“四维四步”：基于思维可视化的小学计算深度学习范式

【作者简介】张慧，一级教师，中山市优秀教师，中山市东区学科带头人，主要研究方向为小学计算教学。

【基金项目】中山市教育科研2020年度青年项目立项课题“基于思维可视化的小学计算深度学习研究”（C2020014）

【课堂聚焦·课堂新探】

【摘 要】计算是小学数学重要的学习内容，比较抽象。在小学计算学习中，教师要借助思维可视化手段，将抽象的计算表象化，使计算学习过程外显。“四维四步”是计算深度学习的思维可视化模型，包含了计算学习算、析、辨、结四个过程和动作可视化、图像可视化、语言可视化、符号可视化四种策略。四个维度的思维可视化策略对应计算学习的四个过程，但不一一对应。教师可以利用四维思维可视化策略在计算学习过程中的整体性、阶段性和交融性等特征，帮助学生达到计算深度学习。

【关键词】“四维四步”；思维可视化；小学计算；数与运算

计算内容占据小学数学学习内容的大部分，是小学数学学习的重要内容，比较抽象。《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课标（2022版）》）多次提及数与运算的一致性，旨在将小学计算知识结构化，这也是计算深度学习的最高层次。然而计算学习的过程较为抽象，学生大多以计算结果正误的形式体现计算学习的效果，而不能体现计算过程，更不能将抽象的计算思维呈现、梳理和阐明。因此，计算的学习过程需要可视化的手段来体现，从而帮助学生达到计算深度学习。

一、小学计算深度学习与思维可视化

马云鹏等指出，深度学习过程着眼于学生对所学内容的整体理解，促进学生的知识建构和方法迁移，并有助于学生高级思维的发展，让学生在解决问题的过程中提高核心素养。［1］计算深度学习是指学生在计数单位累加和减少的这一核心知识主线引领下能够总结算法，通透算理，理解计算的本质，建立计算知识的结构体系，从而形成以计数单位为核心的计算大观念。计算深度学习重在学生主动参与学习活动、明理悟法和构建以计数单位为知识主线的计算知识结构体系。小学生的思维发展是从形象思维逐步过渡到抽象思维的。而计算的深度学习是不可见的，凭借计算结果的正误不能够体现其计算思维层次。因此，要想让学生更加清楚地理解和表征计算，教师需要引导学生借助不同的表征方式，将计算学习的过程外显，使得计算学习过程化、可视化。

二、“四维四步”：计算深度学习的思维可视化模型建构

“四维四步”计算深度学习的思维可视化模型以二维表格的形式呈现（见表1）。从学生的计算学习过程角度出发，思维可视化策略有动作可视化、图像可视化、语言可视化和符号可视化四个维度。这四个维度不仅是学生计算思维的四种体现，也是计算思维的发展过程。动作、图像可视化的阶段中，学生的计算思维较为具体和直观，而语言可视化将隐性的思考过程显性化，最后在符号可视化中完成计算思维的抽象过程。计算学习过程可以分为四个步骤：算——迁移旧知探究新知；析——几何直观解析算理；辨——正误对比巩固模型；结——构建知识结构体系。算是学生独立迁移旧知尝试计算，初步探索计算的过程；析是学生借助几何直观深入解析算理，将分解的计算过程与几何直观一一对应的过程；辨是对比与化错的过程，教师借助学生在计算学习中出现的错误引发问题，让学生在逐步化错中进一步明理悟法；结是对于新知学习过程的总结，是引导学生从理性层面总结算理算法，构建计算知识结构体系的过程。

由表1可知，思维可视化策略与计算学习过程对应起来，但并不是每一种可视化的策略都能适合计算学习的每一步。算的过程较为抽象，是符号可视化。析的过程一定要具体，可以借助动作、图像和语言可视化中的一种或几种。辨的过程需要借助语言讲清道理，让辨析的过程得以外显。结要以计算模型、算法总结、计算知识结构体系等形式呈现，属于符号可视化，抽象程度较高。

三、计算思维可视化的四维策略分类

在考虑了思维可视化类别后，教师可以借助思维可视化的手段，通过直观操作、借助图示和数学语言描述等方式，让学生经历从直观到抽象，借助动作、图像、语言等形式表达算理的过程，进而感悟数与运算的一致性（如图1）。

1.动作可视化

皮亚杰认为，认识起源于动作，认识是从动作开始的，动作在儿童的智力和认知发展中起着重要的作用。［2］肢体动作是儿童最初学习计算的辅助手段，幼儿园甚至刚进入小学的学生喜欢通过数手指来计算加减法，其实是将抽象的计算转化为肢体动作来解答。如学生在最初计算5+4时，会先伸出5根手指，再伸出4根手指，通过数数得出5+4=9。在此过程中，学生借助数手指将抽象的计算加法的过程外显，借助肢体动作将最基础的数学内容与最原始的计数方法相结合。动作可视化的过程在小学阶段主要集中于一、二年级，其能够帮助学生突破最基础的10以内加减法或5以内的乘法等内容，是學生数感形成的必经之路。

