汽车主动悬架次优控制策略等效性研究

鲁红伟, 张志飞, 徐中明, 谭侃伦, 郑晓勇

(1. 重庆大学 机械与运载工程学院, 重庆 400044; 2. 重庆长安汽车股份有限公司, 重庆 400023)

汽车主动悬架可根据悬架系统的运动状态灵活调节控制力的输出,具有改善汽车乘坐舒适性和行驶安全性的显著作用。最优控制(LQR(linear quadratic regulator)控制和H∞控制)作为一种可以平衡多个目标的控制策略,常用于主动悬架的控制系统[1-4],并展示出来良好的减振效果。然而,最优控制策略通常需要较多的输入变量,并且其中有些变量是不容易获得的。多数悬架最优控制的状态变量是悬架动挠度、簧上质量绝对速度、轮胎动挠度和簧下质量绝对速度[5-6],其中轮胎动挠度最不容易获得。为了解决最优控制输入变量过多的问题,输出反馈控制也得到了深入研究。静态输出反馈控制可直接建立了输出力与可测量变量之间的关系,形式简单,但是其求解过程较为复杂,同时还存在收敛性的问题[7-9]。动态输出反馈控制通过使用较少的可观察量来估计系统的状态变量,即状态观测器[10-11],例如将卡尔曼观测器与LQR控制算法相结合,可以获得LQG (linear quadratic Gaussian)控制算法[12]。然而,基于状态观测器的动态输出反馈控制仍然需要估计一些额外的变量,使得控制系统设计仍较复杂。

次优控制可更简单地解决输入变量过多的问题。Levine等[13]最早提出了次优控制问题,并给出了一组求解次优控制增益的非线性矩阵方程,需通过优化算法求解。Kosut[14]提出了最小误差激励法和最小范数法,可直接获得次优控制的近似解,并指出最小范数法更适合于控制向量为一组可测状态变量的时不变线性组合(单结构约束)的情况。张玉春等[15]和李金辉等[16]在某一权值参数下验证了基于最小范数法的次优控制在汽车悬架控制中以速度相关量为输入变量时可产生与最优控制相似的效果。鲁红伟[17]以二自由度四分之一车辆模型为对象,将LQR控制的控制律与悬架动力学方程结合,同时忽略数量级较小的轮胎变形量及其导数,并移除控制力中不期望的高频成分,得到一种称为双阻尼控制的次优控制策略。仿真结果表明,该控制方法与LQR控制在合理的权值参数范围内均具有高度的等效效果。以上两种次优控制方法的等效效果对比尚未得到研究,且对于频域最优控制,即H∞控制的简化等效情况,两种次优控制方法的等效性也值得探讨。

分析悬架被动控制、天棚阻尼控制、天棚被动混合控制[18-19]、天棚地棚混合控制[20-21]、No-Jerk天棚阻尼控制[22]和天棚-ADD(acceleration driven damping)混合控制[23]可知,悬架相对速度和簧上质量绝对速度往往是不可或缺的。此外,张玉春等在基于最小范数法的次优控制和鲁红伟关于双阻尼控制的研究也表明速度反馈对于控制效果影响显著。因此所研究的次优控制的输入变量设定为悬架相对速度和簧上质量的绝对速度。

以二自由度的1/4悬架模型为研究对象,将LQR控制和H∞控制等最优控制策略作为参考,对双阻尼次优控制、最小范数次优控制与最优控制的等效程度进行对比分析。综合考虑舒适性,悬架动挠度和轮胎动载荷,讨论了最优控制的合理参数范围,并在该范围内进行等效性研究。最后在随机道路激励下进行数值仿真验证。

1 悬架动力学模型

二自由度的1/4悬架模型,如图1所示。图1中:簧上质量ms相对于平衡状态的位移为zs;簧下质量mu相对于平衡状态的位移为zu;路面的位移激励为q;悬架刚度为ks;主动悬架的执行器对簧上质量的作用力为u;车轮的刚度和阻尼为ku和cu。悬架模型参数如表1所示。悬架最大动挠度为zmax,执行器最大输出力值为umax。

表1 悬架模型参数

图1 汽车悬架模型

根据牛顿定律,悬架系统遵循以下动力学方程

(1)

u=0

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

写成矩阵的形式为

(7)

y1=C1x+D1u

(8)

y2=C2x+D2u

(9)

2 悬架最优控制与次优策略

2.1 最优控制

2.1.1 LQR控制

(1) I型LQR控制

根据典型悬架最优控制的目标函数形式[24-26],这里定义I型LQR控制的目标函数为

(10)

