高等背景，初等解法
2023-12-18蓝云波
蓝云波
2023年是继续深化高考改革的一年，新高考数学全国卷试题的命制也体现了《中国高考评价体系》中提出的一核四层四翼的考查要求，突出地落实考查了考生的数学核心素养.特别是新高考Ⅱ卷的导数压轴试题，主要考查了考生的逻辑推理、数学运算、数学抽象等数学核心素养，对考生具有较大的挑战性.为帮助大家更加高效地进行新一轮的高考备考，下面，我通过对2023年新高考全国Ⅱ卷导数压轴题分析，谈谈试题赏析、解法探究、题源分析、高数背景揭示与教学反思，以期对广大师生备考有所帮助.现分析如下，供大家参考．
2023年新高考全国Ⅱ卷导数压轴题为：
【试题】（1）证明：当0 （2）已知函数f（x）=cos ax-ln（1-x2），若x=0是f（x）的极大值点，求a的取值范围． 一、试题赏析 2023年全国Ⅱ卷数学科第22题是一道典型的函数与导数压轴试题，试题叙述简洁，整道试题易于入手而深入较难.试题的第一问源于课本而略高于课本难度，难度较为适中，考查了运用导数证明不等式这一核心考点，体现出高考重点问题重点考查的原则.第二问与三角函数进行交汇，集中考查了函数的极值、不等式、函数的奇偶性等考点，较为深入地考查了考生的化归与转化、分类讨论等数学思想方法.試题难度较大，体现出高考压轴题作为人才选拔的重要功能． 2023年新高考Ⅱ卷导数压轴题是一道具有深刻高等数学背景的典型试题，纵观近几年全国卷高考数学试题，不难发现，涌现出越来越多的高观点背景的试题.本题第一问以泰勒公式作为背景进行试题的构建，并为第二问的不等式的放缩奠定了基础，第二问则以高等数学中的极值第二充分条件作为背景进行试题的构建，但解题的方法却可以很初等，这体现出高考命题人高屋建瓴的命题艺术． 二、解法探究 1.第一问的解答 设F（x）=x-sin x，x∈（0，1），则f′（x）=1-cos x>0对x∈（0，1）恒成立，则F（x）在（0，1）上单调递增，可得F（x）>F（0）=0，所以x>sin x，x∈（0，1）； 设G（x）=sin x-（x-x2）=x2-x+sin x，x∈（0，1），则G′（x）=2x-1+cos x，x∈（0，1），设g（x）=G′（x），x∈（0，1），则g′（x）=2-sin x>0对x∈（0，1）恒成立，则g（x）在（0，1）上单调递增，可得g（x）>g（0）=0，即G′（x）>0对x∈（0，1）恒成立， 则G（x）在（0，1）上单调递增，可得G（x）>G（0）=0，所以sin x>x-x2，x∈（0，1）. 综上，当0 【点评】众所周知，高考压轴题是很多考生的梦魇，但并非一分都难于得到，只要具有扎实的基础知识，一般来说，做对第一问，在大多数情形下是并不困难的.因此考生必须克服对压轴题的恐惧心理，并预留一定的作答时间，是可以得到一定的分数的.如本题第一问，只要直接移项并构造函数进行证明不等式，即可获得问题的求解，而这种方法也是十分常规的． 2.第一问的解答 （解法1）（放缩法）令1-x2>0，解得-1 因为y=-lnu在定义域内单调递减，y=1-x2在（-1，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减，则f（x）=-ln（1-x2）在（-1，0）上单调递减，在（0，1）上单调递增，故x=0是f（x）的极小值点，不合题意，所以a≠0． ②当a≠0时，令b=a>0. 