基于已知知识的高效课堂教学研究

［摘 要］传统的数学教学往往将知识划分为孤立的单元来引导学生学习，这种孤立、碎片化的学习限制了学生对知识的综合理解及应用。教师应实施基于已知知识的课堂教学，让学生将新知识与已有知识建立联系，激发学生的学习兴趣和学习能力，促进学生深入理解和有效应用新知识，从而打造高效课堂。

［关键词］已知知识；高效；课堂教学

［中图分类号］" " G633.6" " " " ［文献标识码］" " A" " " " ［文章编号］" " 1674-6058（2024）17-0010-03

在初中数学教学中，遵循学生认知发展的一般规律，搭建已知知识到未知知识的桥梁，是学生理解知识、提升能力的关键。笔者在平时的作业中发现，学生对于如何解决二次函数中的线段、面积最值问题存在一定疑惑。基于此，笔者根据学生学情，以已知知识为基础，以构建高效课堂为目标，在同一个函数背景下设计了一节关于二次函数中的线段、面积最值问题的专题课。本节课气氛活跃，学生参与度高，取得了良好的教学效果，现与读者进行分享。

一、教学过程

环节一 基础热身

引问1：若点[A（2，4）]，[B（2，1）]，求线段AB的长度。

引问2：若[A（x，yA）]，[B（x，yB）]，求线段AB的长度。

对于引问1，学生已经非常熟悉，基本上能够马上解答。在引问1的基础上，笔者将问题一般化，继续提出引问2，学生在稍作思考后能得到当点[A]与点[B]的上下位置关系不确定时，[AB=yB-yA]，笔者引导学生总结得到用坐标表示铅垂线段长的一般方法，即当[AB]∥[y]轴时，[AB=yB-yA]。

紧接着，笔者将引问中的问题置于二次函数背景下，提出下面的开放性问题。

问题1：如图1，抛物线[y=-x2+2x+3]与[x]轴交于点[D]、[E]，与[y]轴交于点[C]，在[CE]上方的抛物线上有一动点[A]。若[xA=2]，过点[A]作[AB]∥[y]轴交[CE]于点[B]，你能求出图中的哪些量？

学生在思考后踊跃发言。

学生1：将[xA=2]代入抛物线的解析式，可以求出点[A]的坐标是（2，3）。

学生2：点[D]、[E]在[x]轴上，令[y=0]，得到方程[-x2+2x+3=0]，解得[xD=-1]，[xE=3]，从而得到[D（-1，0）]，[E（3，0）]。

学生3：知道点[C]和点[E]的坐标后，可以求出直线[CE]的解析式是[y=-x+3]。

学生4：因为[AB]∥[y]轴，所以[xB=xA=2]，代入直线[CE]的解析式可以求出点[B]的坐标是（2，1）。

教师：很好！刚才同学们得到了点的坐标，有了点的坐标，我们就可以求出直线的解析式，除此之外还可以求什么？

学生5：还可以求出线段的长，比如[OC=OE=3]，[OD=1]，[AB=2]。

学生6：因为[OC=OE]，所以[△OCE]是一个等腰直角三角形，[∠OCE=∠OEC=45°]，又因为[AB]∥[y]轴，[∠ABC=∠OCE=45°]。

笔者在问题1的基础上，继续将其中的线段问题一般化，给出变式1。

变式1：若[xA=m]，过[A]作[AB]∥[y]轴交[CE]于点[B]，求线段[AB]的长（用含[m]的式子表示）。

笔者要求学生写出完整的解题过程，并请一名学生叙述自己的解题过程，然后再进行板书。有了前面问题的铺垫，学生不难发现，要求铅垂线段[AB]的长度，只需要将点[A]、[B]的纵坐标表示出来即可，将[xA=m]代入抛物线的解析式可以得到[yA=-m2+2m+3]，将[xB=m]代入直线[CE]的解析式可以得到[yB=-m+3]，进而得到[AB=-m2+3m]。

