有界磁场带电粒子运动临界问题探讨

洪哲新

带电粒子在有界匀强磁场中运动的极值问题是高考的热点和重点，在考察学生物理知识的同时也考察了学生的数学平面几何知识，非常考验学生物理和数学知识综合运用能力. 分析此类问题时应先建立完整的物理模型，根据题目条件寻找正确的運动轨迹，确定运动轨迹后再寻找几何关系，应用数学几何方法和对应的物理规律分析求得最后结果. 下面就三种主要的带电粒子在有界匀强磁场中运动的极值问题展开探讨.

一、平移圆

带电粒子进入磁场时的位置不确定，但是进入磁场的速度大小和方向一定，因此圆周运动轨迹的半径是相同的，圆周运动轨迹形状相同，从不同入射点进入磁场的运动轨迹之间是平移关系. 因此可以通过平移圆周的方法来探求临界情形.

【例1】（2007·四川）如图所示，长方形abcd长ad=0.6 m ，宽ab=0.3 m ，O、e分别是ad、bc的中点，以ad为直径的半圆内有垂直纸面向里的匀强磁场（边界上无磁场），磁感应强B=0.25 T . 一群不计重力、质量m=3×10-7 kg 、电荷量q=+2×10-3 C 的带电粒子以速度v=5×102 m/s 沿垂直ad方向且垂直于磁场射入磁场区域（   ）

A .从Od边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边

B .从aO边射入的粒子，出射点全部分布在ab边

C .从Od边射入的粒子，出射点分布在Oa边和ab边

D .从aO边射入的粒子，出射点分布在ab边和bc边

【解析】因为“速度v=5×102 m/s 沿垂直ad方向”，入射速度大小和方向都已确定，所以所有粒子轨迹圆大小相同，入射速度方向也相同，符合“平移圆”的解题特征. 先代入数据算出轨迹半径r=mvqB=0.3 m  （恰好与长方形宽相等），所以从d点入射的粒子，若一直做圆周运动，则恰好从e点出射，将此轨迹向上平移可得其他粒子的轨迹，如图2所示，需注意粒子出磁场后沿轨迹切线做匀速直线运动. 由图2可知，若从O点射入的粒子出磁场后还做圆周运动，则将恰好从b点出射（虚线轨迹），而实际情况是粒子离开磁场边界ae后会沿切线做直线运动（实线轨迹），所以从Od边射入的粒子出射点全部分布在bc边，准确来说是bc边的上半段be部分，所以 A、C 项错；而从aO边入射的粒子，根据轨迹分布，出射点在ab边和bc边（be部分）， B 项错， D 项对.

【答案】 D

【例2】（2017·江苏）一台质谱仪的工作原理如图3所示. 大量的甲、乙两种离子飘入电压为U 0的加速电场，其初速度几乎为0，经过加速后，通过宽为L的狭缝MN沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，最后打到照相底片上. 已知甲、乙两种离子的电荷量均为+q，质量分别为2m和m，图中虚线为经过狭缝左、右边界M、N的甲种离子的运动轨迹，不考虑离子间的相互作用.

（1）求甲种离子打在底片上的位置到N点的最小距离x;

（2）在图中用斜线标出磁场中甲种离子经过的区域，并求该区域最窄处的宽度d;

（3）若考虑加速电压有波动，在（U 0-△U）到（U 0+△U）之间变化，要使甲、乙两种离子在底片上没有重叠，求狭缝宽度L满足的条件.

【解析】（1）由动能定理qU 0=12×2mv2可以求出甲种离子在电场加速的末速度，又qvB=2mv2r 1，解得圆周运动轨迹半径r 1=2BmU 0q，当甲种离子从入射口最左边M点入射，则打在底片上的位置到N点距离最近，具体为x=2r 1－L，解得x=4BmU 0q－L .

（2）将从M点进人的甲种离子的运动轨迹（半圆）向右平移L，则该半圆扫过的区域即为甲种离子经过的区域. 最窄宽度出现在图形的对称线处，如图4中的a图所示. 接下来寻找几何关系，因为图形是平移得来的，那平移了多少？图a中轨迹①向右平移12L得到轨迹②，所以圆心同样也平移了12L，即图中O 1O 2=12L，注意最窄宽度的最低点在轨迹①上，这时将最低点与①的圆心O 1相连，便可得到半径r 1，则可得d=r 1－r2 1－（L2）2，代入r 1=2BmU 0q，得d=2BmU 0q－4mU 0qB2－L24.

