核心素养引领下的“初中数学教学之习题设计”

孙程程

摘要：数学教学的习题设计要聚焦几个核心问题——注重习题的变式，一题多解，习题设计要体现数学知识的结构，习题训练中能暴露新知的易错点，善于在习题中渗透数学思想方法.追求精益求精的习题设计能力是值得持之以恒探索的课题.

关键词：核心素养；习题设计；知识结构化；数学思想

罗增儒老师说过，谁也无法教会所有的题，重要的是通过有限道题的学习，领悟那种可以解决无限道题的数学素养.高昂的时间成本是教学活动难以逾越的障碍，一节课如果内容太多，任务太重，学生很忙，思考力就难以提升.因此，作为教学设计者和执行人的教师，要反复研读教材，在尊重学生认知规律的前提下设计合理可行的习题，体现教学重难点，不让学生做廉价的发现、无畏的探索.教师在习题设计中要恰当地设置障碍，让学生的思维始终处于活跃状态.鉴于此，笔者结合多年初中数学一线教学经验，具体谈谈初中数学教学中“习题设计”的理念.

1 精心设计习题的变式

变式教学具有得天独厚的优势，它不是一味地灌输知识，而是点燃思维的火焰.变式可以引领学生不断面对新的问题，运用所学知识来解决问题，逐步让知识向深处漫溯，形成知识结构的建构，从而促进思维能力的提高.善于变式体现了一个教师的专业功底.好的变式是一节好课的心脏，能让一节课“活”起来，触发学生的思考.各变式之间，要具备并列或递进的关系，要具有层次性，由易到难，层层递进，环环相扣，前一个问题是后一个问题的基础与铺垫，即思维逐层深入，逐步拓展，达到“会一题通一类”的效果.

下面以“勾股定理”中的习题为例进行变式设计.

例 在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=3，b=4，求c的长.

变式1 如图1，一棵垂直于地面的树被台风吹倒，在离树顶部5 m处折断，树顶距树底部4 m，则树高为_________m.

分析：已知直角三角形斜边为5，一直角边为4，则另一直角边为3.学生在实际解决中，容易错把3 m作为答案，忘记树高还要再加折断的5 m，正确答案应是8 m.

设计意图：变式1在勾股定理的基础上，用数学的思维来解决实际问题.变式1用勾股定理搭建思维的扶梯，用数学的眼光来看待现实生活中的实际问题，体会数学的价值与意义.

变式2 一直角三角形的两边长分别为3和4，则此直角三角形的第三边长为_________.

分析： 边长4可以作直角边，也可以作斜边.①当4为直角边时，第三边为5；②当4为斜边时，第三边为7.

设计意图： 变式2从实际问题再回归到数学问题，例题及变式1的解决，为变式2做了足够的铺垫，凸显了分类讨论思想，属于暴露易错点的变式.变式1到变式2的过渡，从形象到抽象，关注了知识的内涵和外延，增强了学生对数学思想方法的感悟以及对数学技能的掌握，积累数学活动经验.

变式3 如图2，三个正方形的边围成一个直角三角形，两个正方形的面积分别为225和144，则正方形A的面积是_________.

設计意图：把勾股定理融入变式中，从数到形，数形结合，让学生在最近发展区引发思考，促进思维的进阶，深度参与解决问题.

变式4 如图3，在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个的正方形的面积依次是S₁，S₂，S₃，S₄，则S₁+S₂+S₃+S₄=_________.

设计意图：变式4属于拓展型变式，熟练方能收获巧思，通过变式，增加重复的价值，比投身题海战术收效更大.认知结构上的同化与顺应，促进新图式构建与元认知能力的发展，充分挖掘思维潜能，发展思维的灵活性与深刻性.

变式5 如图4是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20 dm，3 dm，2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少？

设计意图：台阶中的最值问题，让学生感悟解决现实问题要关注数学知识背景，在建立模型的过程中学会用数学的思维思考现实世界，有效拓展，深刻理解模型的关键条件，强化数学建模意识，把复杂问题化归为简单熟悉的问题，将知识纵向迁移，提高解题能力.

变式是巩固新知识的好方法，运用变式教学，层层递进，逐步深挖，突破思维定式，激起学生好奇心.通过一系列的变式教学，始终围绕“勾股定理”这个知识“点”，通过变式串成一条“线”，再拓展延伸成“面”.将所学知识融会贯通，在润物无声中培养学生的探知能力，实现从理解知识到掌握知识的飞跃，提升并发展学生数学核心素养.

