非对称垂荡式振荡水柱波能转换装置的水动力性能

2023-12-21鲍锦涛程一帆邓争志叶杨莎

海洋工程 2023年6期

鲍锦涛，程一帆，邓争志，叶杨莎

（1.浙江大学海洋学院，浙江舟山 316021；2.南京水利科学研究院，江苏南京 210029）

随着世界经济的快速发展以及全球人口的不断增长，传统化石燃料资源日渐枯竭，人类正逐步向以可再生能源为主的绿色低碳、可持续能源时代迈进［1］。海洋拥有广阔的表面积，蕴含的可再生能源储存量非常丰富，而中国也有着丰富的海洋能资源，有着巨大的潜力［2］。其中波浪能具有能量集中、对环境负面影响小等优势［3］，已受到很多国家和地区的重视［4］。20世纪70年代爆发的石油危机促使人类加快了对波浪能转换装置（WEC）的研究。为了高效提取海洋中的波浪资源，各式各样的波能转换装置应运而生。在大量的研究中，振荡水柱（OWC）型波能转换装置因其结构和机械上的简单性而被认为是最有前景的一种［5］，在海洋工程领域得到了广泛的应用。

当前对OWC型波能转换装置的研究方法主要有理论分析、数值模拟和物理试验3种。理论分析主要基于线性势流理论，建立一个解析模型来探究OWC装置水动力性能的过程。早期，Evans［6］考虑气室尺寸较小将内部的水柱振荡近似为失重活塞运动，提出OWC的波能转换理论。Sarmento和De O Falcão［7］首先考虑了空气压缩性的影响，并指出其影响可用线性化方法表示。近十年，Deng 等［8］提出一种有助于装置在较宽波频范围内实现功率高效提取的新型V 形通道OWC 系统。He等［9］通过理论模型，研究了气室宽度、壁面吃水深度和空气室体积对桩承式OWC防波堤波功率提取的影响。Rezanejad等［10］用匹配本征函数展开和边界积分方程两个不同的方法来求解相关边值问题，表明阶梯式海底有助于提高设备的性能。Wang和Zhang［11］基于势流理论对前墙和后墙分别可纵荡的海上OWC 装置的波能提取效率性能进行探究，指出较小的弹簧刚度能显著提高装置整体转换效率。在数模和物模试验方面，López等［12］建立了一个基于RANS方程和流体体积法（VOF）的表面捕获方案二维数值模型，对OWC涡轮室耦合进行深入研究分析。Ning等［13］通过时域高阶边界元法探究了OWC 装置的水动力性能。Ning 等［14］从气室宽度、前壁吃水深度和孔口尺度等方面对固定振荡水柱波能转换器的影响进行了试验研究。此外，胡航辉等［15］结合理论分析和数值模拟的方法探究了在不同波浪条件下，结构几何尺寸对离岸式OWC 装置性能的影响。王鹏等［16］提出一种能有效提升消波性能，带有水平底板的振荡水柱式新型防波堤。Wang 等［17］基于势流理论和时域高阶边界元方法，建立了一个全非线性数值模型，对陆基双室OWC装置的物理参数波浪力和弯矩展开研究。Kim等［18］提出了一种基于三维势流的时域数值方法来分析倾斜振荡水柱波能转换器的性能，得到倾斜OWC 腔的主要几何参数与水动力响应之间的关系。Chen等［19］研究了双圆柱沉箱防波堤扇形振荡水柱装置的气动阻尼特性和水动力性能，提出用压力法来计算通过风管的气流速度。郭权势等［20］通过数值方法探究了垂荡双气室OWC 的水动力特性，研究发现通过垂向弹簧的相位控制，可以增大气室内水柱和装置本身垂荡运动的相位差，从而拓宽高效频率带。

