网收敛在刻画分离公理中的作用分析①

田俊英

(长治幼儿师范高等专科学校,山西 长治 046400)

0 引 言

众所周知,在描述度量空间时,点列的收敛有不可或缺的作用.推广在第一可数空间中,依然可以以序列收敛为出发点来进行等价刻画.但是在非第一可数拓扑的背景下,序列收敛的作用就不充分了, 需要将序列收敛进行推广——网收敛来实现各种刻画.

本文旨在对拓扑空间中网收敛的更多作用加以挖掘和描述,在诸多资料中,都发现一条重要定理,其是描述如何用网收敛来刻画T2空间(或称Hausdorff空间)的结论,除此之外,没有太多其他关于网收敛作用分析的内容.据此,用网收敛来刻画低分离公理,同时, 文中也尝试补充给出对正则空间, 正规空间的刻画. 最后探讨一个重要问题,即在拓扑空间中, 网收敛是否与拓扑等价?

1 各种分离公理的定义及性质

定义1[1]设X是一个拓扑空间,如果∀x,y∈X,x≠y,或者x有一个开邻域U使得y∉U,或者y有一个开邻域V使得x∉V,则称拓扑空间X是一个T0空间.

定义2[2]设X是一个拓扑空间,∀x,y∈X,x≠y,x有一个开邻域U使得y∉U,则称拓扑空间X是一个T1空间.

定理1[1]设X是一个拓扑空间,则X是T1空间⟺X中每一个单点集都是闭集.

定义3[2]设X是一个拓扑空间,∀x,y∈X,x≠y,x有一个开邻域U,y有一个开邻域V使得U∩V=∅,则称拓扑空间X是一个T2空间(或称Hausdorff空间)

定义4[1]设X是一个拓扑空间, ∀x∈X和∀A⊂X是一个闭集,使得x∉A,∃x的一个开邻域U与A的一个开邻域V使得U∩V=∅,则称拓扑空间X是一个正则空间

定义5[1]设X是一个拓扑空间,∀A,B⊆X,且A∩B=∅,A有一个开邻域U,B有一个开邻域V使得U∩V=∅,则称拓扑空间X是一个正规空间.

2 网收敛在刻画分离公理中的作用

在拓扑空间中,具有不同分离性的拓扑空间其性质有着本质的不同,所以有必要对不同的分离公理进行刻画.下面,我们分别对T0T1T2正则、正规空间进行刻画.

引理1：设(Li,≤i),i=1,2是两个非空偏序集,≤是L=L1×L2上的关系,定义如下:(x1,x2)≤(y1,y2)⟺x1≤1x2,y1≤2y2,则≤是L上的一个偏序关系.偏序(L1×L2,≤)称为偏序集(L1,≤1)与(L2,≤2)的直积.若(L1,≤1),(L2,≤2)是定向集,则(L,≤)也是定向集.

2.1 网收敛对T0空间的刻画

定理2.1拓扑空间是T0空间的充要条件是X中任意两个不同常值网的极限点的集合是不同的.

证明: (必要性)设X是T0空间,{Sα|Sα=x,α∈D,≤}和{Tα|Tα=y,α∈D,≤}(x≠y)是X中任意两个不同的常值网,显然,这两个常值网至少分别收敛于x,y.因为X是T0空间,则x,y中至少存在一点,其存在邻域包含另一个点.不妨设x中存在一个邻域Ux,有y∉Ux,从而x不是{Tα}的极限点,所以两个网的极限点的集合不同,由所取常值网的任意性,故得证.

(充分性)任取x,y∈X,x≠y,取特殊网{Sα|Sα=x,α∈D,≤}和{Tα|Tα=y,α∈D,≤},设其极限点的集合分别是AS和AT,由条件得AS≠AT,则ASAT≠∅和ATAS≠∅中至少有一个存在,不妨设ASAT≠∅,取s∈ASAT,由于s是网{Sα}的极限点,所以存在s的开邻域Us,使得y∉Us,由于Us是x的开邻域,于是存在x的开邻域Us,使得y∉Us,由x,y的任意性和T0空间的定义,知设X是T0空间.