2 善于设计一题多解的习题

培养思维不设限，一题多解，多方面多角度思考，可以拓宽思路，优化学生的思维品质，提升思维的广阔性、深刻性、灵活性、批判性、独创性；知道为什么这样做，还可以怎么做.学生思维一旦激活，奇思妙想就会宛如“千树万树梨花开”，既巩固了技能，又培养了能力，比再练一道同类题目收益更大.

如：若x=2是一元二次方程x²+4x-p=0的一个根，求该方程的另一个根.

解法一：把 x=2代入方程x²+4x-p=0，得4+8-p=0，解得p=12.

把p=12代入方程x²+4x-p=0，得x²+4x-12=0，解得x₁=2，或x₂=-6.

所以方程的另一个根为-6.

解法二：设方程的一个根x₁=2，另一个根为x₂，由根与系数关系，得2+x₂=-4，解得x₂=-6.

本题以一元二次方程为载体，通过一题多解，让学生感受到应用根与系数的关系解题的优越性，体现发展为本的理念，让学生从“惑”中走出来，知识、素养、经验、智慧都拾级而上.

3 设计体现知识结构、串联新旧知识点的习题

《义务教育数学课程标准（2022年版）》课程实施中提出的教学建议为整体把握教学内容，注重教学内容的结构化.

如，人教版“23.2.3关于原点对称的点的坐标”的教学中，当学生探索并掌握了“平面内的两个点关于原点对称，横、纵坐标互为相反数”这一规律时，笔者设计如下习题.

如：已知二次函数y=ax²+4ax+4a-1的图象是C₁，求C₁关于原点（0，0）成中心对称的图象C₂的函数解析式.

解析：二次函数的解析式可以化为y=a（x+2）²-1，

所以其顶点坐标为（-2，-1）.

于是与C₁关于原点（0，0）成中心对称的图象C₂的顶点坐标为（2，1），且开口与C₁相反.

故C₂的解析式为y=-a（x-2）²+1.

拓展 二次函数y=a（x-h）²+k（a≠0）关于原点中心对称的抛物线C₂的解析式是什么？你发现了什么规律？

解析：二次函数y=a（x-h）²+k关于原点成中心对称的图象开口与原图象相反，顶点坐标是原顶点坐标（h，k）的相反数，即（-h，-k）.

所以C₂解析式为y=-a（x+h）²-k.

延伸 二次函数y=a（x-h）²+k（a≠0）关于x轴对称的抛物线C₂的解析式是什么？你又发现了什么规律？

解析：二次函数y=a（x-h）²+k关于x轴对称的图象开口与原图象相反，頂点坐标与原顶点坐标（h，k）关于x轴对称，即（h，-k）.

所以C₂的解析式为y=-a（x-h）²-k.

归纳：关于某点成中心对称即是把一个图形绕着某一点旋转180°，其特征为无论作何种变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此|a |永远不变.求变换后的抛物线的解析式时，可以先确定原抛物线的顶点坐标及开口方向，再确定变换后抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其变换后抛物线的一般表达式.

设计意图：把坐标平面内“点”的中心对称迁移到“抛物线”的中心对称或轴对称，综合应用了中心对称、轴对称和二次函数的联系，提高学生的知识迁移能力.因此，习题设计的“结构化”体现了课时内容的叠加，把碎片化的知识点有机整合起来，把不同章节的新旧知识点串联起来，由新知联想旧知，通过对比、分析、推理，深入理解知识的内涵和外延，丰富知识网络，完善知识体系，形成高效教学，提升并发展数学核心素养.

4 善于在习题中渗透数学思想方法

以“转化思想”为例：如图5，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点（且点P不与点B，C重合），PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF的最小值为（）.

A.4 B.4.8 C.5.2 D.6

本题立足于“垂线段最短”这一知识“生长点”，由已知条件可得四边形AEPF为矩形，锁定已知，构建联系；利用矩形对角线相等的性质，把线段EF的长转化为AP的长；再根据垂线段最短原理，利用等积法即可求解.此过程中让学生积极参与探索，了解问题的实质，产生新旧知识冲突，感受数学发现与创造的快乐，真正做到“懂”“通”“透”，培养学生数学抽象与逻辑推理能力，对数学素养的提升起到“春风化雨，润物无声”的效果.

数学教学的习题设计能力是每一个教师需要终身修炼的教学基本功.它需要教师深入研读教材，重视教材内容的解读，聚焦核心素养，把要传授的内容浓缩体现在习题之中，并将其加工渗透于习题之中，而这又是专业基本功的体现.因此，在教师生涯中，追求精益求精的习题设计能力是值得持之以恒探索的课题.