传统对称式（前后墙吃水深度沿气室中线对称）单气室透空式OWC 装置的最大转换效率只能达到0.5［7］，而合理的非对称结构能起到收集波能并增强波振幅的作用。Deng等［21］通过试验和数值模拟相结合的方式研究了桩基方箱式防波堤集成的非对称OWC 装置的水动力特性，结果显示非对称结构的存在有利于部分驻波的形成，从而提高波能转换效率。Medina Rodríguez 等［22］理论分析了非对称固定式OWC 装置的水动力特性，结果显示吃水较浅的前墙使得更多的能量传播进气室内被吸收，有效拓宽装置的高效频率带。基于势流理论，应用匹配特征函数展开法对波浪与可垂荡的非对称OWC 装置相互作用的边界值问题进行求解，从后墙吃水（非对称性）深度、墙体厚度和弹簧刚度3方面探究了装置的各项水动力性能。

1 控制方程与边界条件

如图1所示，二维单气室透空式振荡水柱（OWC）波能转换装置部署在静水深为h的海面上，装置前后墙厚度分别为b3，b4，吃水深度分别为d1，d2；气室宽度为2b；气室高度为c；其中装置被弹性系数为K的线性弹簧连接于海底（用于近似模拟线性锚链系统）。

图1 非对称垂荡式振荡水柱波能转换装置示意Fig.1 Sketch of asymmetric oscillating water column device in heave

将气室的中线与静水面的交点作为直角坐标系的原点，x轴与静水面线重合，z轴竖直向上，入射波沿着x轴正方向传播。根据结构几何特征，整个流场被划分为5个子区域，分别记为Ω1，Ω2，Ω3，Ω4和Ω5。

记入射波的频率为ω，可以将速度势Φ和P分离出时间变量t：

其中，i = -1，pc表示压强的复振幅。基于无旋无黏的理想流体假设，速度势ϕ(x，z)在整个流场中满足Laplace方程：

在自由表面区域，结合动力学及运动学边界条件，速度势应该满足：

其中，g为重力加速度，n为指向流场外部的物面法向量，Un为和n同方向的物面法向速度。此外，速度势ϕ(x，z)在x→∞处满足Sommerfeld辐射边界条件。

对于上述线性边值问题，速度势可以分解为3个部分：

其中，ϕS表示为OWC 装置固定不动且气室内压强与外部一致时，入射波与整个结构物相互作用产生的速度势复振幅，ϕR1为在没有入射波且装置固定时，气室内液面上的压力振荡在流体区域产生的速度势复振幅，ϕR2为在没有入射波且气室内压强与外部一致时，由于装置整体上下垂荡运动而产生的速度势复振幅。因此，需关联运动方程和功率输出（PTO）模型求解。

2 运动方程和PTO模型

2.1 运动方程

该结构受到波浪、气室内压强、浮力、重力及弹簧共同作用，其中弹簧力均匀作用于整体装置，不会产生倾覆的力矩，此时装置只沿z轴做理想的垂荡运动，由牛顿第二定律得：

2.2 PTO模型

对于气室中空气质量变化与线性PTO 装置之间的关系，采用Sarmento 和De O Falcão［7］提出的方程来计算，通过线性涡轮的质量通量和气室内外压差呈正比的关系，列出具体方程表达式：

式中：χ表示无量纲的透平参数，a11，a12，a21，a22，X1，X2为了使转换效率的表达式更为简洁。波能转化效率的最大值可以通过对透平参数进行求导得出，即∂E/∂χ= 0，通过计算可得最优值为：

3 理论求解过程

3.1 势函数表达式

由式（6）可知，整个计算的求解可以分为衍射和辐射问题来进行研究。上标S，R1和R2分别对应衍射和两个辐射问题，不同问题下的边界条件参数为：

3.2 结构物尖角处奇点的处理

在结构物尖角拐点处，由于附近流线的剧烈变形，在数值计算的过程中会出现有奇异性的病态矩阵而影响结果。在x= ±b，-b1和b2的OWC 装置结构拐角处，流场出现了270°的变形，使得流动奇点表现为|z+di'|-1/3(i' = 1，2)的特征。因此采用Porter和Evans［23］、Deng等［24］的方法，引入以下4个辅助函数来表示公共边界上未知的水平向速度：

