函数与导数问题易错点剖析
2024-01-03黄伟军
黄伟军
函数与导数是高考的必考内容，在每年的高考试题中占的比例是相当高的，然而同学们解题时却时常因为概念不清晰、忽视公式成立条件、解题思路不严谨等犯下各种错误，本文结合函数与导数部分一些容易出错的典型例题寻本溯源，剖析错误原因，供同学们学习参考．
易错点1：函数的单调区间表达出错
例1.求函数f（x）=x-2x+2的单调增区间．
错解：因为f（x）=x-2x+2=1-4x+2，所以函数在（-∞，-2）和（-2，+∞）上单调递增，函数的单调增区间为（-∞，-2）∪（-2，+∞）．
错因：认为函数在定义域D 1，D 2上分别是增函数，则在D 1∪D 2上也是增函数.如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接．
正解：因为f（x）=x-2x+2=1-4x+2，所以函数在（-∞，-2）和（-2，+∞）上单调递增，所以单调增区间是（-∞，-2）和（-2，+∞）．
易错点2：解“二次型函数”问题时忽视对二次项系数的讨论
例2. 已知函数f（x）=mx-13mx2+2mx+1的定义域为 R ，求实数m的取值范围．
错解：依题意得，要使函数有意义，必须mx2+2mx+1≠0，要使函数的定义域为 R ，必须当一元二次方程mx2+2mx+1=0无解，即 Δ =（2m）2-4m<0，解得0 错因：忽视了m与定义域的关系而未对m进行分类讨论． 正解：当m=0时，函数的定义域为 R ，符合题意，故实数m的取值范围是［0，1）才对． 易错点3：判断函数奇偶性时忽视定义域 例3.试判断函数f（x）=4x2-x4|x-3|-3的奇偶性． 错解：因为f（-x）=4x2-x4|-x-3|-3≠f（x）且f（-x）=4x2-x4|-x-3|-3≠-f（x），所以是非奇非偶函数． 错因：忽视了函数的定义域而直接用奇偶性定义判断，从而出错． 正确：依题意得f（x）=4x2-x4|x-3|-3=|x|4-x2|x-3|-3，4-x2≥0， |x-3|-3≠0，解得函数的定义域是［-2，0）∪（0，2］，定義域关于原点对称，此时函数可化简为f（x）=4x2-x4|x-3|-3=-|x|4-x2x ，x∈［-2，0）∪（0，2］，显然有f（-x）=-f（x），因此函数f（x）是奇函数才对． 易错点4 ：忽视了变量为正值的条件 例4 .求函数y=x+4x（x<0）的最值． 错解：由基本不等式可得x+4x≥2x·4x=4，当且仅当x=4x时，即x=2时取得“=”号. 所以当x=2时，故函数有最小值4． 错因：直接套用基本不等式解题时出错，没有看清条件x<0． 正解：当x<0时， x+4x=--x+4-x，由基本不等式可得-x+4-x≥2（-x）·4-x=4，x+4x=--x+4-x≤-4，当且仅当-x=4-x时，即x=-2时取得“=”号，故函数y=x+4x的最大值为-4． 易错点5：分段函数单调性问题忽视分界点函数值大小关系的比较 例5.已知函数f（x）=x2-2ax，x≥1 ax-1，x<1是 R 上的增函数，则实数a的取值范围是 . 错解：因为函数f（x）=x2-2ax，x≥1 ax-1，x<1是定义在 R 上的增函数，f（x）=（x-a）2-a2，所以a≤1， a>0，解得0 错因：只考虑到各段函数在相应定义域内为增函数，忽视分段函数f（x）在分界点附近函数值大小关系的比较． 正解：因为函数f（x）=x2-2ax，x≥1 ax-1，x<1是定义在 R 上的增函数，f（x）=（x-a）2-a2所以a≤1， a>0， 1-2a≥a-1，解得0 易错点6：误解函数零点的定义致错 例6.函数f（x）=x2+2x-3的零点是 ． 错解：由f（x）=x2+2x-3=0可得x=-3和x=1，所以函数的零点是（-3，0）与（1，0）. 错因：错误的原因是没有正确理解零点的概念，认为零点是一个点的坐标实际上函数的零点是一个实数，也就是函数y=f（x）的图像与轴的交点． 正解： 由f（x）=x2+2x-3=0可得x=-3和x=1，所以函数的零点是-3，1． 易错点7：忽视了函数的定义域而直接根据单调性去掉抽象函数符号f 例7.设函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y）.