（3）甲、乙的质量分别为2m和m，则由（1）中r 1=2BmU 0q可知，若加速电场电压相同，则乙种离子的轨迹半径小于甲，所以从同一点入射时甲打在底片上的位置更靠右. 当电压在（U 0－ΔU）到（U 0+ΔU）之间变化时，r 1、r 2也对应变化，则甲和乙在底片上各打中一块区域，要使两区域无重叠，需使乙能打中的最右点（从N点入射且半径最大）不超过甲能打中的最左点（从M点入射且半径最小），如图4中的b图所示，即2r 2 max +L<2r 1 min ，L<2（r 1 min －r 2 max ）. 当电压最大时r 2取得最大值r 2 max =2Bm2（U 0+ΔU）q，当电压最小时r 1取得最小值r 1 min =2Bm（U 0－ΔU）q，代入整理得，狭缝宽度L满足的条件为L<2Bmq［2（U 0－ΔU）－2（U 0+ΔU）］.

【答案】（1） x=4BmU 0q－L

（2）d=2BmU 0q－4mU 0qB2－L24

（3）L<2Bmq［2（U 0－ΔU）－2（U 0+ΔU）］

方法总结：当临界问题呈现出固定半径的圆周轨迹时，一般都通过移动圆的方法来探求解题思路，类似于上述例题，粒子的入射方向一致，就可以通过平移圆的方法进行操作.

二、放缩圆

带电粒子进入磁场时的速度方向确定，速度大小不定，因此带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度大小的变化而变化，所画出的轨迹圆也就可大可小，但圆心都在同一直线上，实际问题处理时，可以结合半径可能的变化对轨迹圆进行放大或缩小，从而寻找轨迹圆于磁场边界相切的情况，由此则可以发现临界点.

【例3】（2019·北京）如图5所示，正方形区域内存在垂直纸面的匀强磁场. 一带电粒子垂直磁场边界从a点射入，从b点射出. 下列说法正确的是（  ）

A.粒子带正电

B. 粒子在b点速率大于在a点速率

C .若仅减小磁感应强度，则粒子可能从b点右侧射出

D .若仅减小入射速率，则粒子在磁场中运动时间变短

【解析】由题可知，粒子向下偏转（如图6轨迹①），根据左手定则可判断粒子带负电， A 项错；洛伦兹力总是垂直于速度，所以不做功，粒子动能不变，粒子在b点速率与在a点速率相等， B 项错；入射速度方向一致，则轨迹的圆心均在图中a点正下方，由半径r=mvqB可知（由图6中可得不同半径的圆周轨迹特点），若仅减小磁感应强度，半径增大，作出运动轨迹，出射点应在b点右侧（如图6轨迹②）， C 项对；若仅减小入射速率，半径减小，则粒子运动的偏转角增大，运动时间变长（t=θ2 π T），如图6轨迹③， D 项错.

【答案】 C

【例4】（2020·全国Ⅲ卷）真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图7所示. 一速率为v的电子从圆心沿半径方向进人磁场. 已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力. 为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为（  ）

A ．3mv2ae

B . mvae

C . 3mv4ae

D . 3mv5ae

【解析】由eBv=mv2r，得B=mver，欲求B的最小值，即求轨迹半径的最大值. 由于“电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内”，将轨迹圆逐渐放大，当轨迹与外边界相切时，轨迹圆半径最大，此时所对应磁感应强度最小，如图8所示.

图中O′点为电子做圆周运动的圆心，则OO′=3a－r  m （两圆内切性质：圆心距=半径之差），电子从圆心沿半径方向进入磁场，所以OA⊥AO′，在 Rt Δ O AO′中，由勾股定理有（3a－r  m ）2=a2+r2  m ，解得r  m =43a，代入B=mver，得B=3mv4ea.

【答案】 C

方法总结：当带电粒子的入射位置以及入射方向都已经确定时，解题时可将入射点作为定点，过入射点垂直于速度方向上作出圆的半径方向，将圆的半径放大或缩小，作出不同的运动轨迹，找出符合题目要求的临界条件.

