关注学生发展 提升复习效率

［摘  要］ 在高三复习教学中，教师要为学生提供机会参与课堂，在参与的过程中通过观察、分析、对比、联想、反思、总结等学习活动发现数学本质、掌握解题方法、积累解题经验，以此发展数学思维，提高自主学习能力，提升高三复习效率.

［关键词］ 复习教学；解题经验；复习效率

在高三复习课堂中，部分教师带领学生进行简单的知识梳理后，就将学生带入“题海”，以期借助“题海”实现知识的巩固和强化，提升解题技能，提高解题效率. 但机械重复的练习不仅不能帮助学生积累丰富的解题经验，而且容易造成学生心理负担，影响复习效率. 为了改变这一现状，在习题的设计上应该做到精挑细选，不贪多，不求快，充分发挥例题、习题的引导作用，通过其推广应用来拓展学生的思路，让学生掌握和理解数学学习的方法，以此提升复习有效性［1］. 笔者教学“空间几何体的体积”时，为了更好地发展学生，让学生獲得解题经验，做了一些尝试，取得了一点效果，现分享给大家，以期共鉴.

教学分析

1. 内容分析

求几何体的体积涉及空间点、线、面的位置关系，空间角和距离的数量关系等相关内容，其综合性强，对学生的空间想象能力、逻辑推理能力、数学运算能力、数学综合运用能力的要求较高，是公认的教学难点，同时也是高考的热门考点.

2. 学情分析

本节课内容在新知教学时重点讲解过，并进行过强化训练，因此学生具有一定的解题经验和自主学习能力，以上知识、经验、方法、能力为实现“生本”高效课堂提供了智力支持和精神动力.

3. 教学目标

（1）通过复习求几何体体积的计算公式，帮助学生理解空间几何体体积公式中各个量之间的内在关系，帮助学生建构完善的认知体系.

（2）帮助学生理解并掌握求空间几何体体积常用的方法.

（3）培养学生的空间观念，增强学生的转化和化归意识，提升学生的数学素养.

4. 教学重点

几何体体积的计算.

5. 教学难点

确定几何体的高.

教学实录

1. 知识梳理

根据导学案要求，学生独立完成表1.

师：课前让大家填写表格，大家都填好了吗？

生齐声答：填好了. （笔者点名让学生回答，并投影展示）

师：仔细观察这些公式，它们之间有什么联系？（学生不语）

师：结合图1，说一说你有什么发现. （学生积极讨论）

生1：对于棱台，若上底面逐渐扩大，当上底面和下底面全等时，则棱台就变成了棱柱；反之，若上底面逐渐缩小，当缩成一个点时，则棱台就变成了棱锥. 圆台、圆柱、圆锥的变化规律与之相同.

师：说得很好，现在谁来说一说，这些公式有什么联系？（学生跃跃欲试）

生2：对于台体的体积公式，当S=S时，可得柱体的体积公式；当S=0时，可得锥体的体积公式.

设计意图 课前通过表格回顾旧知，唤醒学生的记忆. 课上引导学生结合几何示意图观察柱体、台体和锥体之间的内在关系，以便学生理解和记忆. 同时，借助几何示意图提高学生的直观想象素养，为接下来的解题活动打下坚实的基础.

2. 例题精讲

在复习教学中，为了更好地将知识、方法、经验融合在一起，例题、习题教学必不可少. 不过教师选择例题、习题时切勿贪多、贪新、贪难，应依据实际情况和教学目标合理安排，要确保其具有一定的针对性和目的性，尽量做到一题一得，让每一个学生都能获得不同程度的提升［2］.

（1）自然引出“公式法”.

问题1 将一个长为4、宽为2的矩形卷成一个圆柱，求该圆柱的体积.

师：大家可以选择合适的素材，如书、草稿纸等矩形卷一卷，该如何卷，体积如何算？

问题给出后，学生积极操作，很快给出了答案.

生1：以4为圆柱的底面周长，此时圆柱的底面圆的半径为，圆柱的高为2. 根据圆柱的体积公式，可得该圆柱的体积V=πr2h=.

师：很好，和你们的结果一致吗？

生2：这个结果没有问题，但是回答得不够全面，还有另外一种情形.

师：哦，还有一个情形？它的体积是多少？

生2：以2为圆柱的底面周长，此时圆柱的底面圆的半径为，圆柱的高为4，则V=πr2h=.

师：还有补充吗？（学生摇头表示没有补充）

师：很好，通过动手操作我们发现了圆柱的两种不同形状，并利用圆柱的体积公式直接求出了其体积.

师：若为以上求体积的方法起个名字，你们感觉应该叫什么？

生齐声答：公式法. （笔者板书）

练习1 图2是一个六角螺帽，它由一个正六棱柱挖去一个圆柱构成. 已知正六棱柱的正六边形底面边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则六角螺帽的体积是____cm3.