若f（3）=1，且f（a）>f（a-1）+2，求实数a的取值范围． 错解：f（3×3）=f（3）+f（3）=f（9），所以f（9）=1+1=2. 又f（a）>f（a-1）+2，所以f（a）>f（a-1）+f（9），再由f（xy）=f（x）+f（y），可知f（a）>f［9（a-1）］． 因为f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，所以a>9（a-1），解得a<98. 故所求实数a的取值范围为-∞，98. 错因：漏掉a>0， 9（a-1）>0，而直接利用单调性得出a>9（a-1），导致错误． 正解：f（3×3）=f（3）+f（3）=f（9），所以f（9）=1+1=2. 又f（a）>f（a-1）+2，所以f（a）>f（a-1）+f（9），再由f（xy）=f（x）+f（y），可知f（a）>f［9（a-1）］.因为f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，所以a>0， 9（a-1）>0， a>9（a-1），解得1 易错点8：用错恒成立的条件 例8.已知函数f（x）=x2+ax+3-a，若x∈［-2，2］时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围． 错解一：f（x）≥0恒成立， Δ =a2-4（3-a）≤0恒成立，解得-6≤a≤2； 错解二：f（x）=x2+ax+3-a，若x∈［-2，2］时，f（x）≥0恒成立 f（-2）≥0， f（2）≥0，即（-2）2-2a+3-a≥0， 22+2a+3-a≥0，a≤73， a≥-7，所以-7≤a≤73. 错因：对“二次函数f（x）=ax2+bx+c当x∈R上f（x）≥0恒成立时， Δ ≤0”片面理解为“ax2+bx+c≥0，x∈［-2，2］恒成立时， Δ ≤0”； 或者理解为f（-2）≥0， f（2）≥0，这都是由于函数性质掌握不够全面． 正解：根据函数解析式可得函数的对称轴为x=-a2. ①当x=-a2<-2，即a>4时，f（x） min =f（-2）=7-3a≥0，解得a≤73，与a>4矛盾，此时a不存在． ②当-2≤-a2≤2，即-4≤a≤4时，f（x） min =f-a2=-a24-a+3≥0，解得-6≤a≤2，故-4≤a≤2. ③当x=-a2>2，即a<-4时，f（x） min =f（2）=7+a≥0，解得a≥-7，故-7≤a≤-4. 综上可知a的取值范围是-7≤a≤2． 易错点9：混淆值域为 R 与定义域为 R 的区别 例9.已知y= lg （x2-2mx+m+2）的值域为 R ，则m的取值范围为____． 錯解：设u=x2-2mx+m+2，得到x2-2mx+m+2>0，所以 Δ <0，即 Δ =4m2-4（m+2）<0，解得-1 错因：取正数与取遍所有正数不同，要使u=x2-2mx+m+2取遍所有正数，必须满足 Δ ≥0的条件，而不是 Δ <0的条件． 正解：设u=x2-2mx+m+2，得到x2-2mx+m+2>0，因为y= lg （x2-2mx+m+2）的值域为 R ，所以 Δ ≥0，即 Δ =4m2-4（m+2）≥0，解得m≤-1或m≥2，即m的取值范围为m≤-1或m≥2． 易错点10：利用换元法解题忽视中间变量的取值范围 例10.求函数y=x2+41-2x2的值域． 错解：令t=1-2x2，则x2=1-t22，则y=1-t22+4t=-12t2+4t+12 =-12（t2-8t+16）+8+12=-12（t-4）2+172≤172，所以函数y=x2+41-2x2的值域为-∞，172． 错因：换元后没有写出新元t的取值范围． 正解：令t=1-2x2，则x2=1-t22，由x2≥0，及1-2x2≥0得到0≤x2≤12， 所以0≤t≤1，则y=1-t22+4t=-12t2+4t+12=-12（t2-8t+16）+8+12 =-12（t-4）2+172（0≤t≤1）所以12≤y≤4，函数y=x2+41-2x2的值域为12，4. 易错点11：对幂函数的常数的作用认识不到位 例11.已知幂函数f（x）=（n2+2n-2）xn2-3n（n∈ Z ）的图像关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，则n的值为 ． 