探寻有效教学路径，深度建构乘法模型

摘 要：自《义务教育数学课程标准（2022年版）》颁布以来，小学数学教学新理念引发了教师们对教学的新思考，教师们越来越关注学生学习力和素养的发展，核心素养被提上了新高度.这样的发展趋势要求教师在小学数学教学中不断探寻数学教学“有效路径”，以“常见数量关系：路程=速度×时间”创新设计为例，以有效理解“速度”概念为支点，尝试根据课标“模型意识”的内涵要求，设计深度建构乘法模型的有效路径.

关键词：有效教学；数量关系；乘法模型；模型意识

“有效教学”是指教师通过设计符合规律性的教学过程，成功引起、维持和促进学生的学习，相对有效地达到预期教学效果.针对“常见数量关系”，如何根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“课标”）对于“数量关系”领域 “模型意识”的新理念，设计深度建构乘法模型的有效路径.［1］

1 课前思考

课标中明确提出“模型意识”主要指对数学模型普适性的初步感悟.“常见的数量关系”是课标提出“数与代数”领域“数量关系”主题的重要内容，“数量关系”是指符号（包括数）

或含有符号的式子表达数量之间的关系或规律.现有的教材中 “常见的数量关系”直接给出速度，对于学生而言，缺乏对速度的感性认识，数量关系的抽象概括也处于模仿记忆的层面，容易忽略建立模型过程，不利于学生核心素养的发展.笔者尝试对小学数学课程内容进行创编，借助真实情境，引导学生有效理解“速度”的含义，探索和发现基本数量关系——路程=速度×时间，应用乘法模型解决简单的实际问题，具体教学目标如下：①在真实的情境中理解速度的意义，探索和发现常见的数量关系“路程=速度×时间”，能利用数量关系解决简单的实际问题；②经历发现和提出问题、分析和解决问题的过程，感悟乘法模型“路程=速度×时间”可以解决生活中的一类问题，发展模型意识；③能有理有据地表达自己的想法，体会数学与生活之间的密切联系，感悟常见数量关系的作用和价值，感受国家交通、科技的飞速发展，增强民族自信心.

2 教学实践

2.1 创设真情境，有效理解“速度”概念

2.1.1 感知与速度相关的要素

师：如图1，老师班里有3个小朋友，都住在尚湖边上，星期六他们从家出发，约定在龙舟基地集合，一起去健身.他们3个人中，谁走得最快？

生1：小明走得快，他用的时间最少.

生2：我觉得不一定，还要看路程的远近.

师：比谁走得快，不光要看时间，还要看他们家离龙舟基地的远近，就是路程.3个小朋友从家到龙舟基地的路程和时间见表1.

2.1.2 比较辨析“速度”的意义

师：看着表结合图，你能比比谁走得快吗？

生1：小红和小芳直接比，用的时间相同，都是6分钟，小红比小芳走的路程长，小红比小芳走得快.

师：时间相同，比路程，谁快？小红快！

生2：小芳和小明直接比，他们的路程相同，都是300米，小明用的时间短，小明比小芳走得快.

师：路程相同，比时间，小明快.时间相同，比路程，小红快；因此小芳最慢！那小红和小明呢，谁快？他们走的路程不同，时间也不同，怎么比呢？

生：算出他们每分钟走的米数.

小红：420÷6=70（米）.

小明：300÷5=60（米）.70＞60，小红最快，小明第二.

师：420除以6是什么意思？

生：420÷6表示420米平均分成6份，求出每份70米.

师：结合图2来看，把420米平均分成6份，算出每份是70米，也就是小红1分钟走70米.

……

师：通过计算每分钟走的米数来比，同样小芳是最慢的.看来比每分钟走的路程，就能解决谁走得快的数学问题.

2.1.3 联系生活感悟“速度”的本质

师：常熟尚湖举行环湖自行车赛，图3是1号选手和2号选手的骑行记录仪.根据上述信息，你能比比谁骑得快吗？

生：2号选手骑得快.

师：你是怎么思考的？

生1：1号28千米每时，2号30千米每时.

生2： 2号快，1号选手每小时骑行28千米，2号选手每小时骑行30千米.

