带有私人和表达观念的观念动力学模型分析

摘要：研究了一类带有私人观念和表达观念的观念动力学模型的动力学特征。利用矩阵分析的相关理论，得到了系统收敛的若干结果。研究表明，当社会网络强连通时，私人观念和表达观念总是能快速收敛到一个稳定的状态，但稳态处的私人观念和表达观念仅依赖于初始的私人观念，与此同时，初始的表达观念在演化的过程中被遗忘。如果社会网络中不存在执拗个体，个体的观念将达到一致。观念在稳态处的分歧程度也被详细地分析，在一些特殊的条件下，可以通过表达观念的分歧程度来估计私人观念的分歧程度。最后我们利用数值仿真对所得结果进行了验证。

关键词：观念动力学；私人观念和表达观念；收敛；一致

中图分类号：O193 文献标志码：A 文章编号：1001-2443（2024）03-0211-06

引言

近年来，观念动力学引起了控制理论，社会学、物理学等领域的广泛关注［1-2］。观念动力学主要研究社会网络中观念或行为的产生、扩散和聚合［3-4］。Degroot 模型［5］是经典的观念动力学模型之一，它研究了社会个体如何通过社会网络交换他们的观念从而在某个共同的问题上达成一致的过程。Friedkin-Johnsen模型［6］拓广了Degroot 模型，它考虑了社会网络中可能存在的执拗个体。由于执拗个体的存在，在Friedkin-Johnsen模型中观念很难达成一致，社会个体往往会被剖分成几个聚类。考虑到观念相近的个体更有意愿进行相互的交流，Hegselmann-Krause 模型［7］中被提出来表征这种现象。在Hegselmann-Krause 模型中，每个社会个体都有一个置信边界，个体只接受其置信边界以内的观念，而忽视置信边界之外的观念。结合Degroot 模型和Friedkin-Johnsen模型，文献［8］提出了Degroot- Friedkin模型对社会网络中社会权利的演化进行了讨论，给出了一般条件下社会权利的演化规律。目前所见的大多数观念动力学模型都是基于以上的四个模型的拓展和改进，关于观念动力学的更多的模型，可以参考文献［3］。

应该指出的是，大多数观念动力学模型的文献都集中于个体的表达观念，而忽略个体的私人观念［1-8］。然而，在很多情况下，个体的私人观念和表达观念之间存在持续的差异［9-10］。例如，在刑事审判中，超过三分之一的陪审员会私下投票反对陪审团的最终决定［11］。无论是发生在陪审团、公司董事会还是普通民众中，对于一个敏感的政治问题，私人观念和表达观念之间巨大而持续的差异所带来的潜在社会后果是显而易见的［11］。因此，文献［9］提出了一类带有表达观念和私人观念的观念动力学模型用来研究私人观念和表达观念产生差异的原因。应该指出的是，在文献［9］中，假设所有个体都是执拗个体，而忽略了非执拗个体的存在性，在本文中，我们将研究在非执拗个体存在的情况下，表达观念和私人观念是如何联合共演的，从而对文献［9］的结果进行有效的拓广。

在本文中，我们研究了一类带有私人观念和表达观念的观念动力学模型，利用矩阵理论与图论，在非执拗个体存在的情况下，得到了观念收敛的若干条件，并对最终观念的分歧程度进行分析，得到了一种利用表达观念的差异性评估私人观念的差异程度的方法，并通过数值仿真验证了我们所得的结论的有效性。

1 预备知识

1.1 符号

在本文中，[Rm×n]和[Rn]分别代表[m×n]维的实矩阵和[n]维实列向量，[1n]和[0n]分别代表所有分量都是1和0的[n]维列向量，[In]表示[n]阶单位矩阵。对于矩阵[A∈Rm×n]，第[i]行[j]列的元素用[aij]来表示。一个矩阵A被认为是非负的，即每一个元素[aij]都是非负的，用[A≥0]来表示。[ρ（A）]表示[A]的谱半径。如果方阵A满足[aij≥0，j=1naij=1]，则称矩阵A是行随机的。