错解：因为f（x）为幂函数，所以n2+2n-2=1，解得n=1或n=-3.当n=1时，函数f（x）=x-2为偶函数；当n=-3时，函数f（x）=x18为偶函数.故n的值为1或-3. 错因：上解只注意到了幂函数中自变量前面的系数为1，以及常数α为偶函数的要求，忽略了常数α对幂函数单调性的影响． 正解：因为f（x）为幂函数， 所以n2+2n-2=1，解得n=1或n=-3.当n=1时，函数f（x）=x-2为偶函数，其图像关于y轴对称，且f（x）在（0，+∞）上是减函数，所以n=1满足题意；当n=-3时，函数f（x）=x18为偶函数，其图像关于y轴对称，而f（x）在（0，+∞）上是增函数，所以n=-3不满足题意，舍去. 故n的值为1． 易错点12：对公式未透彻理解而造成错误 例12.某化工厂投入巨资购进了设备，在两年内生产的月增长率都是r，则这两年内第二年3月份的产值比第一年3月份的产值的增长率是多少？ 错解：设第一年3月份的产值为m，则第二年3月份的产值是m（1+r）11，则所求的增长率为m（1+r）11-mm=（1+r）11-1． 错因：对增长率问题的公式y=N（1+p）x未透彻理解而造成错解.实际上若某月的产值为m，则此后第x月的产值为m（1+r）x，指数x是基数所在时间后所跨过的时间间隔数． 正解：设第一年3月份的产值为m，则4月份的产值是m（1+r），5月份的产值是m（1+r）2，以此类推，则第二年3月份是第一年3月份后的第12个月，故第二年3月份的产值是m（1+r）12，则所求的增长率为m（1+r）12-mm=（1+r）12-1． 易错点13：注重特殊点而忽略函数图像的趋势 例13.已知函数的图像如图1所示，则的解析式可以是（ ） A .f（x）= ln |x|x B . f（x）=exx C . f（x）=1x2-1 D . f（x）=x-1x 錯解：由函数图像可知，函数为奇函数，应排除 B，C，D中，且，符合题意，故选D． 错因：错解只通过零点和特殊点就选定了的解析式，而忽略了当时， f（x）的变化趋势，这是在给出函数的图像选择解析式问题中经常犯的错误之一． 正解：由函数图像可知，函数为奇函数，应排除 B，C. 若函数为，则当时， f（x）→∞，这与函数图像的变化趋势不一致，排除 D.故选A ． 易错点14：寻找错临界点出现失误 例14.偶函数满足，且当时， f（x）=-x+1，则关于的方程在上的解的个数是 . 错解：依题意得 ，所以函数是以2为周期的函数.在平面直角坐标系中画出函数的图像与的图像（如图2所示）， 观察图像可知，这两个函数的图像在区间上的公共点共有8个，因此，当时，方程的解的个数是8个． 错因：上面求解时，没有注意当时， y= lg （9+1）= lg 10=1，从而在画图时将上距离较近的两个交点当作了一个交点． 正解：依题意得 f（x+2）= f（x），所以函数 f（x）是以2为周期的函数.在平面直角坐标系中画出函数y= f（x）的图像与y= lg （x+1）的图像（如图3所示）. 观察图像可知，这两个函数的图像在区间 ［0，9］上的公共点共有9个，因此，当时， 方程f（x）= lg （x+1）的解的个数是9个． 易错点15：利用导数求单调区间忽视函数的定义域致错 例15.求 函数y=3x2-2 ln x的单调减区间． 错解：y′=6x-2x，令6x-2x=0，解得x=±33，当x∈（-33，+33）时，y′<0.所以函数y=3x2-2 ln x的单调减区间为（-33，+33）． 错因：忽视函数的定义域致错.由函数y=3x2-2 ln x可知首先应该满足x>0． 正解：求单调区间时应先求函数的定义域，遵循定义域优先的原则.由题意得函数的定义域为（0，+∞），综合上述得函数y=3x2-2 ln x的单调减区间为（0，+33）． 易错点16：误认为满足f ′（x 0）=0时x 0是极值点 例16. f（x）=13x3+mx2-4nx+m2在x=2处的极值为203，求实数m与n的值． 错解：f ′（x）=x2+2mx-4n， 得4+4m-4n=0， 83+4m-8n+m2=203，得m2-4m-12=0，解得m=-2或者m=6，当m=-2时，n=-1；当m=6时，n=7． 所以实数m与n的值为m=-2， n=-1，或m=6， n=7． 