初中数学函数解题的有效方法

陈楚烨

摘要：函数作为初中数学的重要模块，十分注重学生解题能力、思考能力和转化思维.结合函数不同类型以及知识难度，进行多元化解题方法选择，有利于拓宽学生数学思维，在观察、总结、分析、探究中找到核心，通过函数习题实践探索，可切实提高学生解题的准确率和有效性.本文中就初中数学函数解题的有效方法进行了探究.

关键词：初中；数学教学；培养；解题能力

新课程标准革新了传统无趣的课堂灌输模式，对学生的数学实践能力，教师的教学指导能力都提出了更高的要求.在初中阶段，解决数学问题时，选对数学方法，能够节省时间，起到事半功倍的效果.在不同的教学阶段，教师应该主动分析问题，更新教学理念，打破固化模式，提高教学的有效性.

1 数形结合法，培养函数直观转化意识

与小学阶段相比较，初中数学知识具有较大的跨越性，尤其是函数部分，不论是单元内容讲解还是主题内容分析，基础知识薄弱的学生理解起来都会十分困难.教师应该在掌握函数本质特征的基础上，准确利用函数图象，数形结合，找到变量和常量，在分析和思考中逐渐掌握教学规律，让学生更加直观、生动地理解知识重点，加速提高数学思维能力.

习题1 若函数y₁=|x-1|和y₂=-13x+53的图象相交于A（-1，2），B（2，1）两点.当y₁>y₂时，求x的取值范围.

分析：习题1是初中函数经典题型之一，在解答过程中，数形结合是指将已知信息与图象相结合，以此探究x的取值范围.

首先，画出两个函数的图象，并找到交点A，B以及直线x=-1和x=2的位置，如图1和图2所示.

其次，在教师的引导下，结合图象分析y₁和y₂，将x值代入其中，获得当y₁>y₂时，x取值范围为点A左侧和点B右侧部分，因此得到x<-1或x>2.

2 利用方程思想，增强函数应用能力

方程思想与初中函数知识内容对应性较强，通过假设未知数x，y，挖掘已知量和未知量的变化规律，结合函数基础知识内容，整合数学处理方法，转变思维模式，对方程进行思考和探究，提高学生数学知识的理解能力，拓宽解题思路，深层次把握函数知识，灵活分析方程要义，将抽象知识进行具象化转变.

习题2 当函数y=kx²+（k-3）x+1的图象与x轴在原点的右侧有交点时，请求出k的取值范围.

分析：显而易见，这类函数题型已经不能完全依靠图象获得最终答案，而是需要细致分析已知条件，找到突破口.利用函数知识，探究是否可以借助方程对其进行拆解，需要分别探究k=0和k≠0时，函数的取值情况.当k=0时，可得y=-3x+1，当k≠0时，x=0，y=1;k<0时，函数图象与x轴有两个交点，分别在原点两侧；k＞0时，函数的图象为开口向上的抛物线，且相应方程必须满足Δ=（k-3）²-4k≥0和-k－32k>0两个条件，才能得出0

3 生活案例法，提高函数实际解题效果

生活即教育，社会即学校.为使学生能真正了解函数的应用条件以及核心内容，教师应该主动思考生活中常见的函数问题，与生活内容接轨，引导学生在实践中感受函数的内在魅力，适当增加教育案例，为学生更快解决生活中的具体函数问题奠定基础，展现函数实际应用效果.

习题3 商场销售某种产品，单件成本为40元，十月份销售额经过随机抽取得到表3，假设当天售价不变，则将生活经验和函数知识相结合，完成如下两个问题的研究.

（1）探究每天售出件数y与每件售价x之间的函数关系.

（2）若商场有两名营业员，当每天销量超过168件时，需要增加一名营业员，此时，假设营业员的每天工资为40元，则每件产品应该怎样定价才达到每天利润最大化？

分析：對部分学生而言，单纯处理函数之间的关系，整体能力不足，为更好地提高学生对函数的理解和应用效果，可设计此种与日常生活息息相关的习题类型，鼓励学生转换思维角度，多方面解决问题，提高数学理解能力.在解答问题（1）时，通过知识转化，能够得到函数关系式y=600-6x.在解答问题（2）时，将y=168代入函数y=600-6x得出x=72.找到自变量和因变量，并将每天纯利润设为m，分别计算x<72和x≥72的结果.当x<72，m=-6（x-70）²+5 280，则x=70，m的最大值为5 280；同理当x≥72时，m=-6（x-70）²+5 320，则x=72，m的最大值为5 296.显而易见，当产品定价为72元时，每天利润最大.

4 情境体验法，延伸函数技巧运算模式

生动逼真的数学情境对学生理解数学知识、掌握解题方法大有裨益.要想让学生真正理解函数知识，掌握公式运用技巧，教师作为引导者，可以通过情境创设，让学生参与其中，在知识的应用中增强数学关键能力，并在对比分析过程中加强对函数知识的理解.

习题4 如图3，已知矩形OABC的长OA为3，宽OC为1，将△AOC沿着AC翻折，则可以得到△APC，如果点P和点A均在抛物线y=-43x²+bx+c上，请求出b，c的值.

分析：这类题型考查学生对函数知识和其他内容的应用技巧，注重三角形和抛物线的结合，增强学生函数知识的迁移应用能力.因此，解析过程中，为调动学生主体意识，可以创设实践情境，让每位学生根据习题要求，拿出纸张进行折叠，在动手参与中深化对点A，B，C，D，P，O位置关系的理解.通过计算，确定∠PCB的度数为30°，点P的具体坐标为32，32.然后根据图形，将已知条件代入，得-43×34+32b+c=32，且-43×3+3b+c=0，解得b=3，c=1.由此可见，对于学生不容易理解的函数知识点，通过实践体验，能够在实践探索中获得更好的理解.

5 小组竞赛法，深化函数概念内涵

初中学生好胜心强，对函数知识、技巧等方面理解能力强.此时在教学过程中，教师应该准确抓住函数基础概念、性质等，为不同层次的学习小组创设难易程度不同的问题，倡导他们相互交流与探索，共同提高解题质量，提升对函数的认识.

习题5 如图4，一只蟑螂从点O出发，沿着扇形OAB匀速爬行一周，蟑螂爬行时间设为t，蟑螂到点O的距离为s，请分析s与t之间的函数关系，从选项A，B，C，D中选择相应的答案.

分析：引导学生解答这类题型时，首先要关注学生的数学水平，掌握学生对函数基础概念、表达方式等方面的理解能力，根据学生的差异性，针对习题，按照综合素质层次进行分组，鼓励小组内部之间平等交流，相互帮扶，合力探究出蟑螂的路线以及运动时间t和距离S之间函数表达式.为增加难度，还可以就原题目让各组之间相互比拼，逆向推理，给剩下的三个选项分别找到s与t的函数关系式.利用学生争强好胜的心理，突出问题核心，深入培养学生数学逻辑思维、迁移思维和探究思维，全面增强初中函数教学效果.

总而言之，函数问题千变万化，教学方法和教学思维十分考查学生逻辑思维、探究思维、迁移实践思维.在教学中，教师应该从学生角度出发，灵活掌握教学技巧，创新指导模式，帮助学生切实掌握函数解题的有效方法.