(11)

式中,L为退化的黎卡提方程的解

(12)

最终的控制律可写为

(13)

(2) II型LQR控制

根据另一种典型悬架最优控制的目标函数形式[27-28],定义II型LQR控制的目标函数为

(14)

(15)

式中,L为退化的黎卡提方程的解

(16)

最终的控制律可写为

(17)

2.1.2H∞控制

(18)

(19)

通过求解γ最小时上述不等式的可行解,即可得到状态反馈控制器增益K2,因此最终的控制律为

(20)

2.2 次优控制

由上述可知,最优控制的控制律可以统一写为

u=Kx=k1x1+k2x2+k3x3+k4x4

(21)

(22)

从式(22)可知,次优控制可以看作是天棚地棚混合控制或者天棚被动混合控制。如果这种次优控制可以直接由悬架参数和LQR控制或H∞控制的增益计算得到,同时可以实现等效的控制效果,那么将可以建立天棚地棚(或被动)混合控制与LQR控制或H∞控制的等效关系。

2.2.1 最小范数次优控制

基于最小范数法的次优控制输出力u′可表示为

y=Cx

(23)

u′=K′y

(24)

将式(23)代入式(24),得到次优控制力为

(25)

(26)

可求解得到

(27)

(28)

因此,基于最小范数法的次优控制力为

u′=K′y=k2x2+k4x4

(29)

2.2.2 双阻尼次优控制

将式(21)与式(4)和式(6)结合,消去x1,得到:

(30)

(31)

将式(30)、式(31)与式(21)的导数式(32)结合,得到式(33)

(32)

(33)

由于车辆轮胎的刚度远大于悬架的刚度,因此在合理的情况下,轮胎变形及其导数的数值非常小。此外,考虑到执行器的真实响应速度和车辆的平顺性,执行器输出力的高频分量应尽可能小。因此,可以忽略式(33)的后三项,得到如下次优控制律

(34)

2.2.3 最佳次优控制

通过参数优化可计算得到形如式(22)所示的次优控制与最优控制最逼近的效果,可用于衡量上述两种次优控制与数值上的最佳次优控制的差距。

在式(17)控制下,路面激励速度到悬架簧上质量加速度的幅频特性可表示为

(35)

假设最佳次优控制的控制律及其幅频特性如下

(36)

(37)

3 数值仿真验证

为对比基于最小范数法和基于双阻尼控制法的两种次优控制与最优控制的等效效果,选择路面不平度为C级、车速为20 m/s的较差路面激励进行仿真分析。

次优控制与最优控制的等效程度使用控制力的相对差异E表示,即:

(38)

根据式(34),基于最小范数法的次优控制的力值相对差异记为Em,基于双阻尼控制法的次优控制的力值相对差异记为Ec,最佳次优控制与最优控制的力值相对差异记为Eopt。

3.1 LQR控制

3.1.1 I型LQR控制

为了尽可能覆盖常见的权值系数取值范围,在研究权重对I型LQR控制的影响时,取q1∈[10 1012],q2∈[10 3.16e11],q3∈[10 1012]。改变权重系数,数值计算得到了I型LQR控制作用下控制力、悬架动挠度、轮胎动挠度和簧上质量加速度的均方根值,如图2所示。

(a) RMS(u)/N

为保证舒适性、悬架动挠度、轮胎抓地力和控制力的均衡,三个权重系数应在图2中四幅图重叠的区域选取。因此可通过将控制力、悬架动挠度、轮胎动挠度和簧上质量加速度的均方根进行归一化并相加,即式(39),得到一种合理参数范围(reasonable parameter range, RPR)指数,如图3(a)所示。按照式(38)计算了I型LQR控制与相应的双阻尼控制的力值相对差异Em、Ec和Eopt,如图3(b)、图3(c)、图3(d)所示。

(a) RPR

(39)

从图3可知,基于双阻尼控制的次优控制与I型LQR控制的力值相对差异Ec较小。此外,双阻尼控制的Ec较小的区域包含了图3(a)中的合理权值参数范围,且与最佳次优控制的力值相对差异Eopt较小,说明在合理权值参数范围内,基于双阻尼控制的次优控制可以很好地对I型LQR控制进行等效简化。

为进一步验证以上结论,在图3中的合理参数范围内选取对应的权重系数进行仿真分析,即q1=3.16×1010,q2=1×1010,q3=1×108,结果如图4和图5所示。从图中可知,在该组权值参数下,基于双阻尼控制的次优控制具有与I型LQR控制高度的等效效果,且明显优于基于最小范数法的次优控制的等效性。

