2 隐显Euler 方法的稳定性分析
为了分析隐显Euler 方法的稳定性,我们引入问题(1)的扰动问题
定理1 假设问题(1)属于问题类D(α1,α2,β1,β2,µ1,µ2),设yn和zn是隐显Euler 方法求解问题(1)及其扰动问题(12)得到的数值解序列,则有
由此完成定理1 的证明。
定理2 假设问题(1)属于问题类D(α1,α2,β1,β2,µ1,µ2),设yn和zn是隐显Euler 方法求解问题(1)及其扰动问题(12)得到的数值解序列,记
由此我们很容易获得以下定理。
定理3 假设问题(1)属于问题类D(α1,α2,β1,β2,µ1,µ2),设yn和zn是隐显Euler 方法求解问题(1)及其扰动问题(12)得到的数值解序列,且α1+α2+2(β1+β2)<0,则有
3 隐显Euler 方法的渐近稳定性分析
在本节,我们将给出隐显Euler 方法的渐近稳定性结果。
这里ξk=tnk,ξ0=t0=a,n0= 0。由于hn ≤µ(0)1,对于nk ≤n ≤nk+1-1,根据定理1,我们有
且满足0< ˜Cµ<1。因此,类似定理4 的证明,我们很容易获得以下定理。
定理5 假设问题(1)属于问题类¯D(α1,α2,β1,β2,µ1,µ2),设yn和zn是隐显Euler 方法求解问题(1)及其扰动问题(12)得到的数值解序列,且˜h=infn≥0{hn}>0,当
4 数值试验
例1 考虑如下非线性刚性初值问题
故由定理3 和定理5 知,问题(44)在区间[0,10]和[0,+∞)分别是稳定的和渐近稳定的。
我们将用隐显Euler 方法(9)和(10)以及全隐Euler 方法[17]
分别表示数值解yn与真解y(tn) 的误差和计算阶,E(h) :=//yn-zn//1表示问题(1)和扰动问题(12)的误差。
取h= 0.01,将方法(9)和(10)以及全隐Euler 方法(45)分别应用于问题(44),其数值解如图1 和图2 所示。从图1 和图2 可以看出,方法(9)和(10)与全隐Euler 方法(45)图形基本一致。
图2 全隐Euler 方法(45)
取h=1/N(N=400,800,1 600,3 200),将方法(9)和(10)以及全隐Euler 方法(45)分别应用于问题(44),结果见表1。从表1 可以看出,方法(9)和(10)与全隐Euler 方法(45)在同一步长下,其误差相当,且都是1 阶收敛。而方法(9)和(10)的CPU 时间低于全隐Euler 方法(45),从而说明方法(9)和(10)较方法(45)能够降低计算成本。
表1 当t=10 时,方法(9)和(10)以及方法(45)求解问题(44)的误差
给出问题(44)的扰动值
取h=0.01,其误差E(h)如图3 所示。从图3 可以看出,方法(9)和(10)是渐近稳定的,从而说明本文所给结论的正确性。
图3 h=0.01,问题(44)的误差E(h)
5 结论
在本文,针对Banach 空间中复合刚性Volterra 泛函微分方程,将隐式Euler 用于问题刚性部分的求解,显式Euler 用于非刚性部分的求解,得到了求解问题的隐显Euler 方法。给出了方法的稳定性及渐近稳定性条件,最后的数值试验结果显示隐显Euler 方法(9)和(10)比全隐式Euler 方法(44)能够大幅度提高计算效率,从而表明隐显方法求解复合刚性问题时,有较好的稳定性和较高的计算效率。