1.2 图论

通常一个网络图可以被描述为[G（V，E）]，其中[V={V1，V2，…，Vn}]是节点集，[E∈V×V]是边集，[eij∈E（（vi，vj）∈E）]表示从节点[i]到节点[j]有一条边，此时，节点[i]称为节点[j]的邻居，集合[Ni={vj：（vj，vi）∈E}]称为[vi]的邻居集。[eii]表示自环。对于一个非负矩阵[A]，如果[aijgt;0]当且仅当[eji∈E]，则称[A]为图[G（V，E）]的加权邻接矩阵，这时候也用[G（A）]来表示图[G（V，E）]。如果存在一个节点[i]，使得节点[i]到其他所有节点都存在至少一条路径，那么我们称图[G（V，E）]包含支撑树，其中节点[i]是根节点。如果每个节点都是根节点，则称[G（V，E）]是强连通。

1.3 模型描述

在本文中，我们考虑一类带有私人观念和表达观念的观念动力学模型。在一个由n个社会个体组成的社会网络中，在时间[t={0，1，2，3，…}]时，个体[i]对某一特定话题的私人观念和表达观念分别用[yi（t）]和[yi（t）]来表示，一般的[yi（t）]和[yi（t）]是不一样的，我们认为[yi（t）]是个体的真实观念，个体会因为各种各样的原因可能不会发表他的真实观念[yi（t）]，例如：敏感的政治问题，社会压力。在我们的模型中，个体要遵循群体压力而发表自己的表达观点，所以私人观念和表达观念是共演的，个体[i]的私人观念演化如下：

在这里常数[λi∈[0，1]]代表着个体[i]对人际交往影响的敏感度，[1-λi]代表着个体[i]对初始观念的执拗程度，当[λi=1]，称个体[i]是非执拗个体，这意味着个体[i]很容易被其他的个体影响和说服。如果[0≤λilt;1]，我们称个体[i]是执拗个体，当执拗个体与其他个体交流是，执拗个体在一定程度上保持他的初始观念。特别的，当[λi=0]，我们称个体[i]是完全执拗个体，这意味着个体[i]拒绝和其他个体沟通，或者忽视其他的个体观念，完全执拗个体的观念始终不会发生改变。在等式（1）中，[wij]表示个体[j]对个体[i]的影响程度，在这篇文章中我们要求[W=[wij]]是行随机矩阵。在等式（2）中，[yi.lavg（t）=j∈Nimijyi（t）]表示个体邻居的平均表达观念，代表着在t时刻个体[i]所感受到的局部群体标准或者规范。我们假设[wij]和[mij]同构，即满足[wijgt;0⇔mijgt;0]和[j∈Nimij=1]，即矩阵[M=[mij]]也是行随机的，[G（W）]和[G（M）]有相同的拓扑结构，但边的权重可能是不同的。一个自然的选择是[mij=1Ni]，当然也可以用方案[mij=wij]代替，常数[ϕi∈（0，1）]编码了个体[i]对遵守群体标准压力的弹性。

注1：与现有许多模型不同，我们的模型同时考虑私人观念和表达观念。当[ϕi=1]时，我们的模型就变成了标准的Friedkin-Johnsen模型；当[ϕi=λi=1]时，我们的模型回归到经典的Degroot模型，因此，我们的模型是对Degroot模型和Friedkin-Johnsen模型进行了有效拓广。

注2：局部群体标准[yi.lavg（t）]确保了模型在大型网络中的可扩展性，在小型的社会网络中，考虑到所有个体之间可能都是相互熟悉的，他们之间可以进行自由的信息交流，这时，可以用全局群体标准

[yavg（t）=1nj=1nyj（t）]代替局部群体标准。

2 主要结果

为了更好的研究系统（1）和（2），我们将把系统（1）和（2）改写成更加紧凑的形式。让[yi（t）=[y1（t），y2（t），…，yn（t）]T]和[yi（t）=[y1（t），y2（t），…，yn（t）]T]表示影响网络中n个社会个体的私人观念和表达观念的列向量，让[W=W+W]，其中[W=diag[w11，w22，…，wnn]]，令[Λ=diag[λ1，λ2，...，λn]]和[Φ=diag[ϕ1，ϕ2，...，ϕn]]，将系统（2）带入系统（1），根据[yi.lavg（t）=j∈Nimijyi（t）]，我们可以得到