图4 I型LQR控制与次优控制的时域等效效果

3.1.2 II型LQR控制

在研究权重对II型LQR控制的影响时,取q1∈[10 1012],q2∈[10 1012],q3∈[10 1012]。改变权重系数取值,数值计算得到了II型LQR控制作用下的控制力、悬架动挠度、轮胎动挠度和簧上质量加速度的均方根值,如图6所示。

(a) RMS(u)/N

为指示出可以均衡舒适性、悬架动挠度、轮胎抓地力和控制力的合理权值范围,根据式(39),计算得到了合理参数范围指数RPR,如图7(a)所示。按照式(38)计算了II型LQR控制与相应的双阻尼控制的力值相对差异Em、Ec和Eopt,如图7(b)、图7(c)、图7(d)所示。

(a) RPR

从图7可知,基于双阻尼控制的次优控制与II型LQR控制的力值相对差异Ec较小的蓝色区域面积稍大于基于最小范数法的次优控制的力值相对差异Em较小,表明基于双阻尼控制的次优控制对II型LQR控制的等效效果略优于基于最小范数法的次优控制。此外,双阻尼控制的Ec较小的区域包含了图7(a)中大部分的合理权值参数范围,且与最佳次优控制的力值相对差异Eopt较小的区域相差不大,说明在大部分合理权值参数范围内,双阻尼控制可很好地对II型LQR控制等效简化。

为进一步验证以上结论,在图7中的合理参数范围内选取对应的权重系数进行仿真分析,即q1=1×1011,q2=1×107,q3=1×108,结果如图8和图9所示。从图8和9可知,在该组权值参数下基于双阻尼控制的次优控制具有与II型LQR控制较好的等效效果,且优于基于最小范数法的次优控制的等效性。

图8 II型LQR控制与次优控制的时域等效效果

3.2 H∞控制

H∞控制的主要参数有最大动挠度zmax、最大输出力umax和路面扰动能量相关参数ρ。考虑到实际情况,仅考虑zmax∈[0.05 0.15] m,umax∈[1 000 3 000] N,ρ∈[0.2 4]对控制效果的影响。仿真得到了不同参数下H∞控制作用下的控制力、悬架动挠度、轮胎变形、簧上质量加速度的均方根,如图10所示。由于不同参数下的控制力,悬架动挠度和簧上质量加速度的均值普遍都比较小,因此合理参数范围可定为簧上质量加速度较小的区域。

(a) RMS(u)/N

H∞控制和相应的双阻尼控制的控制力相对差异Em、Ec和Eopt,如图11所示。从图11可知,基于最小范数法的次优控制与H∞控制的力值相对差异Em较小区域面积明显大于基于双阻尼控制的次优控制的力值相对差异Ec较小的区域,表明基于最小范数法的次优控制与H∞控制的等效效果明显优于基于双阻尼控制的次优控制。此外,基于最小范数法的次优控制的Em较小的区域包含了图10(d)中大部分的合理权值参数范围,且与最佳次优控制的力值相对差异Eopt较小的区域相差不大,说明在大部分合理权值参数范围内,基于最小范数法的次优控制可以很好地对H∞控制等效简化。为进一步验证以上结论,在图11中的合理参数范围内选取对应的权重系数进行仿真分析,即zmax=0.11,umax=1 800,ρ=0.8,结果如图12和图13所示。从图可知,在该组权值参数下,基于最小范数法的次优控制具有与H∞控制较好的等效效果,且优于基于双阻尼控制的次优控制的等效性。

(a) Em/%

图12 H∞控制与次优控制的时域等效效果

4 结 论

(1) 在主动悬架控制中,对比了在合理参数范围内基于最小范数法的双阻尼控制和基于双阻尼控制的双阻尼控制对三种最优控制(I型LQR控制,II型LQR控制和H∞控制)的等效效果,给出了这两种次优控制在实际应用中适应的情况。

(2) 通过综合考虑舒适性,悬架动挠度和轮胎动载荷,给出了三种最优控制的合理参数范围,并通过控制力相对差异衡量次优控制对最优控制的等效程度。

(3) 数值仿真结果表明,基于双阻尼控制的次优控制对LQR控制的等效效果优于基于最小范数法的次优控制,而基于最小范数法的次优控制对H∞控制的等效效果优于基于双阻尼控制的次优控制。

在实际悬架控制策略设计中可以选择合适的次优控制方法对基于经典最优控制得到的状态反馈进行等效降阶,在减少输入变量的同时实现与最优控制更相似的控制效果。