流动介质中板状结构辐射声功率研究

摘要：由对流波动方程和欧拉方程，本文推导了流动介质中区分传播波和倏逝波的辐射椭圆方程及板状结构辐射声功率计算公式。基于该公式，通过提取辐射椭圆内的传播波波数对应的表面法向振速波数域频谱，可实现流动介质中板状结构辐射声功率的计算。基于辐射椭圆方程，明确了介质流动对板状结构辐射声功率产生影响的机理。最后，以简支板为对象，通过数值仿真对比了不同流速下的辐射声功率，结果表明了考虑介质流动影响的必要性及其对声功率的影响规律。

关键词：声功率；流动介质；辐射椭圆；波数域

中图分类号：TB532 文献标志码：A 文章编号：1001-2443（2024）03-0224-06

板状结构在工程实际中应用十分广泛，是各类建筑外饰面和交通工具壳体的重要组成部分，也是这些结构辐射噪声的主要贡献来源［1-3］。因此，多年以来，国内外学者持续对板状结构的声辐射问题进行深入研究。Williams等［5-7］采用FFT实现了基于Rayleigh积分的板结构声辐射计算，并引入级数展开，推导了板结构辐射声功率。Leppington［8-9］推导了简支板的声辐射效率准确公式，并针对不同的波数区域给出了渐近表达式，之后又研究了约束性边界条件下板的声辐射问题，将相关理论拓展到更加实际的工况。通过引入弹性常数等效边界条件，Berry等［10］推导了任意边界条件下的矩形板声辐射计算公式。Snyder等［11］采用类似文献［6］的级数展开方法，建立了通过模态辐射效率计算辐射声功率的方法。Li等［12］推导了简支板模态自辐射和互辐射阻抗计算方法，并通过坐标变换提升了计算效率。Atalla等［13］采用边界积分方程计算辐射声场，并结合板的振动模态，建立了无障板和一般弹性边界条件下的矩形板声辐射计算方法。Oppenheimer［14］给出了低于临界频率的声辐射效率近似公式，并通过实验进行了验证。Laulagnet［15］采用双层势积分计算声场，建立了无障板条件下的矩形简支板的声辐射计算方法，基于该方法进一步分析了障板对声辐射的影响。Xie等［16］基于远场声强和模态叠加深入分析了点激励矩形板的声辐射效率问题，并提出了平均辐射效率的概念。Davy［17］研究了声波激励下的平板强迫振动声辐射问题，并给出了简洁的解析近似公式。Putra等［18］详细总结了前述研究，并探讨了有障板和无障板等情况下的声辐射效率计算公式的适用范围和局限性。

在国内，朱理等［19］分析了一般边界条件下矩形薄板的振动声辐射特性，其中结构声辐射采用的离散数值方法计算得到。朱拥勇等［20］对比了简支矩形板在空气与水中的声功率和辐射效率等声辐射特性。刘宝等［21-22］采用混合层势代替双层势，建立了无障薄板的声辐射计算方法，并分析了板厚对无障薄板声辐射特性的影响以及障板对平板声辐射特性的影响。

由上述研究现状可以看到，经过多年的研究，板状结构的声辐射问题的理论研究已经取得了较大的进展，而且除了上述理论研究外，还逐渐发展了用于板状结构声辐射分析的有限元、边界元和统计能量分析等数值计算方法。但是，不管是在解析方法，还是在数值计算方法的研究中，对与板状结构相互作用的声传播介质的流动的影响均涉及较少。但在实际中，很多板状结构却正是处于流动的声传播介质中，如气流中的建筑外饰面，运动中的汽车、高铁和飞行中的飞机等。针对该问题，本文建立了包含声传播介质流动影响的板状结构辐射声功率计算方法，并通过数值仿真分析了介质流动对板状结构辐射声功率的影响。