2.2 网收敛对T1空间的刻画

定理2.2拓扑空间X是T1的,当且仅当若Sα→y,且对所有的α∈D,均有Sα=x,则y=x.

{Sα,α∈D,≤}满足任取α∈D,有Sα=a,D为任意指定的定向集,下面设法证明如上的Sα→z:

2.3 网收敛对T2空间的刻画

定理2.3.1[3]拓扑空间(X,I)是T2空间(Hausdorff空间),当且仅当X内的每个网至多仅有一个极限点.

证明:(必要性)设(X,I)是T2的,S是X的任一网且有x,y∈limS,若x≠y,则由T2的性质,存在U∈AxV∈Ay,使得U∩V=∅,显然,S不可能同时终在U,V内,故与假设矛盾,所以x=y.

(充分性)设X内每个网至多有一个极限点.若存在x,y∈X,x≠y但是,对于任意U∈AxV∈Ay,均有U∩V≠∅,令D为Ax和Ay对偶偏序集的直积,由引理1,(D,≤)为一个定向集.任取ξ∈∏(U,V)∈DU∩V,则ξ=(ξ(U,V))(U,V)∈D是X内的一个网.显然,x,y∈limξ,与条件矛盾,故得证.

定理2.3.2设X是满足第一可数性公理的空间.证明:拓扑空间(X,I)是T2空间(Hausdorff空间),当且仅当X内的每个收敛序列都只有一个极限点..

证明:(必要性)假设收敛序列{xn}有两个极限点x,y,且x≠y.由于X是T2空间,故存在U∈AxV∈Ay,使得U∩V=∅.由收敛的定义,则存在N1,当n>N1时,有xn∈U,同理,存在N2,当n>N2时,有xn∈V.而这与U∩V=∅矛盾,故假设不成立.

(充分性)用反证法.假设X不是T2空间,即存在两个不同的点x,y,存在x和y的递缩邻域基{Un}和{Vn},满足Un∩Vn≠∅,随着n的变化,取Un∩Vn中的点列xn,则有xn同时收敛于x和y这与条件中每个收敛序列只有一个极限点相矛盾.

在这里要说明一点:在Hausdorff空间中,收敛序列极限必定唯一;然而,若不满足第一可数性公理条件,其逆命题就不成立.也就是说,不满足第一可数性公理时,收敛序列极限不唯一,即序列收敛的刻画并不充分。

为了使本文更有针对性,更加完整,同时也为了体现网收敛的普遍性和通用性,下面我们尝试给出正则空间和正规空间关于网收敛的刻画.

2.4 网收敛对正则空间的刻画

定理2.4拓扑空间X为正则空间的充要条件是对X中的任意一点x和任一闭集A,x∉A,存在包含x的子集B满足:(1)收敛于B内点的网终于B;(2)B中所有收敛网的极限点的集合与A不交.

(充分性)设x为X中任意一点,A为不包含x的任一闭集,由定理条件知:存在包含x的子集B,满足条件(1)和(2).

2.5 网收敛对正规空间的刻画

定理2.5[4]拓扑空间X是正规空间的充要条件是对X中任意闭集A,B,且满足A∩B=∅,∃E⊂X,A(或B)⊂E,满足:(1)收敛于E内点的网终于E;(2)E中所有收敛网的极限点的集合与A(或B)不交.

(充分性)设X是拓扑空间,对X中的任意两个闭集A,B,且A∩B=∅.往证X是正规空间.设A为X中任一闭集,x为不包含于A的一点,由定理条件知:存在包含A(或B)的子集E,满足条件(1)和(2).

3 结 语

由上面的论述中,可以看到,用网收敛可以刻画拓扑学的许多结果,提出问题:在拓扑空间中,拓扑和网收敛的地位是否是等价的? 换句话说,是否可以用网收敛来完全刻画拓扑? 答案是毋庸置疑的,事实上,Kelley(1950)在他的专著中介绍了可以用基于网的收敛类来导出任意论域上的拓扑的重要结果.