例析二次函数中常见的角度问题

［摘 要］二次函数是初中数学考试的高频考点。其中，二次函数中的角度问题是一类常见题型。文章结合实际问题，对初中数学考试中常出现的特殊角问题、角的和差问题、角倍数问题、相等角度问题等进行总结归纳，以期提高学生的解题效率。

［关键词］二次函数；角度问题；初中数学

［中图分类号］" " G633.6" " " " ［文献标识码］" " A" " " " ［文章编号］" " 1674-6058（2024）17-0032-03

二次函数是初中数学考试的高频考点，其中一些二次函数问题会考查二次函数的基础性质，但更多的是以二次函数为背景，联合其他知识（如一次函数、几何图象、动点等）进行考查。考试中常常会遇到以二次函数为背景探索角度关系的问题。本文结合实际问题，对二次函数中常见的几类角度问题进行总结。

一、特殊角问题

特殊角问题是一类较为常见的问题，也是难度较低的一类问题。这类问题的常见考查方法为在已知二次函数的条件下，求与已知线段成某一特殊角时，角的一边与二次函数的交点坐标。在实际的解题过程中，需要挖掘题目的已知信息，将直线的解析式与二次函数的解析式进行联立求解。

［例1］如图1所示，抛物线[y=mx2+（m2+3）x-（6m+9）]与[x]轴交于点[A、B]，与[y]轴交于点[C]，已知[B（3，0）]。

（1）求[m]与直线[BC]的解析式；

（2）[Q]为抛物线上一点，若[∠ACQ=45°]，求点[Q]的坐标。

解析：（1）将[B（3，0）]代入[y=mx2+（m2+3）x-（6m+9）]，化简得[m2+m=0]，则[m1=-1]或[m2=0]（舍去），

令[x=0]，可得[y=-3]，则[C（0，-3）]，

则直线[BC]的解析式为[yBC=x-3]。

（2）取点[Q]使[∠ACQ=45°]，过点[A]作[AD⊥CQ]于点[D]，过点[D]作[DF⊥AB]于点[F]，过点[C]作[CE⊥FD]交[FD]延长线于点[E]（如图2），可判断[△CDE]与[△DAF]全等，由全等三角形对应边相等，可得[AF=DE]，[CE=DF]，

设[AF=DE=a]，

则[CE=FD=a+1]，

因为[OC=3]，

所以[FD=3-a]，

所以[a+1=3-a]，可得[a=1]，

所以[D（2，-2）]。

又[C（0，-3）]，

所以[yCD=12x-3]，

联立[y=12x-3，y=-x2+4x-3，]

解得[x1=72，y1=-54]和[x2=0，y2=-3，]

所以点[Q]的坐标为[72，-54]。

评注：（1）通过代入法，可以直接求得[m]的值，进而可得点[C]的坐标，从而求得直线[BC]的解析式为[yBC=x-3]。（2）中已知[∠ACQ=45°]，可知本题重点在于求直线[CD]的解析式，此时需要添加辅助线，根据[△CDE ]≌[△DAF]求点[D]的坐标，进而联立两个解析式，便可以确定点[Q]的坐标。

二、角的和差问题

角的和差问题主要涉及角度间的加减关系，既有运算求解题，也有证明题。角的和差问题主要借助几何性质，将题目中所涉及的角度和差转换为具体的角，而后进行解题。解题时需要运用三角形内角和定理、外角定理等知识点。

［例2］如图3所示，抛物线[y=13x2-2x]交[x]正半轴于点[A]，顶点为[M]，直线[y=-12x+b]过点[A]，交[y]轴于点[B]，连接[OM]。

（1）求[b]与点[M]的坐标；

（2）直线[AB]向下平移至过点[M]，得直线[y=mx+n]，交[x]轴负半轴于点[C]，取点[D（2，0）]，连接[DM]，求证：[∠ADM-∠ACM=45°]。

解析：（1）抛物线[y=13x2-2x]经过原点与点[A]，令[y=0]，则点[A]的坐标为[（6，0）]，可得顶点[M（3，-3）]，将点[A]坐标代入[y=-12x+b]，可得[b=3]。

（2）如图4所示，直线[AB]向下平移，过点[M（3，-3）]，

此时直线与[y=-12x+3]斜率相同，即[k=-12]，

则平移后直线的解析式为[y=-12x-32]，

[∠ADM]可视为[△CDM]的一个外角，

则[∠ADM-∠ACM=∠DMC]，

过点[D]作[CM]的垂线，垂足为[H]（如图4），

易得直线[DH]的解析式为[y=2x-4]，

可解得点[H]的坐标为[（1，-2）]，

则[DH=5，HM=5]，

可得[DH=HM]，

即[△DHM]为等腰直角三角形，则[∠DMC=45°]，

则[∠ADM-∠ACM=45°]。

评注：（1）已知抛物线经过原点与点[A]，通过令[y=0]，可得点[A]的坐标为[（6，0）]，通过对其进行整理，可得顶点[M（3，-3）]，代入[y=-12x+b]可得[b=3]。（2）中直线[AB]向下平移，通过作辅助线形成[∠ADM]、[∠ACM]。平移后直线的解析式为[y=-12x-32]，而后确定[∠ADM]、[∠ACM]的角度关系，[∠ADM-∠ACM=∠DMC]，进而等角转换，而后通过构建等腰直角三角形确定[∠DMC=45°]。