题目解析 本题主要考查学生利用“公式法”求柱体的体积. 正六棱柱的体积V=6××2×2×sin60°×2=12（cm3），圆柱的体积V=π×0.52×2=（cm3），两者相减即可得六角螺帽的体积.

设计意图 通过具体操作，提炼解题方法，进一步加深学生对“公式法”的理解.

此环节主要以学生自主探究为主，让学生通过具体操作体验解题过程，提炼解题方法. “公式法”起点低，易于学生理解和接受，可充分调动学生参与探究的积极性，激发学生的学习动机，为接下来进一步探究创造条件.

（2）合作探究“等体积法”.

问题2 如图3所示，平面ADE⊥平面ABCD，△ADE是边长为a的等边三角形，四边形ABCD为矩形，F为AB的中点，EC与平面ABCD所成的角为30°，求三棱锥F-CDE的体积.

问题2的难度略有提升，不能用“公式法”直接求解，需要学生另寻他法. 问题2给出后，笔者预留时间让学生独立思考，接下来通过互动交流逐渐引出“等体积法”.

师：谁来说一说，解题时你遇到了哪些问题？

生3：求三棱锥F-CDE的体积需要知道它的底面积和高，△CDE的面积易求，但是点F到平面CDE的距离怎么求呢？

生4：开始我和生3的想法一样，也想直接利用“公式法”求解，遇到了同样的困惑. 但仔细分析后发现，三棱锥F-CDE与三棱锥E-CDF是同一个三棱锥，这样可以将求三棱锥F-CDE的体积转化为求三棱锥E-CDF的体积. 又△CDF的面积为a2，这样只要求出点E到平面CDF的距离即可. 由已知条件“平面ADE⊥平面ABCD”，取AD的中点H，连接EH，EH就是点E到平面CDF的距离（可证）. 根据已知条件易求EH=a，故V=V=·EH·S=a3.

师：很好！生4将不易于求高的三棱锥转化为易于求高的三棱锥，问题便迎刃而解. 若为这一方法命名，你们觉得叫什么比较合适呢？

生5：等体积法. （笔者板书）

师：若将“三棱锥”改为“四棱锥”“五棱锥”，这种方法是否依然适用呢？（学生陷入沉思）

生6：不行，对于其他棱锥，若将顶点换掉，则其他顶点不共面.

师：很好，分析得很到位，看来“等体积法”在锥体体积计算中只适合三棱锥. （笔者在板书“等体积法”后加上条件：适合三棱锥）

师：思考一下，点F到平面CDE的距离是否可求呢？

生7：可以，可根据“等体积法”求解.因为V=V（已求），这样只要求出△CDE的面积，即可求出点F到平面CDE的距离.

师：很好，这样通过“等体积法”不仅能求出三棱锥的体积，还能求出点到平面的距离，可见这是求点到平面的距离的重要方法之一.

设计意图 通过精选例题，创设障碍，诱发学生探索不同的解题路径，培养学生思维的灵活性和变通性. 学生顺利求解后，笔者继续追问，诱发其深度思考，总结归纳出“等体积法”的适用范围，并通过问题推广让他们发现求点到平面的距离的重要方法，发挥了问题的最大功效.

练习2 如图4所示，已知正方体ABCD-ABCD的棱长为a，点E，F分别为棱AA和CC的中点，求四棱锥A-EBFD的体积.

题目解析 EB=BF=FD=DE=a，连接EF，则△EFB≌△EFD. 由于三棱锥A-EFB与三棱锥A-EFD等底同高，因此V=2V=2V. 这样只要求出三棱锥F-EBA的体积，问题便可迎刃而解.

设计意图 在复习教学中，教师应多一些引导，少一些灌输，多为学生创造一些时间和空间去交流、去发现，以此激发学生主动探索的热情. 对于问题2，大多数学生从“公式法”出发，但在求点到平面的距离时受阻，这样通过“障碍”点燃了学生探究的热情，使学生得到了求体积的另一种方法——“等体积法”. 接下来通过追问，进一步强化学生对“等体积法”的理解，让学生明晰该方法的适用条件，有效避免解题时盲目套用方法所带来的错解风险，最终培养学生思维的深刻性.

（3）自主探索“补形法”.

问题3 在三棱锥A-BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，且长度分别为1，，2，则三棱锥A-BCD的外接球的体积为________.

生8：由于三棱锥的侧棱两两垂直，将三棱锥补形成长方体，则三棱锥的外接球与长方体的外接球相同，这样问题就转化成了求长方体的外接球的体积. 而长方体的体对角线为球的直径，于是有（2r）2=12+（）2+22=8，故r=. 根据球的体积公式，易得V=π.

