四次累积发放神经元同宿环及周期解的存在性和稳定性分析

2023-12-18吴建梅徐洁琼王俊杰徐启祥

振动与冲击 2023年23期

吴建梅, 徐洁琼, 王俊杰, 徐启祥

(广西大学数学与信息科学学院,南宁 500064)

神经元是神经系统的基本结构和功能单元,神经系统的放电活动主要表现为神经元产生和传输电脉冲的过程,神经信息主要通过神经元放电活动的节律模式来进行编码。最早的神经元模型由Hodgkin和Huxley在1952年提出,称为Hodgkin-Huxley(H-H)模型[1]。为便于数学理论分析、高效计算以及大规模神经网络的模拟,许多学者对该模型进行了改进。其中,累积发放神经元模型(IF模型)是一类比较常用的简化模型,这类模型能够模拟真实神经元丰富和复杂的放电行为且维数较低。其中平方自适应IF模型(Izhikevich模型)、自适应指数IF(integrate-and-fire)神经元模型、四次IF神经元模型等模型是其中的代表。Breete等[2]用自适应指数IF神经元模型成功拟合了椎体神经元真实的放电记录。Izhikevich等[3]用Izhikevich神经元模型对哺乳动物的丘脑皮层系统进行了模拟。四次IF神经元模型不仅能产生自适应指数IF神经元模型和Izhikevich神经元都能产生的放电模式,还能产生Phasic相应、放电频率自适应、阈下振荡等放电模式[4]。本文选择四次累积发放神经元模型为代表来研究非光滑神经元的动力学行为,将理论分析四次IF模型的周期解的存在性和稳定性。

IF神经元模型具有重置过程,因此,该类模型具有非光滑特性,属于非光滑动力系统的范畴。四次IF神经元模型属于第一类非光滑系统,即,脉冲动力系统。脉冲动力系统广泛存在于自然、社会与实际工程背景中,涉及到众多领域。例如,机械系统中典型的碰撞振动系统[5]、电路中的开关切换[6]、阈值限定[7]等,以及生物力学领域中的害虫治理[8]、种群动力学模型[9-10]、微生物生长模型[11]等。对脉冲动力系统周期解的研究,往往会选择不连续面或时间面为庞加莱截面,通过重置映射和光滑流的复合得到一个庞加莱映射,把脉冲动力系统周期解的存在性转化为庞加莱映射的不动点的存在性[12]。Yang等[13]提出HR混合模型,应用庞加莱映射不动点理论给出了周期解的存在性和稳定性分析,并讨论了其周期增加的分岔和混沌现象;He等[14]研究了具有状态依赖脉冲效应的FHN模型的动力学行为,利用几何分析构造了不同条件下的庞加莱映射,通过庞加莱映射不动点理论和几何分析技术,得到了脉冲神经元模型周期解的存在性和稳定性的条件;Yi等[15]研究了具有状态依赖脉冲效应的Izhikevich模型,通过脉冲动力系统的理论、庞加莱截面和常微分方程几何理论等给出周期解的存在性和稳定性充分条件,并用数值仿真验证了主要结果。在此基础上,本文将利用非光滑动力学理论和不动点理论,通过证明四次累积发放神经元模型1-阶同宿环的存在性,从而证明同宿分岔后,1-阶周期解(1-阶簇放电)的存在性。