因为f（x）=cos ax-ln（1-x2）=cos（ax）-ln（1-x2）=cos bx-ln（1-x2），且f（-x）=cos（-bx）-ln［1-（-x）2］=cos bx-ln（1-x2）=f（x），所以函数f（x）在定义域内为偶函数，由题意可得：f′（x）=-bsin bx-2x/x2-1，x∈（-1，1），（ⅰ）当0 所以x=0是f（x）的极小值点，不合题意. （ⅱ）当b2>2时，取x∈0，1/b（0，1），则bx∈（0，1），由（1）可得f′（x）=-bsin bx-2x/x2-1<-b（bx-b2x2）-2x/x2-1=x/1-x2（-b3x3+b2x2+b3x+2-b2），设h（x）=-b3x3+b2x2+b3x+2-b2，x∈0，1/b， 则h′（x）=-3b3x2+2b2x+b3，x∈0，1/b， 且h′（0）=b3>0，h′1/b=b3-b>0，则h′（x）>0对x∈0，1/b恒成立，可知h（x）在0，1/b上单调递增，且h（0）=2-b2<0，h1/b=2>0，所以h（x）在0，1/b内存在唯一的零点n∈0，1/b，当x∈（0，n）时，则h（x）<0，又因为x>0，1-x2>0，所以f′（x） 综上所述：b2>2，即a2>2，解得a>2或a<-2， 故a的取值范围为-∞，-2∪2，+∞． 【点评】解法1通过换元b=a，避免了一部分情形的讨论，当然不进行这样的换元也是可以的，如后面的解法2.在解答过程中，如何进行分类讨论是解答的难点，可通过利用第一问的结果对f′（x）进行放缩，并结合表达式的特点观察得到.解题的关键在于当0 （解法2）（直接法）因为f（x）=cos ax-ln（1-x2）（-1 所以f′（x）=-asin ax+2x/1-x2（-1 ①当a=0时，当x∈（0，1）时，f′（x）>0，f（x）单调递增，当x∈（-1，0）时，f′（x）<0，f（x）单调递减，所以x=0是f（x）的极小值点，不合题意． ②当a>0时，令m=minπ/2a，1，则当x∈（0，m）时，易知n′（x）>0，所以n（x）单调递增，所以t′（x）=n（x）>n（0）=2-a2． （ⅰ）当2-a2≥0，即0 所以t（x）在（0，m）上单调递增，所以f′（x）=t（x）>t（0）=0，所以f（x）在（0，m）上单调递增，由偶函数的性质知f（x）在（-m，0）上单调递减． 所以x=0是f（x）的极小值点，不合题意． （ⅱ）当2-a2<0，即a>2时，当π/2a≤1，即a≥π/2时，因为t′（0）<0，t′π/2a>0，所以x1∈（0，m），使得t′（x1）=0，当x∈（0，x1）时，t′（x）<0，t（x）单调递减，此时f′（x）=t（x） 所以f（x）在（0，x1）上单调递减，由偶函数的性质知f（x）在（-x1，0）上单调递增． 所以x=0是f（x）的极大值点，满足题意． 当π/2a>1，即2 所以f（x）在（0，x2）上单调递减，由偶函数的性质知f（x）在（-x2，0）上单调递增． 所以x=0是f（x）的极大值点，满足题意． ③当a<0时，由偶函数f（x）的图像的对称性可得a<-2． 综上，a的取值范围为-∞，-2∪2，+∞． 【点评】解法1利用了第一问的不等式进行放缩求解，解法2则直接多次求导进行解答，对考生的能力要求更高.解题中分类讨论的关键在于对t′（0）=n（0）=2-a2的符号的讨论，这需要考生具有较强的逻辑推理与洞察问题能力.本题没有通过换元b=a进行求解，当然利用这样处理也是可以的，读者不妨一试． 三、题源探究 2023年新高考全国Ⅱ卷导数压轴题是一道具有较大难度的试题，对考生的能力要求较高.实际上，与这道导数压轴题具有相同背景的试题在历年的高考试题中也出现过，如2018年高考北京卷第19题，只不过相比北京卷高考题，难度更大，但考查的方式则是一致的． 【题源】（2018年北京卷文科数学第19题）设函数f（x）=［ax2-（3a+1）x+3a+2］ex． （1）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为0，求a； （2）若f（x）在x=1处取得极小值，求a的取值范围． 