公式延续，思维拓展

1 教材分析

“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”是高中数学新教材（人教A版）必修第一册5.5.1的第2课时，是在第1课时“两角差的余弦公式”基础上的延续与拓展，也为后续三角恒等变换公式体系奠定基础.

2 学情分析

学生在前面已经学习了诱导公式、两角差的余弦公式等，初步具备了

三角函数式中“变角”与“变名”思维，这都为本节课研究两角和与差的正弦、余弦、正切公式提供了知识、方法和思想上的准备.

3 教学目标

（1）以两角差的余弦公式作为基础，自主发现推导两角和与差的正弦.余弦、正切公式，并理解这些公式之间的内在联系.

（2）通过例题的训练，加深对公式的理解和应用.

4 重点、难点

（1）教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导及其应用.

（2）教学难点：灵活运用公式进行三角函数式的化简、求值等.

5 教学过程

（1）复习回顾，问题引入

问题1上一节课我们学习了两角差的余弦公式C（α－β），你能说出这个公式以及它的推导过程吗？

利用圆的旋转不变性来推导的，具体步骤如下：第一步，在坐标系中画出角度α，β，α－β与单位圆，并标出终边与单位圆的交点；第二步，根据三角函数的定义写出各点的坐标；第三步，利用圆的旋转不变性得到等量关系；第四步，代入化简得到公式.

问题2除了公式C（α－β）外，你还能提出一些新的研究问题吗？你打算如何研究这些问题？

师生活动：教师引导学生提出新的研究问题，学生思考研究新问题的方法.

引导语：对于其他几个公式，也可以利用单位圆来研究.不过，本书不采用这这种研究方法，而是利用公式C（α－β）来推导其他公式.数学上把这种将新问题转化成已经解决的问题的方法叫作化归与转化的思想方法.

设计意图：通过问题1帮助学生回顾利用圆的旋转不变性推导两角差的余弦公式的过程，

明确研究公式C（α－β）的方法.

（2）公式探究，发现问题

问题3你能利用公式C（α－β）推导出两角和的余弦公式吗？

师生活动：先让学生独立思考，然后请学生回答推导思路，鼓励学生用多种方法解决.

方案一：注意到α+β与α－β之间的关系，即α+β=α－（－β），再由公式C（α－β）推导；

方案二：可以利用换元的观点来推导，用“－β”替换公式C（α－β）中的“β”也能获得公式cos（α+β）=cos αcos β－sin αsin β.

设计意图：从加减法的关系和整体代换的方法体现了数学中的化归与转化以及换元的数学思想方法.

（3）深入拓展，公式推导

问题4由C（α+β）能推导出sin（α+β）的公式吗？

师生活动：学生独立思考后，教师可以根据学生的反应追问下列问题.

思考1如何建立正弦与余弦值之间的关系呢？

预设答案：利用诱导公式五（或六），即可实现正弦、余弦之间的相互转化.

思考2如何得到sin（α+β）的公式呢？

预设答案：sin（α+β）=cosπ2－（α+β）〗=cos π2－α－β〗=cosπ2－αcos β+sinπ2－α＼5sin β=sin αcos β+cos αsin β.

设计意图：利用两角和的余弦公式和诱导公式推导两角和的正弦公式.

问题5如何得到sin（α－β）的公式呢？

师生活动：学生独立完成，教师邀请学生展示和点评.

预设答案：用“－β”来替换sin（α+β）中的“β”，则有sin（α－β）=sin αcos（－β）+cos αsin（－β）=sin αcos β－cos αsin β.

引导语：把以上两角和的正弦公式和两角差的正弦公式分别记为S（α+β）和S（α－β）.

设计意图：通过整体化思维，以及化归与转化思想，利用两角和的正弦公式来推导两角差的正弦公式.

问题6已知任意角α，β的正切，你能推导出tan（α+β）和tan（α－β）吗？

师生活动：学生独立完成，教师邀请学生展示和点评.

预设答案：由正切与正弦、余弦的关系，可知

tan（α+β）=sin（α+β）cos（α+β）=sin αcos β+cos αsin βcos αcos β－sin αsin β，分子、分母同时除以cos αcos β，整理得tan（α+β）=tan α+tan β1－tan αtan β.

同理tan（α－β）=tan α－tan β1+tan αtan β.

引导语：把以上两角和的正切公式和两角差的正切公式分别记为T（α+β）和T（α－β）.

设计意图：利用正弦、余弦、正切之间的关系推导两角和与差的正切公式.

问题7和（差）角公式和我们以前学习的诱导公式之间有什么关系吗？请用图示说明.

师生活动：学生独立思考后，和同学交流自己的想法，教师展示图示，揭示它们之间的内在联系.

诱导公式是和（差）角公式的特殊情况，如用S（α－β）推导诱导公式如图1所示.

设计意图：比较和（差）角公式和诱导公式的异同，构建知识间的内在联系，加深对公式的理解.

（4）公式应用，熟练掌握

例1已知sin α=－35，α是第四象限的角，求sinπ4－α，cosπ4+α，tanα－π4的值.

思考1：你打算如何求解？请说说你的思维过程.

思考2：如果去掉“α是第四象限的角”这个条件，结果和求解过程会有什么变化？

思考3：在以上解答中我们可以看到，在本题条件下，

sinπ4－α=cosπ4+α，那么对于任意角α，上式还成立吗？你能想到几种方法来证明？

预设答案：

方案一：等式左右两边均使用和差公式展开.

方案二：寻找π4－α与π4+α之间的内在联系，再结合诱导公式来转化与处理，即sinπ4－α=sinπ2－π4+α〗=cosπ4+α.

例2利用和（差）角公式计算下列各式的值：

①sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°；

②cos 20°cos 70°－sin 20°sin 70°；

③1+tan 15°1－tan 15°.

思考4：从例1和例2可以看出和（差）角公式有什么作用？

（预设答案：求值或化简.）

设计意图：例1步步递进，逐层深入，充分展示数学思维的发散性；例2强化公式的理解和应用，规范解题格式，训练有序思维和逆向思维.

（5）系统归纳，总结提升

问题8你能用图式来回顾本节课5个和（差）角公式的推导过程吗？

师生活动：学生独立完成（如图2）后与同学交流.

问题9在和（差）角公式的推导过程中用到了什么数学思想方法？

预设答案：化归与转化的思想

整体代换的思想等.

设计意图：用框图回顾推导过程，建立知识之间的内在联系，归纳总结本节课的数学思想方法等.

6 教学反思

（1）公式延续，深入应用

本节课以两角差的余弦公式为基础，利用角的变换和函数名之间的转换，将要推导的公式转化为熟悉的公式来解决.整个推导过程不但能够培养学生逻辑推理数学素养，还能让学生领悟知识之间的内在联系，初步体会三角恒等变换的特点以及转化与化归思想在数学研究中的应用价值.

（2）关注应用，能力提升

我们应该改变以往公式教学中“轻过程、重应用”的方式，在关注公式的理解和应用的同时，更应该让学生全程参与到公式的发现和推导中来，因为推导过程所承载的数学育人功能是不可能只通过“公式的应用”来实现的；还可以鼓励学生课后选择一个公式作为基础，采用不同的研究路径重新研究这一过程，再一次经历解决问题的过程.