2.图像可视化

皮亚杰将人的认知发展分为四个阶段：感知运动阶段、前运算阶段、具体运算阶段和形式运算阶段。大部分小学生的思维处于具体运算阶段，这个阶段的学生在物体之上进行运算，也就是要借助一些具体的实物、图示、结构化的学具等进行运算。图像可视化是小学阶段计算学习最常用的方法，从小学一年级的5以内加法开始就一直伴随着学生。因此，在小学计算的学习中，图像可视化是一个十分重要的手段。借助具体的图像，学生将抽象的计算过程与直观的表象相结合，实现数形结合。在数形结合的计算学习中，抽象的数与直观的图具有一致性，抽象的数能够让图像所表示的计算过程更简洁，丰富的图像能够让抽象的数更加具体、可视。

3.语言可视化

在小学计算学习过程中，学生不仅要会算，会借助动作或图像来表征计算，还要能够描述计算的过程，用数学语言解析算理、概括算法。语言可视化是指对计算过程进行描述、分析、比较、推理和概括，即学生在学习计算的过程中，要借助语言将计算过程、分析算理、比较方法、数学推理和算法概括等过程描述出来，使思维过程得以外显。对于小学生来说，用数学语言表达比较困难，需要经过长期的训练。学生在训练中逐步养成用数学语言表达和交流计算的习惯，从而提升用数学语言表达数学思考过程的能力。

4.符号可视化

按照布鲁纳的表征理论，数学对象的第三个表征阶段是符号性表征。［3］数学符号是数学的语言，它能够将数学学习与思考的过程描述出来。在小学计算学习中，符号可视化主要体现为计算的横式模型建构、竖式模型建构和数与运算的一致性表达。符号可视化较为抽象，大多是对于计算原理、方法、规律的描述。在符号可视化的过程中，学生在横式与竖式模型建构过程中，借助计数单位这一数学符号对计算过程进行说理，感悟数是对于具体数量的抽象，从而体验数学符号的简洁性。

四、四维思维可视化策略的特点

基于数与运算一致性的小学计算思维可视化策略是一个整体，其中动作、图像和语言的发展随着学生年级的升高，使用频率有所变化，而符号可视化的思维层次较高。动作可视化、图像可视化和语言可视化能使抽象的计算思维具体化，让学生借助肢体动作、图像和语言等方式来表征计算，使得计算过程清晰呈现，抽象的算理外显。符号可视化的过程是借助计数单位来将具体的可视化过程进一步数学化。学生借助计数单位这一数学符号深入计算的本质，感悟计算与计数单位的个数的联系。在计算教学的过程中，教师要打破原有的着重教算法的常规教学观念，从计算思维可视化的角度重构学生课堂学习策略，让学生在课堂中经历迁移旧知探究计算，借助几何直观分析算理，对比正误计算方法巩固模型和构建知识结构体系的学习过程。

1.整体性

基于一致性的小学计算思维可视化策略具有整体性。在计算学习过程中，语言可视化通常用来描述动作可视化和图像可视化的过程，将实践过程表述出来。符号可视化是对动作可视化、图像可视化和语言可视化进行抽象。此外，小学计算思维可视化策略的整体性还体现为小学一年级至六年级的计算学习都离不开这四种方法，它们与整体的计算相关联，贯穿于小学计算学习的全过程。在计算学习中，教师需要引导学生用可视化的手段将抽象的计算具体化，帮助学生理解计算的算理、算法和本质。

2.阶段性

《课标（2022版）》指出，核心素养具有整体性、一致性和阶段性，在不同阶段具有不同表现。［4］《课标（2022版）》将小学数学学习分为三个学段，一、二年级为第一学段，三、四年级为第二学段，五、六年级为第三学段。随着年龄的增加，学段的升高，学生的知识储备、抽象能力、理解能力、计算能力都有所提升。因此，对于第一学段的学生来说，动作可视化过程尤其重要，学生需要亲身感知和参与计算的全过程。第二学段的学生普遍借助图像可视化来分析计算，借助图像呈现计算步骤，从而提升总结。第三学段的学生的抽象能力较强，学生在感悟出计算的本质后可以脱离几何直观，借助计数单位来描述计算，发展符号化能力。

3.交融性

四维思维可视化策略的使用具有交融性。虽然动作可视化、图像可视化、语言可视化和符号可视化都指向计算的本质，但这四种可视化路径不是顺向而行，而是反复交融的。学生可以借助语言可视化描述图像可视化的过程，也可以在语言可视化中逐渐归纳、形成符号可视化。如此，通过多种表征来促进对计算的深度理解。此外，算、析、辨、结的过程也不是按顺序进行的。在课堂学习中，学生可以先进行计算尝试，再进行算理分析，也可以先进行算理分析，再进行计算尝试。