设计意图：点是构成几何图形最基本的元素，能够用点的坐标表示线段的长是本节课的学习基础。引问从学生较为熟悉的知识入手，坚持“低起点”，从最基本的求线段长度出发，既为后面的线段最值问题的求解铺垫，又符合学生的“最近发展区”，让学生能“跳一跳，摘到桃子”。问题1是一个开放性问题，其中所求解的元素在后面的问题中都可以用到，既为后面的问题解决节省时间，又调动了学生的学习积极性，培养了学生的发散思维。变式1的提出是从特殊到一般的转化。“基础热身”环节给出的几个基本问题，为后续问题的提出和解决埋下了伏笔。

环节二 拾级而上

在用未知数表示出线段[AB]的长度后，笔者提出以下铅垂线段的最值问题。

变式2：过[A]作[AB]∥[y]轴交[CE]于点[B]，求线段[AB]的最大值。

学生思考后给出答案。

学生7：对变式1中的结果[AB=-m2+3m]进行配方，得到[AB=-m-322+94]，因为平方具有非负性，所以[-m-322≤0]，所以[AB≤94]，即[AB]的最大值是[94]。

教师：当[m]取何值时，[AB]取到最大值[94]？

学生8：当[m=32]时，[AB]取到最大值[94]。

教师：[m]能取到[32]吗？你能求出[m]的取值范围吗？

学生9：可以取到，因为点[A]是[CE]上方抛物线上的动点，所以[0lt;mlt;3]。

教师：很好！对于式子[AB=-m2+3m]，我们可以看成[AB]是关于[m]的二次函数，当我们利用配方法求二次函数的最值时，需要考虑自变量的取值范围，只有当顶点的横坐标在自变量的取值范围内，才可以在顶点处取得最值，这是很多同学会忽略的一点。

接着，笔者引导学生对求铅垂线段最值的一般思路进行总结，并趁热打铁，在变式2的基础上提出变式3。

变式3：如图2，过点[A]作[AH⊥CE]于[H]，求线段[AH]的最大值。

教师：刚才我们求的是一条铅垂线段的最值，现在我们稍微改变一下，过点[A]作[AH⊥CE]于[H]，由图可知，线段[AH]相对于坐标轴是倾斜的，我们把这样的线段叫作“斜线段”，它的长度的最大值如何求呢？

在学生思考后，笔者请学生到讲台进行展示。

学生10：可以借鉴变式2的方法，过点[A]作[AB]∥[y]轴交[CE]于点[B]（如图3），所以[∠ABC=∠OCE=45°]，[△ABH]是等腰直角三角形，[AH=AB·sin45°=22AB]，在变式2中求出了[AB]的最大值是[94]，代入得[AH]的最大值是[928]。

教师：真棒！这里除了利用三角函数得到[AH]与[AB]的数量关系，还可以用什么方法？

学生11：利用[△ABH]∽[△ECO]也可以得到[AH=22AB]。

教师：刚才我们已经求出了斜线段[AH]的最大值，那么接下来我们还能求谁的最值呢？

学生12：还能求三角形面积的最值。

教师顺势给出变式4。

变式4：如图4，连接[AC]、[AE]，求[△ACE]面积的最大值。

有了前面问题的铺垫，学生在思考后积极发言。

学生13： 如图5，过点[A]作[AH⊥CE]，因为[S△ACE=12CE·AH]，[CE]是定值[32]，要求[△ACE]面积的最大值，只需求[AH]的最值，过点[A]作[AB]∥[y]轴交[CE]于点[B]，由变式3可以得到[AH=22AB]，所以[S△ACE=322AH=322×22AB=32AB]，线段[AB]的最大值在变式2中已经求出，代入上式就可以得到[S△ACE]的最大值是[278]。

学生14： 我们也可以只作一条辅助线，过点[A]作[AB]∥[y]轴交[CE]于点[B]，则[S△ACE=S△ABC+S△ABE=12AB（xA-xC）+12AB（xE-xA）=12AB（xE-xC）=32AB]，所以只要求[AB]的最值就可以了。

教师：在这里，我们由铅垂线段[AB]的最值得到了“斜线段”（高）[AH]的最值，最后求出了[△ACE]面积的最值。反过来，我们也可以利用割补法直接得到关系式[S△ACE=12AB（xE-xC）=32AB]，进而由[AB]的最值得到[△ACE]面积的最值，再由[S△ACE=12CE·AH]求出斜线段[AH]的最值，这为变式3的解决提供了新的思路。