【解析】（1）因为f（x）=［ax2-（3a+1）x+3a+2］ex，所以f′（x）=［ax2-（a+1）x+1］ex． f′（2）=（2a-1）e2，由题设知f′（2）=0，即（2a-1）e2=0，解得a=1/2． （2）由（1）得f′（x）=［ax2-（a+1）x+1］ex=（ax-1）（x-1）ex． ①若a>1，则当x∈1/a，1时，f′（x）<0；当x∈（1，+∞）时，f′（x）>0.所以f（x）在x=1处取得极小值． ②若a≤1，则当x∈（0，1）时，ax-1≤x-1<0，所以f′（x）>0.所以1不是f（x）的极小值点． 综上可知，a的取值范围是（1，+∞）． 【点评】本题的考查方式与2023年新高考全国Ⅱ卷导数压轴题是一致的，只不过难度没有那么大，但考查的内核则是一致的． 四、高数背景揭示 通过对2023年新高考全国Ⅱ卷导数压轴题进行解法探究与题源揭示，笔者发现，本题具有浓郁的高等数学知识背景，主要体现在两方面，一是第一问的命题背景是正弦函数的泰勒公式，二是第二问的命题背景是极值的第二充分条件.如果能适当了解一些高等数学知识背景，无疑对解题是具有极大的帮助的． 1.泰勒公式 sin x=x-x3/3！+x5/5！-…+（-1）n-1x2n-1/（2n-1）！+ο（x2n）（x→0）． 2.极值的第二充分条件 设函数y=f（x）在x=x0处二阶可导，且f′（x0）=0，f″（x0）≠0，则当f''（x0）<0时，f（x0）是函数y=f（x）的极大值；若f''（x0）>0，f（x0）是函数y=f（x）的极小值． 利用泰勒公式，可以得到2023年新高考全国Ⅱ卷导数压轴题第一问的其他解题思路：可先构造函数先证明sin x>x-x3/3！，即sin x>x-x3/6，又因为x-x3/6>x-x2，所以sin x>x-x2． 利用极值第二充分条件，可以得到如下的2023年新高考全国Ⅱ卷导数压轴题第二问的高等解法： （解法3）（高等解法）因为f（x）=cos ax-ln（1-x2），x∈（-1，1）， 所以f'（x）=-asin ax--2x/1-x2=-asin ax+2x/1-x2， 满足f'（0）=-asin 0+0=0． f''（x）=-a2cos ax+2-2x2+4x2/（1-x2）2=-a2cos ax+2+2x2/（1-x2）2，所以f''（0）=-a2+2． 由极值的第二充分条件得f''（0）=-a2+2<0，解得a<-2或a>2． 所以a的取值范围为-∞，-2∪2，+∞． 2023年新高考全国Ⅱ卷导数压轴题第二问的高数背景是极值第二充分条件，事实上，在高考中，以极值的第三充分条件为背景的试题也曾考过，如2018年高考全国Ⅲ卷理科数学导数压轴题． 3.极值的第三充分条件 设函数y=f（x）在x=x0处n（n≥2）阶可导，满足f′（x0）=f″（x0）=…=f（n-1）（x0）=0，且f（n）（x0）≠0． （1）若n为偶数，那么x0是函数y=f（x）的极值点，且当f（n）（x0）>0时，f（x0）是函数y=f（x）的极小值，当f（n）（x0）<0时，f（x0）是函数y=f（x）的极大值； （2）若n为奇数，那么x0不是函数y=f（x）的极值点，但x0是函数y=f（x）的拐点． 【试题】（2018年高考全国Ⅲ卷理科数学第21题）已知函数f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）-2x． （1）若a=0，证明：当-1 （2）若x=0是f（x）的极大值点，求a． 【解析】（1）当a=0时，f（x）=（2+x）ln（1+x）-2x，f′（x）=ln（1+x）-x/1+x. 