五、小学计算深度学习的四步模型

算、析、辨、结是小学计算学习的基础环节，这四个环节在学习活动中的安排没有固定的顺序。学生可以根据不同的内容，反复调用四个环节来学习新内容（如图2）。

1.算——迁移旧知探究新知

算是符号可视化的过程，贯穿于每一节计算课。原有教学模式中，教师一般引入新课后就借助模型引导学生应用学具操作推导计算方法。这种方式其实没有关注到学生原有学习经验，学生没办法主动进行知识迁移。实际上，在每一个计算新知识学习前，学生都有一定的知识与经验基础，这些经验能够给学生的计算学习带来正迁移或负迁移。教师可以直接或进行改组后帮助学生进行新知识学习，使他们更快地接受新知。如在学习“表内乘法”前，学生已经有了相同加数连加的学习经验，教师可以引导学生理解乘法是加法的简便运算，促进学生对乘法意义的建构；在学习“除法竖式”前，学生已经学习了加法、减法和乘法的竖式计算，但除法竖式与前面的学习不同，教师应引导学生建构除法竖式模型，帮助学生进一步巩固和区分除法竖式。初步探索算的过程就是迁移旧知、构建新知的过程，这里的迁移不仅是算法的套用，更是对新算理的推理。

2.析——几何直观解析算理

析是借助动作可视化、图像可视化与语言可视化来解释符号可视化的过程。以往的计算学习中，学生只学习算的方法，忽视了说理，更没有结合几何直观等手段来说理。目前的小学计算学习，学生应将算法与算理的学习相结合，借助算理来明晰算法，实现以理驭法。分析计算过程是学生说算理的重要环节，教师可以引导学生从计数单位、四则运算的意义、运算之间的关系等角度来理解计算。如在“两位数乘两位数”的学习中，学生可以借助点子图、格子图来分析乘法竖式中的几个一、几个十和几个百；在“小数加减法”的学习中，教师可以借助“米、分米、厘米”或“元、角、分”等设置生活情境，引导学生理解相同单位上的数相加减的道理。借助几何直观，学生更容易描述计算，形成计算思维的语言可视化。

3.辨——正误对比巩固模型

辨的过程要借助语言可视化，比较抽象，一般需要正误方法的对比分析。由于抽象程度较高，学生对于模型的建构普遍比较困难，通常都是记住模型，而不理解每一步计算的具体含义，因此会出现学过一段时间后就忘记怎样计算的情况。深度学习不是死记硬背，而是透析知识本质的学习。因此，学生可以在辨析中深入分析计算算理与算法，以理驭法，让模型的建构更加牢固。如在教学“小数位数不同的小数加减法”中，教师可以出示末尾对齐的竖式与小数点对齐的竖式，让学生在辨析中说理，使学生明白不同的计数单位不能相加减。如此，在正误对比中，学生可以将简单的计算过程进行深入说理。辨的过程分布于计算学习的全过程，学生可以在初次计算后通过对比发现不同，也可以在说理过程中逐渐对错误方法进行调整，还可以在建构正确模型后再与错误方法做对比，巩固模型建构。

4.结——构建知识结构体系

数学学习本质上是一个从具体到抽象的过程。在小学阶段，学生经历了从借助具体的动作、实物、几何直观等来描述计算，到借助抽象的计數单位来计算的过程。因此，每节课中，学生都要对计算知识体系进行总结与延伸。对于小学阶段的“数与运算”主题，学生需要在理解整数、小数、分数意义的同时，理解整数、小数、分数基于计数单位表达的一致性。如在小数除法复习课中，学生要借助计数单位来分析小数除法的通法、通理，并勾连整数除法，建构统一竖式模型进行说理。虽然分数除法与小数除法、整数除法的外在形式不同，但学生在学习的过程中也要从计数单位（分数单位）的角度出发，理解分数除法也是分数单位的细分，与整数除法、小数除法的道理一样，从而建构除法计算的知识结构体系。小学计算教学中，教师要以计数单位为抓手总结计算，让学生感悟数与运算的一致性，理解所有计算实际都是计算计数单位的个数，从而感悟不同计算的一致性。

一致性的小学计算学习指向计算本质的渗透，计算思维可视化能够促进学生对计算本质的理解，为学生剖析算理、感悟计算的本质提供脚手架。因此，在教学中，教师要转变原有教学观念，合理运用思维可视化策略，将抽象的计算思维过程具体化、显性化，促使学生在可视化手段下提升数学核心素养，发展数学关键能力。

参考文献：

［1］马云鹏. 深度学习：走向核心素养（学科教学指南·小学数学）［M］. 北京：教育科学出版社，2019.

［2］皮亚杰. 皮亚杰教育论著选［M］. 卢濬，选译. 2版. 北京：人民教育出版社，2015.

［3］义务教育数学课程标准修订组. 义务教育数学课程标准（2022年版）解读［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022.

［4］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022.

（责任编辑：罗小荧）