3.3 重要参数计算

取势函数和公共界面速度分布函数的截断项分别为M，L，R，S，P和Q。再利用公共界面上速度和压力连续的条件，可以得到一个方程和未知数个数都为R+S+P+Q+ 6的线性方程组，最终求解所有未知系数，由η= iω/gϕ(z= 0)，可得反、透射系数：

4 收敛性及结果验证

4.1 计算收敛性验证

表1 中取M=L= 400 和R=S=P=Q= 6，N的数值从35 增大到55 的过程中，各参照值的波动量基本维持在小数点后第3位，由此可见数值计算结果符合收敛性要求，在后续的数值计算过程中取N= 50。

表1 针对N的收敛性验证(M=L=400, R=S=P=Q=6)Tab.1 Convergence verification for N(M=L=400, R=S=P=Q=6)

同理，根据表2和表3中的数据可知，当设定R=S=P=Q= 6时，基本能够满足计算精度。

表2 针对R和Q的收敛性验证(M=L=400, N=50, S=P=6)Tab.2 Convergence verification for R and Q(M=L=400, N=50, S=P=6)

表3 针对S和P的收敛性验证(M=L=400, N=50, P=Q=6)Tab.3 Convergence verification for S and P(M=L=400, N=50, P=Q=6)

4.2 计算结果验证

基于整个计算过程是依据势流理论得出，所以不考虑黏性的耗散。波浪与OWC 装置相互作用的过程中，入射波的能量会被分为3 个部分，第一部分是反射回来的反射波携带的能量，第二部分是通过PTO 装置转化为机械能，剩余能量则是透过该结构物继续传播的透射波携带的能量。因此入射波能量应该等于3 个部分能量总和，即Eopt+C2r+C2t= 1。取工况b/h= 0.25，c/h= 0.5，b3/h=b4/h= 0.1，d1/h=d2/h= 0.3，K= 0。观察图2不难发现，波能转化效率Eopt曲线与波浪发生反射、透射后剩余的能量1 -C2r-C2t曲线吻合很好。

图2 能量守恒验证Fig.2 Verification of energy conservation

再将文中建立的模型取极限情况与前人的结果进行对比，即d2/h≈1，d1/h= 0.5，b3/h=b4/h≈0和b/h=1/16 且忽略气室高度与Porter 和Evans［23］的计算结果进行对比。对比结果如图3 所示，可以见其与参照结果吻合良好，证明了研究所用代码的准确性。

图3 与Porter和Evans[23]结果对比Fig.3 Comparison with the results by Porter & Evans[23]

5 结果与分析

前墙吃水和气室宽度对OWC 装置水动力性能的影响在文献中已有大量研究［8，15］，文中重点关注后墙吃水深度d2，前后墙宽度b3=b4和弹簧弹性系数K这3 个参数对垂荡式振荡水柱波能转换装置水动力性能的影响规律。在以下的研究中，前墙吃水深度d1/h= 0.1，半气室宽度b/h= 0.3，气室高度c/h= 0.2 保持不变。为简便，装置竖向位置振幅|ŝ|和气室内平均液面高程振幅|-η|分别用s和η表示。

5.1 后墙吃水深度（非对称性）的影响

固定前后墙厚度为b3/h=b4/h= 0.2，弹性系数K= 0（自由垂荡运动），分别讨论后墙吃水深度d2/h= 0.1，0.2，0.3，0.4 和0.5 这5 种情况，其中d2/h取0.1 时，该OWC 装置为对称结构，而当d2/h＞0.1 时，装置呈现非对称特征。

从图4 可以看出，随着后墙吃水深度的增加，波浪的透射系数总体上在大幅减小。这是因为后墙变深，使得更多的波能被拦截在气室内或反射回去，从而显著增强该结构物整体的消波性能。