师：非常好. 根据已知条件将三棱锥转化为易于求解的长方体，通过化归与转化，轻松地解决了问题. 这个方法叫什么呢？

生齐声答：补形法. （笔者板书）

练习3 在三棱锥A-BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，，，则三棱锥A-BCD的外接球的体积为________.

题目解析 将三棱锥A-BCD补形为长方体，设长方体的三边为a，b，c，由题意得ab=，ac=，bc=，解得a=，b=，c=1，故外接球的直径为=，因此三棱锥A-BCD的外接球的体积为π.

设计意图 让学生理解“补形法”，并熟练应用“补形法”解决问题. 同时，借助“补形法”培养学生的空间意识，提升学生的直观想象素养.

（4）交流探讨“分割法”.

问题4 如图5所示，已知三棱锥P-ABC中，棱长AC为6，其余棱长均為5，求三棱锥P-ABC的体积.

有了前面的解题经验，在此环节中，笔者组织学生交流讨论，共同探寻解题方法.

师：谁来分享一下解题过程？

生9：如图5所示，因为PA=PB=PC=5，所以顶点P在底面的射影为△ABC的外心，设其外心为O，则PO为三棱锥P-ABC的高. 在等腰三角形ABC中，其外心O在AC的中垂线上，且点O在△ABC的内部. 设OA=r，则r2=32+（4-r）2，解得r=. 所以OP==，故V=·S△ABC·PO=×12×=.

师：很好，利用“公式法”解决了问题，思路清晰、严密. 除了“公式法”外，你还有没有其他发现呢？

生9：可以通过拆分三棱锥P-ABC求其体积.

师：具体说一说.

生9：取AC的中点D，因为△PAC和△ABC都是等腰三角形，易得AC⊥平面PBD，则截面PBD将三棱锥P-ABC分成了两个共底的三棱锥，分别为三棱锥A-PBD和三棱锥C-PBD. 于是V=V+V=·AD·S+·CD·S=×6×S=2S. 又PB=5，BD=PD=4，所以S=. 所以V=.

师：非常好，通过分割优化了解题过程，提高了解题效率.

师：对于这种方法该如何称呼呢？

生10：分割法. （笔者板书）

设计意图 通过对比交流让学生知道恰当的“分割”可以简化运算过程，提升解题效率. 同时，通过多解发散学生的思维，培养学生的灵活应变能力.

3. 课堂小结

师：今天我们重点研究了什么？你有什么收获？

生11：重点研究了多面体的体积计算.

生12：复习了四种重要的体积计算方法.

……

师：很好，其实解题方法是灵活多变的，解题时我们要根据已知条件合理选择方法，灵活转化，从而提高解题效率.

设计意图 通过知识梳理，帮助学生进一步巩固知识和方法，以及建构完善的认知体系.

教学思考

在高三复习教学中，部分教师将主要精力放在知识重现和解题技巧的讲授上，忽视了学生数学解题经验的积累. 为了“求多”“求快”，这部分教师只关注“如何教”，忽视了“如何学”，从而限制了学生发展，影响了复习. 在本节课的教学中，为了更好地发展学生，提高复习教学的有效性，笔者做了如下尝试：

首先，为学生提供了参与课堂的机会. 在本节课的教学中，无论是基础知识梳理，还是问题精讲，抑或是课堂小结，都是先由学生独立思考，再进行沟通交流，让学生正确认识和理解知识，发现知识间的内在关系，总结规律，形成方法.

其次，帮助学生积累解题经验. 在解题教学中，笔者坚持“以生为本”，引导学生通过观察、对比、讨论、归纳、反思等活动发现知识与问题、结论之间的联系，利用已有知识、经验探索解决问题的方法，发现解决问题的一般策略. 在教学中，笔者鼓励学生应用不同方法求解，以此拓宽学生的解题视野，丰富学生的解题经验.

最后，关注教学实效. 在教学中，笔者“不贪多”“不求快”，充分挖掘问题的拓展功能，力求让学生每解一个问题都有不同的收获，有效避免简单重复所带来的枯燥感，激发学生的数学学习信心.

总之，在教学中，教师要精心设计教学活动，及时组织学生总结和反思，通过有效反思、回顾、頓悟，认清数学的本质，提炼解决问题的方法，以此提升解题效率.

参考文献：

［1］ 佘世庆，佘元振. 基于“数学核心素养”视角下的高三复习课课例研究［J］. 数学学习与研究，2021（08）：2-3.

［2］ 曾荣. “微专题”复习：促进深度学习的有效方式［J］. 教育研究与评论（中学教育教学），2016（04）：28-34.

作者简介：吕永玉（1987—），本科学历，中学一级教师，从事高中数学教学工作.