错因：考生在解题时常误认为某个点的导数为0是该点为极值点的充要条件，这是一个大误区，实际上某个点的导数为0，只是该点为极值点的必要不充分条件，即可导函数的极值点一定是可导点，但是可导函数的可导点可能是极值点，也可能不是极值点． 正解：满足f ′（x 0）=0时x 0不一定是极值点. 解题过程看起来似乎无问题，却忽略了结论的检查.当m=-2， n=-1，时，f ′（x）=x2-4x+4=（x-2）2，虽然f ′（2）=0，但是x=2处两侧的导数均大于0，所以x=2不是函数的极值点，m=-2， n=-1，应舍去.当m=6， n=7，时，f ′（x）=x2+12x-28=（x-2）（x+14），当-14 n=7． 易错点17：混淆切点与非切点致错 例17.已知函数f（x）=x3-3x，过点M（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求切线方程． 错解：f'（x）=3x2-3，切线的斜率为f ′（0）=-3，所以切线方程为y-16=-3x，即3x+y-16=0. 错因：上述解答正确吗？答案是否定的. 错误原因是把M（0，16）当成切点，实际上M（0，16）不在曲线y=f（x）上.实际上x=0时，y=0，所以M（0，16）不在曲线y=x3-3x上，即M（0，16）在切线方程l上，但是M（0，16）不是l与曲线y=x3-3x的切点，这样再依样画葫芦，盲目照般肯定会出错． 正解：设切点为Q（x 0，y 0），则点Q的坐标满足y 0=x3 0-3x 0，切线的斜率为f'（x 0）=3（x2 0-1），故切线的方程为y-y 0=3（x2 0-1）（x-x 0），点M（0，16）在切线上，有16-（x3 0-3x 0）=3（x2 0-1）（0-x 0），解得x 0=-2.所以，切点为Q（-2，-2），切线方程为 9x-y+16=0 ． 易错点18：将零点等同于极值点，方程的实根个数并不等于的极值点的个数 例18.函数f（x）=x（x-t）2在x=1处取得极小值，求t的值． 错解：f（x）=x（x-t）2=x3-2tx2+t2x，求导函数可得f ′（x）=3x2-4tx+t2，则有f ′（1）=3-4t+t2=0，解得t=1，或t=3，故t的值为1或3． 错因：将零点等同于极值点，方程f ′（x）=0的实根个数并不等于f（x）的极值点的个数，要使零点成为极值点，必须验证在此点两侧导数值异号，函数在此点两侧的单调性相反，求解之后要注意进行检验． 正解：f（x）=x（x-t）2=x3-2tx2+t2x，求导函数可得f ′（x）=3x2-4tx+t2，则有f ′（1）=3-4t+t2=0，解得t=1，或t=3，当t=1，f ′（x）=3x2-4x+1=（3x-1）（x-1），函数f（x）在x=1处取得极小值，符合题意. 当t=3，f ′（x）=3x2-12x+9=3（x-1）（x-3），函數f（x）在x=1处取得极大值，不符合题意. 故t的值为1. 易错点19 ：误认为极值与最值相等 例19.已知函数f（x）=x3-32ax2+b，23 错解：f ′（x）=3x2-3ax=3x（x-a），令f ′（x）=0，得到x 1=0或x 2=a，根据x 1，x 2列表，分析f ′（x）的符号和函数f（x）的单调性： x-1（-1，0）0（0，a）a（a，1）1 f ′（x）3+3a+0-0+3-3a f（x）b-1-32a↗b↘b-32a3↗1-32a+b 从上表可知，f（x）的极大值为f（0）=b，极小值为f（a）=b-a32，所以f（x）的最大值为f（0）=b=1， f（x）的最小值为 f（a）=b-a32=-62，所以，b=1，1-a32=-62，a3=2+6，得到a=32+6，综上可得a=32+6，b=1. 错因：误将极值与最值相等，以为最值即为极值，从而产生错误． 正解：f ′（x）=3x2-3ax=3x（x-a），令f ′（x）=0，得到x 1=0或x 2=a，根据x 1，x 2列表，分析f ′（x）的符号和函数f（x）的单调性. x-1（-1，0）0（0，a）a（a，1）1 f ′（x）3+3a+0-0+3-3a f（x）b-1-32a↗b↘b-32a3↗1-32a+b 从上表可知，f（x）的极大值为f（0）=b，极小值为f（a）=b-a32，因为f（0）>f（a），f（-1） 责任编辑 徐国坚