三、旋转圆

当带电粒子进入磁场的位置确定但是入射方向不确定，因为磁感应强度、带电粒子的质量和速度也已经确定，所以圆周运动的半径就是定值. 但是由于入射方向不同，导致所作出的轨迹圆如同绕着入射点位置进行旋转，这也是其运动轨迹不确定性原因所在. 在分析此类问题，应学生认识到两个“一定”：一是入射点一定在运动轨迹上；二是轨迹圆的半径保持一定. 在此基础上，可以通过旋转轨迹圆的方法来探究轨迹与磁场边界相切的情形，进而明确临界点的位置.

【例5】（2021·海南）（多选）如图9，在平面直角坐标系xOy的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B. 大量质量为m、电量为q的相同粒子从y轴上的P（0，3L）点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为α（0≤α≤180°）. 当a=150°时，粒子垂直x轴离开磁场. 不计粒子的重力. 则（  ）

A .粒子一定带正电

B .当a=45°时，粒子也垂直x轴离开磁场

C .粒子入射速率为23qBLm

D .粒子离开磁场的位置到O点的最大距离为35L

【解析】“当a=150°时，粒子垂直x轴离开磁场”，可由左手定则判断粒子带正电， A 项对；此时粒子运动轨迹如图10中a图所示，由几何关系得r=OP cos 60°=3L cos 60°=23L，又qvB=mv2r，得v=23qBLm， C 项对；由于粒子都“以相同的速率”进入磁场，所以半径大小都为r=23L，则a=45°时，作入射速度的垂线，取O 2P=r，则O 2为轨迹圆心，如图b，显然O 2不在x轴上（若在x轴上，则r=2·OP），所以粒子运动到x轴上时，半径不沿y轴方向，则速度不垂直于x轴， B 项错；粒子离开磁场的位置到O点有最大距离时，入射点P与出射点（设为Q点）的连线也最长，而入射点与出射点的连线为轨迹圆的一条弦，而直径为圆的最长弦，所以PQ=2r，由勾股定理得OQ=PQ2－OP2=（43L）2－（3L）2=35L， D 项对.

【答案】 ACD

【例6】（2017·全国Ⅱ卷）如图11，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点，大量相同的帶电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同的方向射入磁场，若粒子射入的速度为v 1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速度为v 2，相应的出射点分布在三分之一圆周上，不计重力及带电粒子之间的相互作用，则v 1： v 2为（  ）

A．3：2

B. 2：1

C. 3：1

D.  3：2

【解析】不妨假定粒子进入磁场后沿逆时针方向偏转，则恰沿图a中箭头所示方向人射的粒子的轨迹为最靠下的轨迹，将该轨迹绕P点逆时针旋转180°，观察可得，粒子将从图中PQ′范围出射，其中PQ和PQ′均为轨迹圆的直径，可总结出规律：粒子在磁场边界上的出射点距P点的最远距离为轨迹圆直径（熟练掌握后可直接运用：最长弦为直径，而入射点和出射点连线就是一条弦，所以出射点可能的最远距离为直径）.

“当粒子射入的速度为v 1，粒子的出射点分布在磁场的六分之一圆周上”，即PQ′为六分之一圆周，所以图a中∠POQ′=60°，PQ′=OP（Q与O重合），即2r 1=R，r 1=12R;“当粒子射入速度为v 2，相应的出射点分布在三分之一圆周上”如图b，即∠POQ″=120°，则PQ″=3OP，即2r 2=3R，r 2=32R. 由r=mvqB∝v可知v 2：v 1=r 2：r 1=3：1.

【答案】 C

方法总结：当题目信息蕴含有带电粒子有一个确定的入射点以及相对固定的半径，但入射方向的不确定带来运动轨迹的多种可能性时，可以尝试通过旋转圆的方法来寻找临界轨迹. 在平时的做题训练时可以用瓶盖或者硬币，绕草稿纸上固定位置进行旋转，观察动态的轨迹圆找寻解题灵感，这样有利于形成正确的认识.

综上所述，在复习带电粒子在有界磁场运动中的临界问题时，在寻找临界轨迹的过程中，教师要培养学生题目信息分析能力，提取关键信息将磁场临界问题进行分类，是属于三类典型问题中哪一类，在对圆轨迹进行平移、放大缩小还是旋转，是控制圆心或是半径不变，而且，三类典型题复习后进行归纳时，引导学生自主总结出解题思路：粒子作圆周运动时和有界磁场边缘相切的轨迹往往是临界轨迹.

责任编辑  李平安