设函数g（x）=f′（x）=ln（1+x）-x/1+x，则g′（x）=x/（1+x）2. 当-1 所以f（x）在（-1，+∞）上单调递增． 又f（0）=0，故当-1 （2）①若a≥0，由（1）知，当x>0时，f（x）≥（2+x）ln（1+x）-2x>0=f（0），这与x=0是f（x）的极大值点矛盾，不合题意； ②若a<0，设函数h（x）=f（x）/2+x+ax2=ln（1+x）-2x/2+x+ax2，由于当｜x｜ 又h（0）=f（0）=0，故x=0是f（x）的极大值点，当且仅当x=0是h（x）的极大值点.又因为h′（x）=1/x+1-2（2+x+ax2）-2x（1+2ax）/（2+x+ax2）2=x2（a2x2+4ax+6a+1）/（x+1）（2+x+ax2）2， （ⅰ）如果6a+1>0，则当0 （ⅱ）如果6a+1<0，则a2x2+4ax+6a+1=0存在根x1<0，故当x∈（x1，0），且｜x｜ （ⅲ）如果6a+1=0，则h′（x）=x3（x-24）/（x+1）（x2-6x-12）2，则当x∈（-1，0）时，h′（x）>0；当x∈（0，1）时，h′（x）<0． 所以x=0是h（x）的极大值点，从而x=0是f（x）的极大值点． 综上，a=-1/6． （解法2）（高等解法）因为f′（x）=（1+2ax）ln（1+x）+2+x+ax2/1+x-2，且f′（0）=0，f″（x）=2aln（1+x）+3ax2+4ax+x/（1+x）2，且f″（0）=0， f（x）=2ax2+（6a-1）x+6a+1/（1+x）3，且f（0）=6a+1． 由极值第三充分条件知f（0）=6a+1=0，即a=-1/6． 【点评】解法1是教育部考试院给出的官方解法，将x=0是f（x）的极大值点这一问题化归为x=0是h（x）的极大值点问题是解答的一大难点，当然直接对函数f（x）进行多次求导进行解答也是可以的，只不过解答过程更为复杂.解法2则使用了高等解法，极快地得到答案，虽然在考场中不能直接使用，但却可以给解题带来一定的思路引导，比如如何进行分类讨论也会变得相对较为明朗． 五、备考反思 1.克服对导数压轴题的畏惧心理，争取多拿几分 一直以来，导数压轴题都是考生极为畏惧的一大难题，不少考生对这一问题甚至达到了谈之色变的程度.实际上，高考的导数压轴题第一问大多数情况下都是比较基础的，只要具有一定的基础，拿下来并不是难事，只有极少的年份导数压轴题的第一问是较为困难的.因此，在平时，我们要注重对导数的基础主干知识的重视，把握核心考点.平时也要克服对导数压轴题的畏惧心理，在拿下第一问的基础上，争取第二问尽可能多拿一些分数． 2.注意研究历年高考真题，并注重挖掘课本中有价值的材料 笔者认为，高考真题是所有习题中质量最高的试题，因此，在平時的备考中，我们要加强对高考真题的研究，特别是对较为经典的问题，要做适当的梳理与总结，并选取具有一定代表性的试题进行分析、比较和总结，从而加强对历年高考真题的演练与总结.对课本中具有一定价值的材料，也要作一定的拓展，如2023年新高考全国Ⅱ卷导数压轴题的第一问的本质是泰勒公式，实际上，在人教A版必修1课本中有相关的材料.因此，在平时的备考中，我们要特别注重挖掘教材中有价值的材料． 3.加强理论学习，要站在更高的角度审视问题 众所周知，很多高考数学试题，往往具有深刻的高等数学背景.如果能适当掌握一些高等数学知识，对数学的解题与教学具有很强的指向性与指导性.如上述所探讨的2023年新高考全国Ⅱ卷导数解答题即是基于高等数学中的泰勒公式与极值第二充分条件而命制的一道典型问题.这就对我们高等数学的掌握提出了一定的要求，通过掌握一定的高等数学知识，就能抓住问题的本质，从而能更好应对高考，并最终实现笑傲高考考场的目标． 责任编辑徐国坚