三、角倍数问题

角倍数问题中往往会涉及一个角是另一个角的几倍问题，解题时需要灵活运用几何知识，如角平分线及等腰三角形、等边三角形等相关性质。另外，有些题目还需要借助相关图形的对称性、引入辅助圆等方法将倍角问题进行转化，进而有效解题。

［例3］如图5所示，二次函数[y=ax2+bx+4（a≠0）]的图象经过点[A（-4，0），B（1，0）]，交[y]轴于点[C]，[P]为第二象限内抛物线上一点，连接[BP、AC]，过点[P]作[PD⊥x]轴于点[D]。

（1）求二次函数的表达式；

（2）连接[BC]，[∠DPB=2∠BCO]时，求直线[BP]的表达式。

解析：（1）二次函数[y=ax2+bx+4]经过点[A、B]，将[A（-4，0），B（1，0）]两点代入表达式，可解得[y=-x2-3x+4]。

（2）如图6所示，设[BP]与[y]轴交于点[E]，可得[∠DPB=∠OEB]，因为[∠DPB=2∠BCO]，

所以[∠OEB=2∠BCO]，

所以[∠ECB=∠EBC]，

所以[BE=CE]，

设[OE=a]，则[BE=CE=4-a]，

在[Rt△BOE]中，由勾股定理得[（4-a）2=a2+12]，

可解得[a=158]，所以[E0，158]，

设[yBP=kx+e（k≠0）]，

则[e=158，k·1+e=0，]解得[k=-158，e=158，]

所以[yBP=-158x+158]。

评注：（1）借助待定系数法，将点[A（-4，0）]，[B（1，0）]代入二次函数[y=ax2+bx+4]中便可得到二次函数的解析式。（2）中通过转化，根据角度关系可得[BE=CE]，将问题转化至[Rt△BOE]中，由勾股定理可得[E0，158]，通过设直线的解析式，则可得[yBP=-158x+158]。

四、相等角度问题

角度相等是一个常见的命题情景，在实际的解题中需要学生结合题目信息，重点分析一些特殊的图形，灵活运用三角形的全等、相似以及辅助圆等完成角度转化，进而解题。

［例4］抛物线[y=ax2-2ax+c]过点[A（-1，0）]，[C（0，3）]，与[x]轴的另一交点为[B]，顶点为[D]。

（1）求点[D]的坐标；

（2）如图7所示，[AC]与[BD]的延长线相交于点[H]，[x]轴上方抛物线上存在一点[P]，使[∠OPB=∠AHB]，试求出点[P]的坐标。

解析：（1）抛物线[y=ax2-2ax+c]过点[A（-1，0）]，[C（0，3）]，运用待定系数法，可得[y=-x2+2x+3]，易得其顶点坐标为[D（1，4）]。

（2）根据[y=-x2+2x+3]可得[B（3，0）]，[C（0，3）]，则直线[DB]的解析式为[y=-2x+6]，直线[AC]的解析式为[y=3x+3]，两式联立可得点[H35，245]，

过点[A]作[HB]垂线，垂足为[N]，如图8所示，

易得直线[AN]的方程为[y=12x+12]，

将其与直线[DB]的解析式[y=-2x+6]联立，

可得点[N]的坐标为[115，85]，

由点[A、N、H]的坐标可知存在[AN=HN]，

[△AHN]为直角三角形，则[∠H=45°]，

过点[P]作[x]轴的垂线，垂足为[R]，如图9所示，

在[x]轴上取点[S]，使[RS=PR]，则[∠RSP=45°]，

设[P（n ，-n2+2n+3）]，则[S（-n2+3n+3，0）]，

若[∠OPB=∠AHB=45°]，

则在[△OPS]和[△OPB]中，[∠POS=∠POB]，[∠OSP=∠OPB]，

∴[△OPS ]∽[△OBP]，

∴[OPOB=OSOP]，即[OP2=OB·OS]，

故[n2+（n+1）2（n-3）2=3（-n2+3n+3）]，

可得[n=1±52]或[n=0]或[n=3]（舍去）

综上可知，存在满足条件的点[P]，其坐标为[（0，3）]或[1+52，5+52]或[1-52，5-52]。

评注：本题已知抛物线经过点[A（-1，0）]，[C（0，3）]，借助待定系数法可直接解得[y=-x2+2x+3]，顶点坐标为[D（1，4）]，同时可以求得[B（3，0）]，则可得直线[DB]的解析式[y=-2x+6]和直线[AC]的解析式[y=3x+3]，联立两式得[H35，245]；而后通过作辅助线首先证明[∠H=45°]，借助[△OPS ]∽[△OBP]以及根据相似三角形对应边的关系，可得[n=1±52]，则可求得满足条件的点[P]的坐标为[（0，3）]或[1+52，5+52]或[1-52，5-52]。

本文总结了二次函数中常见的几类角度问题，即特殊角问题、角的和差问题、角倍数问题、相等角度问题。虽然各类角度问题的解答方法有所不同，但均需要学生灵活运用角度转化、相似三角形、三角形内角和等知识。在实际的解题过程中，还需要学生能够结合题目信息，灵活运用相关知识，进而快速解答问题。

［" "参" "考" "文" "献" "］

［1］" 谢润忠.二次函数之角度相等问题的求解策略［J］.理科爱好者，2023（5）：74-76.

［2］" 王丽华.二次函数中的角度问题［J］.今日中学生，2023（33）：33-37，48.

［3］" 张建华.二次函数背景下角度问题的解法探究：以2021年中考试题为例［J］.初中数学教与学，2021（21）：30-32，41.

（责任编辑" " 黄春香）