1 理论

板状结构的声辐射分析既可以在空间域中直接进行，也可以在变换后的波数域中进行。两个分析域各有特点，其中空间域更直观，但当介质流动时，存在Doppler效应，波数域虽然需进行空间Fourier变换，但可直接分离Doppler效应的影响。因此，本文从波数域的角度分析板状结构的声辐射。

1.1 静止介质中的板状结构辐射声功率

假设一板状结构的表面法向振速分布是 [ux，y]，根据Rayleigh积分，该结构在半空间中的辐射声压为

[px，y=-iρω2π∞-∞ux′，y′eikrrdx'dy']" " （1）

式中，[r=x-x'2+y-y'2]，[ρ]是流体密度，[ω]是角频率，[k=ωc]是声波波数，[c]为流体中的声速。

定义空间Fourier变换及其反变换分别为

[Fkx，ky=-∞fx，ye-ikxxe-ikyydxdy ][fx，y=14π2∞-∞Fkx，kyeikxxeikyydkxdky]

对式（1）进行空间Fourier变换，可得

[Pkx，ky=ρckkzUkx，ky]" （2）

式中，[Pkx，ky]和[Ukx，ky]分别为声压和表面振速的空间Fourier变换，[kx]和[ky]分别为[x]和[y]方向对应的波数分量，

[kz=k2-k2x-k2y=k2-k2x-k2y" " k2x+k2y≤k2ik2x+k2y-k2" " k2x+k2ygt;k2]" （3）

式（3）中，[kz=0]是传播波（propagating waves）和倏逝波（evanescent waves）的分界线。由[kz=0]定义的是[kx，ky]平面上的一个圆，也被称为辐射圆，圆内的波数对应的是传播波，圆外的波数对应的是倏逝波，倏逝波随传播距离增加迅速衰减。

获得板状结构表面声压后，通过对结构辐射面上所有点的声压和表面法向振速的乘积进行积分，并将声压和表面法向振速的变换结果代入其中，得到平面声源的辐射声功率为

[Π=12Re∞-∞pu*dxdy" "=12Re∞-∞[14π2-∞Pkx，kyeikxxeikyydkxdky]×14π2∞-∞U*k'x，k'ye-ik'xxe-ik'yydk'xdk'ydxdy" "=132π4Re∞-∞∞-∞∞-∞Pkx，kyU*k'x，k'y×eikx-k'xxeiky-k'yydkxdkydk'xdk'ydxdy" "=132π4Re∞-∞∞-∞Pkx，kyU*k'x，k'ydkxdkydk'xdk'y×∞-∞eikx-k'xxeiky-k'yydxdy" "=18π2Re∞-∞∞-∞Pkx，kyU*k'x，k'yδkx-k'x×δky-k'ydkxdkydk'xdk'y]

[" " " =18π2Re∞-∞Pkx，kyU*kx，kydkxdky]" （4）

式中，[Re]表示复数的实部，[*]表示复数的共轭。

将式（2）代入式（4）中，可得

[Π=18π2Re∞-∞ρckkzUkx，kyU*kx，kydkxdky" "=ρck8π2Re∞-∞1kzUkx，ky2dkxdky" "=ρck8π2∞-∞Re1kzUkx，ky2dkxdky]" " " " " " " " （5）

因为只有在辐射圆内部，[kz]才有实部，且为纯实数，也就是只有传播波才对声辐射有贡献，因此式（5）可以进一步化简为

[Π=ρck8π2ScUkx，ky2kzdkxdky]" " " （6）

式中，积分区域[Sc]表示辐射圆内部区域。

1.2 流动介质中的板状结构辐射声功率

当板状结构处于流动的介质环境中时，包含对流效应的波动方程为

[∇2p][x，y，z，t-1c2∂∂t+V⋅∇2px，y，z，t=0] （7）

式中，[∇2=∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2]，[∇=∂∂x，∂∂y，∂∂z]