图4 不同后墙吃水深度下的透射系数Fig.4 Transmission coefficient under different back-wall drafts

如图5所示，装置竖向位移振幅和气室内平均液面高程振幅曲线都呈现明显的多峰现象，且图5（a）中曲线峰值对应的频率与图5（b）中峰值频率基本相同，可见装置竖向位移与气室内平均波高相互影响。图5（a）和5（b）中，从左往右第一个峰是由气室内水柱与波浪发生共振产生的，峰值随d2/h增加而增大并向低频区移动。在波频2.5 ＜ω2h/g＜4.5 区间上第二个峰是由装置与波浪产生共振引起的，峰值随后墙加深向左移动，数值变大，形态变陡。右侧最小的峰是由气室内水柱发生剧烈晃荡而引起的，这是一种共振晃动现象，基本不随后墙吃水而变化。

图5 不同后墙吃水深度下的装置竖向位移和气室内平均液面高程振幅Fig.5 Amplitude of vertical displacement and average surface elevation inside chamber with different back-wall drafts

图6（a）和6（b）分别表示装置竖向位移与气室内平均液面高程振幅的相位差和波能装换效率。图6（b）中d2/h= 0.1曲线反映当装置对称时，波能转换曲线只存在一个由装置与波浪发生共振产生的峰值，且最大值仅为0.5，而随着后墙吃水加深(d2/h＞0.1)，装置前后墙吃水深度沿气室中线的不对称性使得效率曲线出现双峰特征，且最大效率数值均大于0.5。同时，可以发现双峰的波频与图5 中的装置发生共振以及水柱发生晃荡模态时的频率相对应，说明波浪与OWC 系统中的某子部分发生共振时，转换效率会显著增加。结合图5（b）可知，当波长较大(0 ＜ω2h/g＜2)，虽然气室内水柱与波浪发生共振，图6（b）中的转换效率却很低，是因为此时图6（a）中相位差较小，气室内水柱与装置几乎同步上下运动，使得气室内气体体积变化很小，从而影响了OWC装置最终的波能转换性能。

图6 不同后墙吃水深度下的相位差和波能转换效率Fig.6 Phase difference and optimal wave energy conversion efficiency under different back-wall drafts

当OWC装置为非对称结构时，转换效率的最大值会突破0.5，同时也会使最佳转换效率曲线出现一个新的峰值，合适的非对称结构尺寸能够拓宽OWC 装置的高效频率带。根据不同地区的波浪条件，需要选择合适的后墙尺寸，当后墙吃水深度取d2/h= 0.2 时，装置在3.5 ＜ω2h/g＜6 波频范围内波能转换效率均大于0.35，且高效频率带峰值处的转换效率能超过0.7，因此在后续的研究中暂时选取d2/h= 0.2。

5.2 前后墙厚度的影响

在选取后墙吃水d2/h= 0.2，弹簧弹性系数K= 0 且前后墙厚度一致，即b3=b4的情况下，探究了墙体厚度对波能转换装置性能的影响，后续为简便，图例只用b3/h表示。

图7中的透射系数曲线表明，当墙体厚度增加时，该波能转换装置对相对较长的波(ω2h/g＜3)以及较短波(4.8 ＜ω2h/g＜6)的消浪性能会加强。而在中频波段(3 ＜ω2h/g＜4.8)，存在一个左移且峰值增大的峰，消浪性能会有一定程度的减弱。整体上，墙体厚度的增加会提高该装置的消波能力。

图7 不同墙厚下的透射系数Fig.7 Transmission coefficient under different thicknesses of wall

如图8（a）所示，随着墙体厚度的增加，装置竖向位移振幅明显减小，3个分别由气室内水柱共振、装置自身垂荡共振和水柱晃动共振产生的峰都呈减小趋势，并且向低频区移动。图8（b）中的每条曲线也存在与振幅s曲线对应的峰，随着墙厚的增加，3 个峰都向低频区移动，但第一个峰的数值逐渐减小，后两个峰值反而增加。这是因为墙厚增加导致装置整体质量变大，装置的垂荡运动对液面变化的影响加大，同时达到晃荡频率后气室内的晃荡运动也更为剧烈。

图8 不同墙厚下装置竖向位移和气室内平均液面高程振幅Fig.8 Amplitude of vertical displacement and spatial-averaged surface elevation inside chamber under different thicknesses of wall