师：像这样每分钟走的米数，每小时骑的千米数，就是我们要学习的速度.比谁走得快，谁骑得快，都是比他们的速度.速度既与路程有关，又与时间有关，速度的单位我们一般写成米/分或千米/时等.

师：图3里还藏着一个速度，是尚湖环湖路上的限速标志，你知道表示什么意思吗？

生：行驶速度不能超过40千米/时.

师： 40千米每时也是一个速度.在环湖跑道上要遵守交通规则，行车速度不能超过40千米/时.速度在生活中十分常见.你能选择合适的单位填一填吗？

师：同学们对速度的感觉越来越好了，像70米/分，25千米/时，10米/秒都是速度，你能用自己的话说说什么是速度吗？

生1：物体一段时间里移动的路程.

生2：物体每分钟、每秒移动的距离.

师：像这样，每秒、每分、每时，一个单位时间内行驶的路程叫做速度.速度不仅跟路程有关，而且跟时间有关.

【设计意图】“有效教学”理论指出，教师教学分析所学知识，要与学生的生活实践以及个体经验之间相关联.创设“谁走得快”的真情境，聚焦决定速度的要素：路程和时间.根据表格整理信息，从中比较：同时间比路程、同路程比时间；路程、时间都不同，计算出每分钟走的米数再比，从除法意义理解将路程平均分成若干份，求出每份多少米，即每分钟走的米数.借助几何直观理解“平均分”的含义，学生初步感悟速度的意义，理解速度单位的复合性.在限速标志、苏炳添跑步速度等速度中丰富对速度的体验，加深对速度概念的理解，在求同中概括本质，即一个单位时间内行驶的路程.

2.2 解决真问题，提炼“乘法模型”

师：刚才认识了速度，带着这些经验，回到步道健身问题.如图4，按3个小朋友从家到龙舟基地的速度，走8分钟他们各走多少米？你会解决吗？

生：70×8=560（米），50×8=400（米），60×8=480（米）.

师：你是怎么想的？

生：用小红每分钟走的70米×8分钟，即可求出她8分钟走的米数.

师：结合图来看，小红1分钟走的路程是70米，走了8分钟，一共走了多少米，就是求8个70米是多少米，用乘法计算.那小芳呢？小明呢？

师：请你用数学眼光来观察，不一样的算式背后，有没有相同的数量关系呢？

生：都用了路程=速度×时间的数量关系.

师：骑行记录仪上1号选手（28千米/时）和2号选手（30千米/时）的骑行速度，请你补充1个条件，提出求路程的数学问题.

生1：①1号选手骑行速度是28千米/时，他骑2时一共行驶了多少千米？28×2=56（千米）.

②2号选手骑行速度是30千米/时，他骑2时一共行驶了多少千米？30×2=60（千米）.

生2：①1号选手骑行速度是28千米/时，骑9时一共行驶了多少千米？9×28=252（千米）.

②2号选手骑行速度是30千米/时，骑5时一共行驶了多少千米？5×30=150（千米）.

师：怎么列式解答？你是怎么想的？

生1：我用1号选手的速度×时间=骑行的路程，2号选手也是这样.

生2：……

师：这两位同学提出4个不同的问题，列出4个不同的乘法算式，但在解决这4个问题时，都用了哪个数量关系？

生：速度×时间=路程.

【设计意图】“有效教学”理论与方法在目标内涵方面，依据学习层次划分为“模仿、独立操作、迁移”，能将一种技能迁移到新的生活情境中，是技能教学目标达成的标志.从解决健身步道的问题，再自主补充条件求路程，对不同数学问题和乘法算式的比较，引导学生发现蕴含着相同的数量关系，抽象出路程数量关系为路程=速度×时间.学生能根据已知的速度求不同的路程问题，感悟在一类问题中“路程=速度×时间”乘法模型的普适性.

2.3 应用“乘法模型”，联想除法数量关系

师：科技发展迅速，出门使用北斗导航系统，记录行驶足迹.图5是导航记录老师从常熟到南京出行驶轨迹，这有刚才学过的知识吗？

生：导航里程240千米是路程，驾驶时长是时间3小时，平均速度是80千米/时.

生：这有路程、速度和时间，路程=速度×时间.