[yi（t+1）=λiwiiyi（t）+λij≠inwijϕjyj（t）+（1-λi）yi（0）+" " " " " " " " λij≠inwij（1-ϕj）j∈Njmjkyk（t-1）] （3）

从等式（2）和等式（3），我们可以得到：

[y（t+1）y（t）=Py（t）y（t-1）+（In-Λ）y（0）0n] （4）

其中P的表示如下：

[P=P11P12P21P22=Λ（W+WΦ）ΛW（In-Φ）MΦ（In-Φ）M] （5）

为了获得我们主要结果，我们还需要下面的假设和引理。

假设1 社会网络的拓扑G（W）是强连通的。

引理1［12］ 设矩阵A是一个行随机矩阵 ，如果G（A）包含支撑树，并且所以的根节点组成的强连通子图是非周期的，那么1是A的唯一的最大的模特征值，其代数重数为1。

引理2 如果假设1成立，系统（1）中存在执拗个体，则[ρ（P）lt;1]，[ρ（P11）lt;1]。

证明 构建矩阵[F=10Τ2nαP]，其中[α=12n-P12n]，[F]表示的是[R2n+1×2n+1]的一个矩阵。[G（F）]的顶点标注成[N0，N1，…，N2n]，[G（P）]的顶点为[N1，N2，…，N2n]。根据[α]的构造，我们可以得到，从[N0]到所有执拗个体都有一条边。由于图[G（W）]是强连通，所以图[G（W+WΦ）]也是强连通，这意味着任何一个非执拗个体都存在一个执拗个体，该执拗个体到非执拗个体有至少一条路径。这意味着，节点[N0]到节点[N1，N2，…，Nn]有至少一条路径。又因为[P21=Φ]，节点[Nj]到节点[Nn+j]恰有一条边，这意味着顶点[N0]是[G（F）]唯一的根节点。根据引理1，1是[F]的唯一的最大的模特征值，其代数重数为1。又[F]的特征多项式为[|λIn-F|=λ-10Τ2n-αλIn-P=（λ-1）λIn-P]。因此，对于矩阵[P]，所有特征值的模都小于1，即[ρ（P）lt;1]。类似的，可以证明[ρ（P11）lt;1]。

引理3［13］ 假设[A，B，C，D∈Rn×n]，如果[A，D，（A-BD-1C）]是非奇异的，[（D-CA-1B）]也是非奇异的，则

[ABCD-1=（A-BD-1C）-1-A-1BD-D-1CA（D-CA-1B）-1]

其中[A=（A-BD-1C）-1，D=（D-CA-1B）-1]。

接下来，我们将给出本文的一个重要结果。

定理1 如果假设1成立，且在社会网络存在执拗个体，则系统（1）和（2）是指数收敛的，且

[limt→∞y（t）=y∗=Ry（0）， limt→∞y（t）=y∗=SRy（0）=Sy∗] （6）

其中[R=（In-P11-P12（In-P22）-1P21）-1（In-Λ）]，S=（In-P22）-1P21都是非负的行随机矩阵。

证明 根据引理2，如果假设1成立，且在社会网络存在执拗个体，则[ρ（P）lt;1]，注意到系统（4）是具有恒定的输入[[（（In-Λ）y（0））Τ，0nΤ]Τ]的线性时不变系统，根据文献［14］有关线性系统的理论，系统（4）指数收敛，且

[limt→∞y（t）limt→∞y（t）=（I2n-P）-1（In-Λ）y（0）0n=In-P11-P12-P21In-P22-1（In-Λ）y（0）0n]

" " [=A（In-P11）-1P12D（In-P22）-1P21AIn-P22（In-Λ）y（0）0n]

