会聚球面波的泰伯效应

陈 然,孙中皋,程世红

(辽宁师范大学 物理与电子技术学院,辽宁 大连 116029)

1836年,泰伯(Talbot)发现用单色平行光垂直照射周期性物体时,在该物体后特定距离处会出现物体清晰的像。这种不用透镜,仅靠光的衍射即可对周期性物体成像的现象称为Talbot效应或无透镜成像效应[1]。随着现代光学的快速发展,泰伯效应不仅被应用于通信[2]中,还在光刻技术[3]以及显微成像[4]中得到应用,并且在非线性光学[5]及量子光学[6]等领域也具有一定的研究价值,所以泰伯效应是光学中很有意义的一个研究课题。目前,对于泰伯效应的研究和应用中光源通常为平行光,而对于光源为球面光产生的泰伯效应研究或应用较少。1995年,文献[7]分析了球面波入射一维光栅的类平面波成像现象。2010年,文献[8]对球面波光源入射一维光栅的泰伯效应进行分析并给出了该条件下的分数泰伯效应的解析式。2021年,文献[9]分析了球面波入射到二维振幅型光栅的泰伯效应并进行了实验验证。球面波包括发散球面波和会聚球面波,文献[7]至[9]探讨的均是发散球面波作为入射光的泰伯效应,对于会聚球面波作为入射光的泰伯效应的讨论尚未见报道。

本文对会聚球面波入射二维振幅型光栅的泰伯效应进行研究,首先从理论上应用傅里叶变换和菲涅尔-基尔霍夫衍射理论推导了该情况下像面光场分布表达式,分析了泰伯像、对比度反转的泰伯像以及分数泰伯像的成像条件;其次通过实验对理论分析进行验证并讨论了泰伯像的变化规律,实验中选择合适的级次,通过改变频谱面至光栅的距离,得到对应实际测量的泰伯距离,并与该级次的理论值进行对比。

1 理论分析

图1 会聚球面光的单光栅衍射系统

1.1 像面光场分布表达式

与文献[9]对发散光下像面光场分布表达式推导类似,会聚球面光下的光场分布推导采用傅里叶变换和菲涅尔-基尔霍夫衍射理论。

二维光栅透过函数的傅里叶级数形式为

(1)

其中d为二维光栅的光栅常数,m和n为正常数。

由会聚波的性质,在O′之前距离为Z0的物体前表面的光场复振幅分布为[11]

(2)

A是与振幅相关的常数,x0,y0是光栅面任意点的坐标,则光栅出射面光场复振幅分布为

U(x0,y0)=u0(x0,y0)·t(x0,y0) 。

(3)

根据傅里叶变换形式的菲涅尔衍射公式,可得光传播距离为Z1时的光场复振幅分布为

(4)

式(4)整理可得

(5)

(6)

1.2 成像条件

1.2.1 泰伯像

(7)

1.2.2 对比度反转泰伯像

(8)

1.2.3 分数泰伯像

(9)

由公式(9)可见,像面光场复振幅分布空间相位均延迟或超前π/2,此时的像成为泰伯子像。

1.3 成像规律

依据成像条件可以看出,泰伯像与对比度反转泰伯像是交替出现的。并且若Z0固定,当Z1小于Z0时,N取正值,并随着Z1的增加,周期放大率M逐渐缩小且一直小于1,表现为像逐渐减小。当Z1大于Z0时,N取负值,并随着Z1的增加,周期放大率M逐渐变大,表现为像逐渐放大,其中Z1=2Z0时,像与光栅等大。像面大小的变化特性随级数N的改变如图2所示。

图2 像面大小随级数N的变化情况示意图

2 实验验证

2.1 实验装置

如图3,成像系统由平行导轨、激光光源、透镜组、样品光栅以及CCD相机组成。光源选用氦氖激光器(波长为632.8 nm),经由扩束镜和焦距为100 mm的透镜组成的透镜组准直扩束并形成会聚球面光。样品光栅为15 mm*20 mm的二维振幅型光栅,周期为0.5 mm,不透光方形孔边长为0.3 mm。

图3 成像系统实物图

2.2 实验分析

(a) Z1=620 cm

通过选定特定级数,改变光栅到频谱面的距离Z0,测量得到相应的实验值Z1,并将其与公式所计算的理论值对比进行验证。实验发现,当N取正时,像面过亮并且变化较快,不易测量准确值,故取N为负值时的第一泰伯像进行验证,当N=-1时Z0与Z1的关系满足

(10)

通过物像公式算得点光源的像点(即光栅的频谱面)位于148 cm处,光栅起始位置置于78 cm处,以2 cm为单位逐步缩小Z0,得到的部分泰伯像如图5所示。

(a) Z0=52 cm;Z1=156 cm

随着频谱面至光栅面的距离Z0的变化,Z1和周期放大率M也随之变化。图5(a)～(d)的周期放大率理论值分别为ma=1.923;mb=2.776;mc=4.266;md=7.786,实拍图片也验证了这种放大现象。实验中由于成像距离逐渐变远,成像亮度有所降低。

将实验设定的Z0值、运用理论计算得到的Z1值以及实际测量的Z1值记录如表1所示。

表1 改变z0时成像距离z1的实验值与理论值对比

图6为Z0以2 cm为单位改变时,Z1理论值与实验值的数据变化对比。

Z0/cm图6 成像距离Z1实验值与理论值随Z0的变化

3 结 论

对会聚球面波入射产生的泰伯效应进行了理论分析,得到了相应的成像条件,实验验证了测量结果和理论推导一致。会聚球面光照射光栅在N取正时可以获得缩小的泰伯像,在N取负时可以获得放大的泰伯像。同时获得大小可调的光栅的像有利于拓展光栅自成像的应用。本文的实验以及相关的理论研究完善了泰伯效应理论,有利于拓展泰伯效应的实际应用。