师：图6是去上海的行驶记录，有哪些数学信息？可以提出什么问题呢？

生：路程是120千米，时间是2小时，速度是多少千米/时？

师：你会列算式吗？你是怎么思考的？

生：120÷2=60（千米/时）.

师：同学们真了不起！不仅根据已知条件提出问题，还根据路程、速度、时间之间的关系联想到了第二个数量关系：速度=路程÷时间.

师：继续来看，图7是去杭州的足迹记录，你能提出什么问题呢？

生：路程210千米，速度70千米/时，时间是多少小时？

师：你会解决吗？你又想到了哪个数量关系呢？

生：210÷70=3（小时），用路程÷速度=时间.

师：真会思考！联想到时间=路程÷速度.

师：学习数学要善于联想，在解决自己提出的问题，由这个数量关系，联想到另外的数量关系为速度=路程÷时间、时间=路程÷速度.因此，路程、速度、时间这三个数量，只要知道其中两个量，就可以求出第三个量.

【设计意图】 课标中强调“模型意识”能够促使学生认识到现实生活中大量的实际问题都与数学有关，有意识地用数学的概念与方法予以解释.根据导航数据信息，学生自主提出问题，解决问题联想“速度=路程÷时间，时间=路程÷速度”两个除法数量关系.在应用这三个数量关系解决问题的过程中，深化对这三个数量之间关系的理解.

3 教后反思

“常见数量关系：路程=速度×时间”创新设计，贴近学生的真情境，引导学生理解速度的含义，丰富对速度概念的理解，解决问题中发现常见数量关系，自主提出不同的问题进一步体会“模型”的价值，由乘法模型联想除法数量关系，应用数量关系解决实际问题，形成模型意识和应用意识.

3.1 真情境感悟“速度”本质

课标要求学生在具体情境中，认识常见数量关系：路程=速度×时间，能利用这一数量关系解决简单的实际问题.［1］只记住这个数量关系并不难，更重要的是对数量关系的理解，对“速度”概念的建立变得至关重要.师生从现实情境中讨论“谁走得快”，发现速度有路程和时间这两个决定因素.利用三个小朋友从家到龙舟公园的生活场景，基于学生的真实的生活经验，让学生感受到数学来源于生活，比较谁走得快，展开讨论.同样时间，比路程，路程越长的越快；同样路程，比时间，时间越短的越快；时间不同、路程不同，需要比每分钟走的米数（速度），就是把路程平均分成若干份，求出每份的米数.由两个层次的比较，借助几何直观让抽象的速度可视化，学生在感知的基础上理解，结合生活中的众多例子感悟“速度”的本质——单位时间内行驶的路程.

3.2 真问题提炼“乘法”模型

课标在“教学提示”中明确，设计合适的问题情境，引导学生分析和表达情境中的数量关系，启发学生会用数学的语言表达现实世界，形成初步的模型意识，提升问题解决能力.在理解“速度”的概念后，创设“3名小朋友在健身步道上以原来的速度走8分钟，各走了多少米？”的问题情境，学生独立思考，交流计算结果所表示的实际意义，发现基本数量关系为路程=速度×时间.引导学生补充条件，提出不同求路程的实际问题，学生自主提问列式解答，对不同问题、不同乘法算式比较，发现都根据乘法模型来解决，运用这一模型解决一类问题，体会模型的价值.

3.3 真生活发展“模型”意识

随着科技的发展，聚焦北斗导航系统回归生活，寻找这一乘法模型，再解决出行轨迹问题，已知路程、速度，提出求时间的问题，联想速度=路程÷时间；已知路程、时间，提出求速度的问题，联想时间=路程÷速度，感悟常见的数量关系在生活中无处不在.在解决问题中应用概念，沟通联系，拓展数量关系，形成结构，让学生体会数学与生活的紧密联系，形成初步的模型意识和应用意识.

参考文献

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022．

［2］史宁中.学科核心素养的培养与教学——以数学学科核心素养的培养为例［J］.中小学管理，2017（1）：35-37．

［3］朱立明.从“核心概念”到“核心素养”——2011年版与2022年版《义务教育数学课程标准》比较研究［J］.天津师范大学学报（基础教育版），2022，23（3）：1-6．