其中，[A=（In-P11-P12（In-P22）-1P21）-1]，[D=（In-P22-P21（In-P11）-1P12）-1]。所以[limt→∞y（t）=Ry（0） ]，[limt→∞y（t）=SRy（0）]。接下来我们将证明[R，S]是非负的行随机矩阵。因为[（I2n-P）-1=k=0∞Pk≥0]，[（In-P22）-1=k=0∞P22k≥0]，所以[A≥0，S≥0]，进而[R≥0]。即[S]和[R]都是非负矩阵。又[S-1=（（In-P22）-1P21）-1=P21-1（In-P22）=Φ-1（In-P22）]，[S-11n=][Φ-1（In-P22）1n=1n]，因此[S]是行随机矩阵。另一方面，[A-1=In-P11（In-P22）-1P21][=In-P11-P12S]，[A-11n=（In-P11-P12S）1n=In1n-P111n-P121n=In1n-（P11+P12）1n=][（In-Λ）1n]，又因为[R1n=A（In-Λ）1n=AA-11n=1n]，因此[R]是行随机的。这样就完成了定理的证明。

注3 文献［9］指出，当所有个体都是不完全执拗个体时（[0lt;λilt;1]），在网络强连通的情况下，所有观念都将快速的收敛。定理1表明，即使存在非执拗个体（[λi=1]）和完全执拗的个体（[λi=0]），只要网络是连通的，表达观念和私人观念都将快速的收敛的一个稳定的状态，这表明所得结果具有更好的保守性。

当整个社会网络中不存在执拗个体时，我们有下面的结果。

推论1 如果假设1成立，社会网络中不存在执拗个体，且G（W）是非周期的，则所有个体的观念将达到一致，即：[limt→∞y（t）=limt→∞y（t）=α1n]，其中实数[α]依赖于W，M和[Φ]。

证明 当社会网络中不存在执拗个体时，系统（1）和（2）将变成经典的DeGroot模型，根据文献［5］关于DeGroot模型结果，这里我们仅需证明当所有[λi]都取1时，G（P）是强连通的和非周期的即可。显然，当图[G（W）]是强联通和非周期的时，图[G（P11）]和图[G（P22）]也是强联通和非周期的。注意到[P12]和[P21]都不是零矩阵，因此图[G（P）]是强联通和非周期的。这样我们就完成推论1的证明。

推论1表明，执拗个体是导致表达观念和私人观念产生差异的一个重要因素。

个体观念在稳态处的差异程度一定程度上反映了社会个体的和谐程度，因此分析个体观念在稳态处的差异十分必要。对于系统（1）和（2）在稳态处的观念差异，我们有以下结果。

定理2 如果假设1成立，则最终的观念服从以下不等式：

[y（0）max≥y∗max≥y∗max，" y（0）min≤y∗min≤" y∗min] （7）

在这里，[y∗]和[y∗" ]表示最终的私人观念和表达观念，[xmax=max{x1，x2，...，xn}，][xmin=min{x1，x2，...，xn}]对于任意的[x∈Rn]。

证明 根据定理1，[y∗=Ry（0）]，[y∗=Sy∗]，[R]，[S]是行随机矩阵，所以[y∗max=（Sy∗）max≤[S（y∗max1n）]max=y∗max ，y∗max=（Ry（0））max≤[R（y（0）max1n）]max=y（0）max，]即[y（0）max≥][y∗max≥y∗max]，同理，[y（0）min≤y∗min≤y∗min]。

这一结果表明，当社会网络强连通时，最终的表达观念和私人观念存在持续的分歧。由于表达观念能够被其他个体充分感知，因此最终的表达观念的分歧程度往往是能够被感知的，而最终的私人观念的分歧程度则是不容易感知的，所以如何通过最终的表达观念的分歧程度来评估最终私人观念的分歧程度就非常具有一定的现实意义。对此，我们有如下推论。

推论2 如果假设1成立。在系统（2）中。对于任意的[i∈I]，[yi.lavg（t-1）]用[yavg=n-1j=1nyi]来代替，令[ ϕmax=maxi∈Iϕi]，[ϕmin=mini∈Iϕi]，[k（ϕ）=1-ϕminϕmax（1-ϕmax）][∈（0，1）]，则