图9（a）为相位差，结合图8 可得相对气室内气体变化。图9（b）中的波能转换曲线同样呈现双峰特征，随着墙体变厚，双峰均向低频区移动（装置本身自然周期变大），左侧由装置与波浪共振引起的峰值会减小，右侧因为气室内发生晃荡而共振引起的峰值会增加且形态变得更陡。结合图7可以发现透射曲线的峰值与转换效率曲线峰值的横坐标一一对应，水柱发生共振时，透射系数也会增大。整体上，墙体厚度的增加会提高该装置的消波能力。考虑更好地吸收3 ＜ω2h/g＜5范围内的波，后续取墙厚b3/h=b4/h= 0.2。

图9 不同墙厚下的相位差和波能转换效率Fig.9 Phase difference and optimal wave energy conversion efficiency under different thicknesses of wall

5.3 弹簧弹性系数的影响

固定前后墙吃水深度分别为d1/h= 0.1，d2/h= 0.2，墙体厚度为b3/h=b4/h= 0.2，半气室宽度b/h= 0.3，气室高度为c/h= 0.2 的前提下，分别探究了弹簧弹性系数（弹簧刚度）K= 0，104，105，106和108这5 种情况下垂荡式振荡水柱波能转换装置的透射系数Ct、相位差Θ和最佳波能转化效率Eopt的变化情况。

观察图10可知，弹簧弹性系数越大，整体的透射系数越小，即该装置的阻波能力就越强。

图10 不同弹簧刚度下的透射系数Fig.10 Transmission coefficient under different spring stiffnesses

图11（a）反映随着弹簧弹性系数的增大，装置的竖向位移振幅明显在减小，当K= 108时，振幅数值均趋近于0，说明装置近乎处于固定状态。结合图10透射系数曲线可知，相比于可上下垂荡的装置，固定的装置有更好的阻波性能。图11（b）中曲线反映出，弹簧弹性系数的增加，气室内平均液面高程呈下降趋势，且由于装置竖向位移的减弱，η曲线的特征由三峰向双峰转变（装置与波浪共振产生的峰值消失）。

图11 不同弹簧刚度下装置竖向位移和气室内平均液面高程振幅Fig.11 Amplitude of vertical displacement and average surface elevation inside chamber under different spring stiffnesses

如图12（b）所示，随着弹簧刚度的增加(K= 0 →105)，气室内水柱与波浪发生共振时装置的垂荡运动和气室内波面运动不再是同步上下运动的（参考图12（a）中0 ＜ω2h/g＜2 的波频范围），而是两者间出现了一定的滞后现象，使得在气室内水柱发生共振时，最佳波能转换效率Eopt会有明显提高（出现新的峰值）。而由于装置还没被完全固定，最佳波能转换效率曲线中与图11（a）中装置竖向位移振幅曲线相对应的峰值也被保留下来。此时(K= 105)，水柱共振和装置共振机制效应同时表现在了最佳波能转换效率曲线上（出现双峰特征），整体的高效率频率带被明显拓宽。

图12 不同弹簧刚度下的相位差和波能转换效率Fig.12 Phase difference and optimal wave energy conversion efficiency under different spring stiffnesses

为了进一步探究，选取6个K= 105附近的弹簧刚度值进行验证，结果如图13所示。

图13 弹簧刚度取值在K = 105附近的最佳波能转换效率Fig.13 Optimum wave energy conversion efficiency around K = 105

可以发现在K从0.8 × 105增大至3.5 × 105的过程中，高效频率带的带宽在不断增加，但当弹簧系数从K= 1.5 × 105增大至3.5 × 105过程中在所研究的波浪中频区间(2.5 ＜ω2h/g＜4.5)最优转换效率逐渐减少。再观察图12（b）可知，当K取更大值时(K≥106)，装置接近于固定状态，由于缺少了整体装置与波浪的共振机制，图中对应装置与波浪共振产生的波能转换效率峰值消失，导致整体高效频带变窄。依据图13可知，弹簧刚度K取1 × 105～3 × 105时，OWC装置有较为理想的波能提取性能。