紧接着，笔者将变式2至变式4中的三个图形整合在一起，让学生观察三个图中点[A]的位置有什么共同点。经过仔细分析，学生很快发现点[A]在直线[CE]的上方。

笔者继续追问：如果点[A]在直线[CE]的下方，还能求出变式2至变式4中的最值吗？从而让学生体会编题的严谨性，为后续引出问题2埋下伏笔。

设计意图：变式2至变式4由浅入深，螺旋式上升，将铅垂线段、斜线段、三角形的面积最值问题在同一个函数背景下连成线，在变式1的基础上解决变式2中铅垂线段的最值问题，在变式2的基础上解决变式3中斜线段的最值问题，进而实现变式4中面积最值问题向线段最值问题的转化。纵观这三个变式可以发现，解决问题的方法可以归根为研究铅垂线段的最值问题。此环节题目不多，但内容丰富，层层递进，既节省了课堂时间，避免了课堂重复，又让学生深刻理解了点、线、面之间的联系，能够帮助学生形成完整的认知体系，培养学生的迁移能力，提高学生的解决问题能力。

环节三 拓展生成

问题2：如图6，已知抛物线[y=12x2-x-4]，点[P]是抛物线上的一个动点，请根据这节课所学的知识添加适当的条件，编一道与线段或面积有关的最值题，并求解。

在给出问题2后，笔者强调设计的题目应具备合理性与严谨性，并让学生进行小组讨论。整个过程学生兴趣高涨，积极思考，大部分学生能够在变式2至变式4的基础上编制常规的线段、面积最值题，并进行求解，也有部分学生自主创新，编制出了较为新颖的题目。

学生15：如图7，已知抛物线[y=12x2-x-4]，点[P]是第四象限抛物线上的一个动点，连接[AC]、[BP]、[CP]，求四边形[ACPB]面积的最大值。我们可以利用割补法求解，连接[BC]，[S四边形ACPB=S△ABC+S△PBC ]，[S△ABC]是定值，所以只要求[△PBC]面积的最大值即可，[△PBC]面积的最大值的求解方法和变式4一样。

学生16：如图8，已知抛物线[y=12x2-x-4]，点[P]是第四象限抛物线上的一个动点，点[Q]是平面内的一个动点，且四边形[BQCP]是平行四边形，当平行四边形[BQCP]的面积最大时，求点[Q]的坐标。

教师：这道题目的综合性较强，如何求解？

学生17：连接[BC]，[S▱BQCP=2S△PBC]，当[▱BQCP]的面积最大时，[△PBC]的面积也最大，利用变式4的方法可以求出点[P]的坐标，再根据平行四边形的性质，利用平移法或中点法即可求出点[Q]的坐标。

经过一系列的生成与问题解决，学生的思维不断碰撞。教师引导学生归纳总结解决这类问题的一般方法，体会“万变不离其宗”的意境。

设计意图：问题2是一个开放性问题，鼓励学生在深刻掌握变式问题的基础上进行编题，可使学生从教师的角度理解所学知识，是培养学生创新能力的有效手段。虽然此处让学生自己探索编题的过程明显比教师直接给出题目让学生做耗时更长，但学生兴趣更加浓厚，思考更加主动，生成更加自然。学生合作探究，可以优化思维过程；学生主动创造，可以提升思维能力，真正成为学习的主人。

二、教学反思

本次教学结合二次函数中的典型问题——线段、面积最值问题，通过问题串的形式将教学内容串成一线，从已知知识层次逐渐转变为能力提升、思维创新层次，环环相扣，层层递进，不同问题间的过渡自然，有利于学生理解。在问题设计上，以同一个函数为背景，在已知方法的基础上引导学生寻找不同问题的解决方法的共性，建立联系点，压缩学生机械演算的过程，增加学生思维的时间，有效地助推了高效课堂的构建，提高了学生的思维能力。

综上可知，教师的教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已知知识的基础上。教学中，教师应着眼于学生的“最近发展区”，创设问题情境引发学生思考，将“未知”与“已知”进行整合串联，引导学生经历知识发展的过程，使学生学会用数学的思维进行演算与推理，进而真正实现高效教学。

（责任编辑 黄春香）