明确方向

忆境是要挖掘新情境中的要素，多角度审读新情境中的要素，挖掘与之相关的旧知识与情境，从而为探究指明方向.例如，面对求梯形面积公式的情境，学生可回忆之前学过的面积公式中有没有梯形的面积公式，没有的话，就想到学过的“铺一铺”，以及学过的面积公式推导过程.

（二）迁移，实现转化

经历了忆境之后，学生明确了需要推导梯形的面积公式，而之前推导过的面积公式有长方形、平行四边形和三角形，故教师可以引导学生多角度地进行迁移，提高学生多角度解决问题的能力.

1.利用密铺法推导

在学生学习“长方形的面积”时，长方形面积的推导是用小正方形或者方格纸进行铺一铺，从而得到长方形的底、高以及面积，最后通过观察表格找到它们之间的关系，推导出面积公式.由此，学生将长方形面积的推导情境迁移到梯形的面积推导上，用密铺法推导梯形的面积公式.（1）铺一铺：使用方格纸对梯形进行铺一铺，数出梯形的上底、下底、高和面积.（2）填一填：根据“铺一铺”，把数出的梯形的上底、下底、高和面积等数据填入表格.（3）想一想：梯形的上底、下底、高和面积有什么关系？可以得到一个怎样的猜想？（4）写一写：得到猜想“梯形的面积=（上底+下底）×高÷2”.

2.利用割补法推导

在“平行四边形的面积”中，平行四边形的面积推导是通过割补法把平行四边形沿着某一条高割成了两部分，再通过平移拼成长方形，从而推导出其面积公式.把这个方法迁移到梯形有如下几种割补方式.（1）过上底两端点的两条高，把梯形分成1个长方形和2个三角形（苏教版教材的方法）；（2）过梯形上底的一端点作直线平行于梯形的一腰线，把梯形分成1个平行四边形和1个三角形（苏教版教材和人教版教材的方法）；（3）沿着梯形的对角线把梯形分成2个三角形（人教版教材的方法）；（4）沿着梯形的中位线，把梯形割补成1个平行四边形（刘徽的出入相补原理）.

3.利用拼接法推导

三角形面积公式的推导是用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，再通过平行四边形和三角形的面积之间的关系推导出三角形的面积公式.将其迁移到梯形中，可以用两个完全一样的梯形拼接成1个平行四边形（人教版教材、北师大版教材和苏教版教材共同的方法）.

（三）推导，验证猜想

选择上面任意一种转化方法推导梯形的面积公式，从而验证猜想.例如，对用两个完全一样的梯形拼接成1个平行四边形这种转化进行推导如下：因为梯形的面积=平行四边形的面积÷2（由图1看出），平行四边形的面积=平行四边形的底×平行四边形的高（已学），平行四边形的底=梯形的上底+梯形的下底（由图1看出），平行四边形的高=梯形的高（由图1看出），所以，梯形的面积=平行四边形的面积÷2=平行四边形的底×平行四边形的高÷2=（梯形的上底+梯形的下底）×梯形的高÷2.

对同一个问题，通过回忆已学的相关知识，从多个角度进行探究，一方面，有助于帮助学生找到解决问题的突破口，另一方面，有助于帮助学生建构关于各种图形面积推导的认知网络，为后面揭示其中蕴含的数学思想方法做铺垫.

三、“悟境”：用数学的方法解释世界

“悟境”，就是对学习的过程进行多角度思考，总结出方法的优劣，提炼出其中蕴含的数学思想方法，揭示所学知识的本质.学生通过对上面多种转化方法的探究，思维能力虽然得到了发展，但是没有“悟”，也就没办法了解事物的本质.所以，“悟境”就是反思总结出情境中所蕴含的数学方法.

（一）在评价中梳理，提炼思想方法

教师可以从以下几方面引导学生领悟其中的思想方法：（1）推导梯形面积公式的方法有哪些？（2）你更喜欢哪种方法？为什么？（3）这些方法在本质上有什么异同点？（猜想验证，转化推导）之后，教师引导学生运用列表的方法对以上几种转化方法进行对比（见表1）.

在比较分析各种转化方法的优劣中，学生能感受到：用密铺法猜想得出梯形的面积公式不够严谨，用割补法转化梯形要计算至少2个基本图形的面积，而用拼接法只需要计算1个平行四边形的面积，故这种方法的计算量最少.

教师在讨论方法的相同点的过程中，可引导学生沟通知识之间的内在联系，理解这些方法的本质都是运用了转化思想和等积变形的方法，并总结出数学知识产生的两个途径———猜想验证和转化推导，体会数学化归思想.

（二）在变化中延伸，构建知识结构

思考：（1）梯形的上底最小可以是多少？在脑海中想象一下这是一个怎样的图形（无限接近三角形）.答：上底为0，就变成三角形，也就是梯形面积公式中一底为0，此时面积公式S=（a+b）×h÷2=（a+0）×h÷2=ah÷2，这样就得到了三角形面积公式.

（2）当梯形的上底变到和下底一样长时，又变成了什么图形？（平行四边形）如果是直角梯形的上底变到和下底一样长时（保留直角），又变成了什么图形？（长方形）答：在梯形中，当a=b时，就变成平行四边形，也就是梯形面积公式中上、下底均为a，此时面积公式S=2ah÷2=ah，这样就得到了平行四边形面积公式.同理，在直角梯形中，还可以推算出长方形的面积S=ab，如图2.

总结：梯形可以转化成三角形和平行四边形，三者的面积公式是可以互相转化的.

数学方法即用数学语言表述事物的状态、关系和过程，再加以推导、演算和分析，以形成对问题的解释、判断和预言的方法.以上对平行四边形面积、三角形面积、长方形面积和梯形面积公式进行了反思，总结出其中蕴含的数学方法，促进了学生对于梯形面积公式的深入理解，沟通了各平面图形面积计算之间的联系，发展了学生的几何直观能力.

四、“出境”：用数学模型认识世界

“出境”，就是学生通过学习掌握其中的知识技能、总结出其中的数学模型、学会其中的思想方法后，能够理解不同情境下“不变”的本质，即学会用数学模型思想认识现实的世界.

例如，在推导出梯形面积公式后，学生得到的数学模型是“梯形的面积=（梯形的上底+梯形的下底）×梯形的高÷2”.此时，教师可以出示如下变式练习，让学生运用数学模型解决实际问题，从而达到“出境”.

练习1（水坝截面面积问题：拓展生活）

我国三峡水电站大坝的横截面的一部分是直角梯形，上底是36m，下底是120m，高是135m，求它的橫截面面积.

练习2（堆木根数问题：变化模型）

这堆圆木一共有多少根？（如图3）