假设流体介质沿着[x]方向流动，流动速度为[V]，那么上式可化简为

[∇2px，y，z，t-1c2∂∂t+V∂∂x2px，y，z，t=0] （8）

将式（8）中的平方项展开，得到

[∇2px，y，z，t-1c2∂2∂t2+2V∂∂t∂x+V2∂2∂x2px，y，z，t=0] （9）

假设声压时间简谐，则式（9）可转化为

[∇2px，y，z，ω+1c2ω2+2iωV∂∂x-V2∂2∂x2px，y，z，ω=0] （10）

进一步整理式（10）可得

[∇2px，y，z，ω+k2+2ikM∂∂x-M2∂2∂x2px，y，z，ω=0]" （11）

式中，[M=Vc]为马赫数。

对式（11）做三维空间Fourier变换，可得

[-k2x-k2y-k2z+k2-2kMkx+M2k2x=0]" （12）

根据式（12），可得

[k2z=k2-1-M2k2x-2kMkx-k2y]" " （13）

同样令[kz=0]，可得包含流动效应后传播波和倏逝波的分界线方程

[1-M2k2x+2kMkx+k2y=k2]" " " " "（14）

式（14）化简后，可得

[kx+kM1-M22a2+k2yb2=1]" " " " （15）

式中，[a=k1-M2]，[b=k1-M2]。由式（15）可以看出，此时的传播波和倏逝波的分界线变为椭圆，定义为辐射椭圆。

包含介质流动效应后，欧拉方程变为

[ρ∂∂t+V∂∂xux，y，z，t=-∂px，y，z，t∂z]" （16）

假设声场简谐，并对式（16）中[x]和[z]做空间Fourier变换，可得

[ρ-iω+iVkxUkx，ky=-ikzPkx，ky]" （17）

通过式（17）进一步得到声压谱[Pkx，ky]为

[Pkx，ky=1-MkxkρckkzUkx，ky]" " "（18）

将式（18）代入公式（4），可得包含介质流动效应的板状结构辐射声功率为

[Π=ρck8π2∞-∞Re1kz1-MkxkUkx，ky2dkxdky] （19）

同样考虑到辐射椭圆之外的倏逝波对声功率没有贡献，声功率可进一步简化为

[Π=ρck8π2Se（1-Mkxk）Ukx，ky2kzdkxdky] （20）

式中，积分区域[Se]表示辐射椭圆内部区域。

2 介质流动对声功率的影响分析

2.1 影响机理分析

波数变换本质是将声场分解为平面波的叠加，而辐射圆又将平面波分为两类：位于辐射圆内的传播波和位于辐射圆外的倏逝波。根据前面的推导可知，只有传播波才对声功率存在贡献。考虑介质流动后，辐射圆变为辐射椭圆。图1所示是频率为1000 Hz时，辐射圆和辐射椭圆的对比，其中介质流动速度分别为30 m/s、65 m/s、100 m/s，对应的马赫数分别为0.087、0.189、0.291。从图中可以看到，随着介质流动速度的增加，辐射椭圆中心逐渐向负[kx]的方向偏移，其长轴和短轴均大于辐射圆的半径，且[ky]轴是长轴。由于上述变化，辐射椭圆所覆盖的波数与辐射圆产生了差别，也就是对声功率产生贡献的平面波波数产生了变化。但是，同样可以发现，当介质流动较小时，辐射圆和辐射椭圆比较接近，因此介质流动对声功率的影响较小。但当介质流动速度较大时，辐射圆和辐射椭圆存在明显的差别，此时介质流动对声功率的影响不可忽略。上述分析揭示了介质流动对板状结构辐射声功率产生影响的机理。

但需要强调的是，辐射椭圆所起作用是选择对声功率有贡献的波数，但是由式（20）可知，最终的声功率数值与这些波数对应的表面法向振速波数域谱[Ukx，ky]直接相关。在不同频率下，由于结构的模态分布影响，其表面法向振速分布是不同的，因此介质流动对板状结构辐射声功率的影响与频率相关。

