基于波利亚数学解题思想的解题教学
2024-01-04刘思宁吴丽华
刘思宁 吴丽华
摘要：本文中以高考中圆锥曲线的“最值问题”为例，探析波利亚解题思想在数学解题教学中的应用，寻找能够启发学生数学思维的解题教学方法.
关键词：波利亚；解题教学；圆锥曲线
圆锥曲线是高中数学的重要内容，也是高考数学重点考查的内容.这部分内容对于学生来说比较吃力，故本文中以圆锥曲线的“定值、最值问题”为例，探析波利亚解题思想在圆锥曲线解题教学中的应用.
1 波利亚的解题理论
“一个好的解法是如何想出来的？”这是大部分学生在完成数学作业中一直困惑的问题.波利亚［1］在《怎样解题》中的每一个问题就像是解决问题思维过程的“慢镜头动作”，也像是我们解决问题时内心的独白.
第1步：理解题意［2］.
理解问题的含义是波利亚“如何解决问题表”的第一步，即检查问题.学生应该熟悉问题，并回忆起相关的知识，以找到未知的数量、已知的数据和条件，并用数学符号表达条件给出的信息.
第2步：拟定方案.
拟定方案是问题解决的中心环节，关键是要找到已知条件和所求问题之间的密切关联，从而形成一个可行的解题方案.学生要根据头脑中原有的数学知识结构找到与所求问题之间的桥梁.
第3步：执行方案.
方案拟定完成，这个阶段学生要做的是认真写下解题过程，确保条件充分使用，在解决过程中准确无误，思路清晰.
第4步：回顾.
回顾是检查问题解决活动的过程，也是问题解决活动中一个重要也很容易被忽视的环节.我们得出的解决问题的方法，要经得起“特殊”的检验，哪怕有特殊个体出现也适用才行，因为，我们找到的解决方法需要能重复使用，甚至能解决其他领域的问题.解答完后还需要复盘，找到可以改进的地方.
2 解题教学方法探析
笔者试图将解题教学策略应用在圆锥曲线的综合问题中，以近年来圆锥曲线常考的问题，如轨迹方程，圆锥曲线有关的最值问题为例.
例題如图1，已知点F（1，0）为抛物线y2=4x的焦点.过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧.记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2.求S1S2的最小值.
解题分析：
第1步：理解题目.
教师：未知是什么？
学生：S1S2的最小值.
教师：已知是什么？
学生：焦点F（1，0）；抛物线方程y2=4x；△ABC的重心G在x轴上；Q在点F的右侧.
教师：条件是什么？
学生：过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧.记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2.
教师：是否满足条件？
学生：满足条件.
①根据三角形重心性质构建三角形面积之比；
②通过相似三角形和三角形的性质将面积比转化为底边之比；
③利用面积和纵坐标之间的关系，借助基本不等式、最值求解方法、韦达定理，求得比值的最小值.
教师：要确定条件是否充分？是否多余？是否矛盾？
学生：条件应该是充分的.
①已知点G为三角形的重心，可得△AFG和△CQG与△ABC面积比值.设点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），这里y1＞0，将面积之比转化为边长之比，再由边长之比转化为坐标之比.
②由三角形重心坐标公式，得y1+y2+y3=0，将直线与椭圆方程联立，通过韦达定理进一步得出S1S2.
③根据最值知识点求解问题.
点评：题目当中所蕴含的条件比较多，需要学生对其进行一一分析，体会条件与条件的关系.
第2步：制定计划.
教师：本题与以前做过的题目相类似吗？由此能联想到什么？
学生：有过类似的题目.能联想到三角形高线性质、焦点弦、最值的求解问题等.
教师：解决此类问题有什么常用方法？
学生：有几何问题代数化法，利用函数求最值等.
教师：能以其他方法叙述这道题目吗？
学生：
①抛物线上三点A，B，C形成三角形，三角形的重心在x轴上；
②根据重心的相关性质，将面积之比转化为点的纵坐标之比，得出S1S2；
③利用换元法简化算式，化简后结合函数的单调性求解.
点评：结合题目给出的条件，从已知推未知，梳理思路，建立联系.
第3步：执行计划.
教师：上述解题思路是正确的吗？
学生：是正确的.根据三角形重心，得出△AFG和△CQG与△ABC面积的关系，再转化为纵坐标之比；根据三角形重心坐标公式，找出纵坐标y1，y2，y3的关系进行转化；针对问题建立关于参数的函数式，利用函数单调性或者求极值的方法求最值，并结合换元法来简化计算.
教师：能否证明它是正确的？
学生：延长AG，交线段BC于点P，由△ABC的重心为点G，可得AG∶GP=2∶1，所以S△BGC=13S△ABC.同理，可得S△AGC=13S△ABC，S△CGQ=|CQ||AC|S△AGC.又因为|CQ||AC|=|y3||y3|+y1，所以S△CGQ=S2=|y3||y3|+y1＼5S△ABC3.又|AF||AB|=y1|y2|+y1，所以S△AFG=S1=|AF||AB|＼5S△ABC3=y1|y2|+y1＼5S△ABC3.故S1S2=y1|y2|+y1＼5|y3|+y1|y3|.
根据三角形重心坐标公式，可知y1+y2+y3=0.因为直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧，所以只需点C在点B的右侧，即y3
点评：整个解题过程建立在数形结合的基础之上，这个过程需要学生有一定的运算能力，通过最值问题的求解提升学生的数学运算核心素养和推理论证能力.
第4步：回顾.
教师：此题主要考查了哪些知识点？解决最值问题可以从哪些变量入手？
学生：三角形面积的比值的最小值问题，其中涉及了抛物线、直线方程、重心性质、韦达定理等基础知识，考查了运算求解与转换化归的思想.求函数最值常用配方法、单调性法、判别式法、基本不等式法、导数法和换元法等搭配使用.
点评：本题所涉及的知识点较多，运用的方法也比较多元，计算量大，需要学生有很强的逻辑思维才能完成.通过此题的練习，学生在解圆锥曲线最值问题的求解方面会有很大突破.
在解决问题的过程中，教师需要把握教学目标，巩固学生对已学知识的认知结构，丰富学生对问题的认知体验，培养学生解决问题的能力和兴趣.以波利亚＼的《怎样解题》为依据，教师也应立足主题，充分发挥主题的价值，并运用到实际教学中.
参考文献：
[1]波利亚.怎样解题[M].涂泓，冯承天，译.上海：上海科技教育出版社，2002.
[2]周晨晨.浅谈波利亚四步解题法在数学解题中的应用——以一道高考圆锥曲线题为例［J］.数学学习与研究，2020（5）：133-134.