[y∗max-y∗mink（ϕ）≤y∗max-y∗min] （8）

证明 定义函数[V（x）=xmax-xmin]，[x∈Rn]，则[V（y（t））]代表观念[y（t）]的分歧程度，对于一个行随机矩阵[A]，定义遍历系数[τ（A）=1-mini，j∈{1，…，n}s=1nmin{ais，ajs}]，则对函数[V（x）]有[V（Ax）≤τ（A）V（x）]［15］，根据定理1，[V（y∗）=V（Sy∗）≤τ（S）V（y∗）]，这意味着[V（y∗）/τ（S）≤V（y∗）]，另一方面，当[M=n-11n1Τn]时，根据文献［11］的结果，我们有[τ（S）≤k（ϕ）]。因此[V（y∗）≤k（ϕ）V（y∗）]。即[y∗max-y∗mink（ϕ）≤y∗max][-y∗min]。这样我们就完成了证明。

注4：明显的，对于一些小型的社会网络，社会个体之间往往都是相互熟悉的，他们彼此之间能够进行充分的交流，这个时候[yi.lavg（t-1）]可以用[yavg=n-1j=1nyj]来代替，从而使得我们可以利用（8）式来估计最终私人观念的分歧程度，这使得推论2具有较强的现实意义。

3 仿真

在这一部分中，我们将通过一个例子来验证我们获得的结果。我们考虑一个具有7个社会个体的社会网络，网络拓扑[W]，[M]和固执系数[Λ]如下：

[Λ=diag[0.1，0.5，0.3，1，1，1，1]]。根据[W]，[M]和[Λ]可以看出，[W∼M]，并且[W]和[M]都是强连通和非周期的，有3个社会个体是非执拗个体。随机生成[ϕi∈（0，1）]，根据定理1，私人观念和表达观念都收敛到一个稳定状态，观念的演化如图1所示。从图1中，可以看出观念很快收敛到一个稳定的状态，并且最终表达观念的分歧也严格小于最终私人观念之间的分歧。另外，如果[M=n-11n1Τn]，最大和最小的弹性值分别为[ϕmax=0.7 ，" ϕmin=0.1]，则[k（ϕ）=0.957]，我们可以得到[y∗max-y∗min=0.2459]， [y∗max-y∗min=0.5011]，这意味着[y∗max-y∗mink（ϕ）]可以作为[y∗max-y∗min]的下界，这进一步印证了我们所得结论的正确性。假设这个社会网络中不存在执拗个体，根据推理1，社会个体的将达到一致，其观念的演化如图2所示，根据图2，明显的可以看出，社会个体的所有观念快速的达到了一致。这表明了执拗个体往往更容易引起观念的差异，从而对社会网络的和谐性产生不良的影响。

4 结论

在这篇文章中，我们讨论了一类带有私人观念和表达观念的观念动力学模型，研究在社会网络中，私人观念和表达观念的差异的一般性的理论框架。个体的观念受网络拓扑，敏感度以及弹性值的影响，在系统强联通的情况下，模型总是能以指数快的速度收敛到稳定的状态，除非不存在执拗个体，否则，私人观念和表达观念之间的差异在稳态观念处将持续存在。对于一些小型的社会网络，我们可以通过最终表达观念的分歧程度来估计最终私人观念的差异程度。最后，我们通过一个数值仿真验证了我们的结果。

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An Analysis of Opinion Dynamics Models with Private and Expressed Opinions

ZHU Yi-xin， HE Guang， WU Yan-lei

（School of Mathmatics， Physics and Finance，Anhui Polytechnic University，Wuhu 241000，China）

Abstract： In this paper， an opinion dynamics model with private and expressed opinions is analyzed. By utilizing the relevant theories of matrix analysis， the conditions of system convergence are obtained. It has been found that when social networks are strongly connected， private and expressed opinions always converge quickly to steady opinions. At the same time， the steady opinions only depends on initial private opinions， while initial expressed opinions are forgotten in the process of evolution. If there are no stubborn individuals in the social network， opinions will reach a consensus. The disagreement level at steady opinions is also analyzed， and under some special conditions， the disagreement level of private opinions can be estimated by the disagreement level of expressed opinions. Finally， a numerical simulation example is used to prove this result.

Key words： opinion dynamics; private and expressed opinions; convergence; consensus

（责任编辑：马乃玉）