2.2 辐射声功率对比分析

以四边简支薄板为例来分析介质流动对其辐射声功率的影响。薄板的边长为1 m×1 m，厚度为0.005 m，密度为7850 kg/m3，杨氏模量为2.06×1011 Pa，泊松比为0.3。流体介质为空气，密度为1.29 kg/m3，声速为343 m/s。设激励点位于薄板的中心位置，激励动载荷幅值为1 N。首先通过模态叠加法，计算获得薄板表面均匀分布的51×51点的法向振速。

在计算声功率的过程中，首先采用二维FFT算法将法向振速变换到波数域，然后提取辐射圆内或辐射椭圆内的波数点及对应的法向振速波数域谱，分别代入式（6）和式（20）可以计算得到介质静止和流动两种情况下的辐射声功率。

在不同介质流速下，在100-2000Hz频段内，计算得到的声功率级结果如图2-图4所示，其中计算声功率级时的参考值为10-12 W。从图2可以看到，当流速为30 m/s时，在900 Hz以下的低频段，介质流动对声功率的影响较小，随着频率增加介质流动的影响逐渐显现，在有些频率处（如1700 Hz）可达6 dB。随着流速增加至65 m/s，介质流动对声功率的影响增强，从300 Hz处即开始体现出较明显的变化，而且随着频率增加，这种变化进一步增强。在1300 Hz等模态频率处，声功率级的变化达到了约10 dB。当介质流速增加至100 m/s后，在大部分频率处，均产生了非常明显的影响，且影响值总体较高。

综合图2-图4的结果可知：随着流速增加，介质流动对声功率级的影响增强；介质流动通常会导致声功率级数值的增加，而不是减小；随着频率增加，在总体趋势上，介质流动对声功率级的影响增强，但由于声功率与板状结构的表面法向振速分布（也就是模态贡献）和辐射椭圆有关，因此在有些频率处，介质流动的影响较小；即使当流速较小时（如30 m/s），在有些频率处，声功率级仍有6 dB的变化，因此介质流动对声功率级的影响不可忽略。

3 结论

本文从波数域的角度首先给出了静止介质中板状结构辐射声功率的计算公式，然后由对流波动方程和欧拉公式入手，引入介质流动的影响，推导得到了区分传播波和倏逝波的辐射椭圆方程，并在此基础上进一步推导得到了流动介质中板状结构辐射声功率计算公式。

基于推导得到的辐射椭圆方程，明确了介质流动对声功率产生影响的机理在于：相比于静止介质中的辐射圆，流动介质中的辐射椭圆所覆盖的波数产生差别，也就是对声功率产生贡献的平面波波数产生变化。

基于推导得到的声功率计算公式，对比了简支板在不同介质流速下的辐射声功率，结果表明：随着流速增加和频率增加，介质流动对声功率级的影响增强，声功率数值增大；即使当流速较小时，在有些频率处，介质流动对声功率级的影响也不可忽略。

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Study on Sound Power Radiated by Planar Structures in Moving Media

WANG Wen-jing 1，ZHANG Yong-bin 2

（1. Tongling Polytechnic，Tongling 244061，China；2. Institute of Sound and Vibration Research， Hefei University of Technology，Hefei 230009，China）

Abstract： Based on the convective wave equation and Euler equation，this paper derives the radiation ellipse for distinguishing propagating waves and evanescent waves，as well as the formula for calculating the radiation sound power of planar structures in moving media. Based on this formula，the calculation of radiated sound power from planar structures in moving media can be achieved by extracting the wavenumber domain spectrum of surface normal velocity within the radiation ellipse. Based on the radiation ellipse equation，the mechanism of the influence of moving medium on the radiated sound power of planar structures is clarified. Finally，taking a simply supported plate as the object，the radiated sound power under different moving velocities is compared through numerical simulation. The results show the necessity of considering the influence of moving medium and its impact on sound power.

Key words： sound power; moving media; radiation ellipse; wave number domain

（责任编辑：马乃玉）