重复控制在三相不平衡负载中的应用

2023-12-11叶宗彬代金贵邓先明于东升

实验室研究与探索 2023年9期

叶宗彬，陆超，代金贵，邓先明，于东升

（1.中国矿业大学电气工程学院，江苏徐州 221116；2.国网山东省电力公司泰安供电公司，山东泰安 271000）

0 引言

逆变器输出电压中除了基波分量，还含有一定的谐波。谐波主要来自PWM 调制产生的谐波、死区产生的谐波、逆变器带非线性负载所产的谐波。PWM调制产生的谐波主要分布在开关频率附近，可通过合理设置LC 低通滤波器的截止频率将其滤除。针对死区、不平衡负载、非线性负载等非线性因素产生的谐波，可采用比例谐振控制器。为抑制不同频率的谐波，需要一定数量的谐振控制器，导致控制系统结构复杂，增加了微控制器的计算负担，降低了工程应用价值。

为抑制各次谐波，可采用重复控制器。重复控制器在不同谐波频率处均具有很大的控制增益，可同时抑制各次谐波［1-3］。重复控制器结构简单，稳态时逆变器输出电压中谐波含量小，微控制器的计算负担小，所以在逆变器控制中得到了广泛应用。

1 重复控制器原理

重复控制的基本思想来自控制理论中的内模原理［4-5］。内模原理指出，对于一个闭环反馈系统，若系统的输出能跟踪外部输入的参考信号（即稳态时误差趋于零）且具有抵消扰动的能力，则控制环路内部必须包含有外部输入信号（含参考信号和扰动信号）的数学模型。外部输入信号的数学模型就是“内模”，内模原理本质是把外部输入信号的数学模型植入控制器，以构成高精密的反馈控制系统。

当参考信号为正弦信号时，根据内模原理，可在控制器中植入一个与参考信号同频率的正弦信号模型。但逆变器输出电压中不仅含有基波，还含有许多谐波分量。谐波分量的频率都为基波频率的整数倍，且在每一个工频周期内都以完全相同的波形重复出现。因此，可采用如下形式的内模（在s域的表现形式）：

式中，T为逆变器输出电压基波周期。已有学者证明［6］，式（1）可以写为：

式中，ωT为基波角频率。从式（2）可见，该内模包含了直流分量、基波分量和各谐波分量，理论上可实现对基波参考信号的无静差跟踪以及对谐波的抑制。

e-Ts为延迟环节，难以用模拟器件实现。随着逆变器控制数字化的发展，在微控制器中通过编程实现该延迟环节很容易。实际应用中的重复控制都是以数字化的方式实现的。通过z变换，可得该内模在离散域的表达形式

式中：N为每个基波周期内的采样次数（N＝T／Ts，Ts为采样周期）；z-N为延迟N个采样周期，意味着用微控制器实现该延迟环节需要留出N个存储单元。

重复控制结构如图1 所示，是具有一个工频周期延迟的正反馈环节［7-8］。其中，e（z）为参考信号与反馈信号的差值；y（z）为重复控制器的输出。当反馈信号与参考信号不相等时，输入信号e（z）不为零，重复控制器的输出会对输入信号进行逐周期累加，其作用与PI调节器中的积分环节相似。经过重复控制器的调节，输入偏差信号e（z）最终为0。此时，该内模会持续不断地重复输出上一周期的控制信号，因此称为重复控制器。

图1 重复控制结构框图

2 重复控制结构

基于重复控制的系统结构如图2 所示，由重复控制器的内模、延迟环节和补偿器组成［12］。r（z）为给定参考量，y（z）为系统的输出，e（z）为两者的差值。P（z）为控制对象，d（z）为系统的重复性扰动。Q（z）为低通滤波器或常数，z-N为周期性延迟环节，C（z）为补偿器，共同组成了重复控制器［9］。

图2 基于重复控制的结构框图

（1）低通滤波器或小于1 的常数环节Q（z）。为提高系统的稳定性，通过加入Q（z）对重复控制器的内模进行改进，Q（z）可为低通滤波器或者小于1 的常数［10-11］。当Q（z）为低通滤波器时，输入信号中的高频分量会快速衰减，而低频分量衰减较慢。低通滤波器有相移，导致改进后的内模在基波以及基波频率的整数倍处增益降低。当Q（z）为小于1 的常数时，内模的幅值在整个控制频率范围内均衰减。改进后的内模，输入、输出之间的关系：

（2）周期延迟环节z-N。补偿器C（z）的构成中含有相位补偿的超前环节，前向通道串联延迟环节z-N使得相位补偿在仿真和微控制器中得以实现［12］。同时，为消除本周期所存在的误差，应施加一定的控制信号。延迟环节的存在，致使控制动作延迟了一个周期进行。参考信号和扰动都具有重复性，因此可使系统在下一个周期的控制具有一定的超前性。

（3）补偿器C（z）。重复控制器设计的关键在于补偿器，对重复控制器的性能产生重要影响［13-14］。补偿器C（z）为被控对象P（z）提供幅值补偿与相位补偿，以保证系统的稳定。采用超前环节实现相位补偿时，补偿器C（z）可以写为：C（z）＝Kr·zk·S（z）。其中，Kr为补偿器的增益，取值范围一般为大于0 且小于等于1 的常数。增益越大，系统的动态响应速度越快，但系统的稳定性会减弱。因此，需要综合考虑系统对动态性能和稳定性的要求以选择适当的值。zk为相位补偿的超前环节，由于补偿器C（z）以及被控对象P（z）会引起相位滞后，通过加入相位补偿环节zk使得C（z）P（z）在中低频段相移为零［15］。S（z）为滤波器，其作用是：对被控对象P（z）进行幅值校正，使C（z）P（z）在中低频段的幅值为0 dB，在高频段幅值大幅衰减，以保证系统的稳定。若被控对象P（z）中有谐振峰，S（z）还需要抵消谐振峰，使之不破坏系统的稳定性。

3 重复控制器性能分析

（1）稳定性分析。根据图2，重复控制器输入、输出的关系

式中，e（z）＝r（z）-y（z）＝r（z）-ur（z）P（z）-d（z）为误差。

将误差e（z）代入式（5），经整理可得误差

由此可得引入重复控制器后的系统特征方程

特征方程N个根均位于以原点为圆心的单位圆内，则系统是稳定的。但特征方程的阶数一般是很高的。基波频率为工频50 Hz，采样频率为10 kHz时，特征方程的阶数为200。可利用控制理论中的小增益定理，得到系统稳定的充分条件

从零频率到奈奎斯特频率（采样频率的一半），只要Q（z）-C（z）P（z）在上述频段范围内其增益小于1，重复控制系统一定是稳定的。但该条件是稳定的充分条件而非必要条件，若不满足该条件系统也可能是稳定的。式（8）所描述的稳定性条件不够直观，通过图3展示稳定性的几何意义。为方便分析，令：

图3 稳定性的几何意义

当Q取小于1 的常数时，单位圆的圆心左移1 -Q，使得单位圆包含了第Ⅱ、Ⅲ象限的一部分，如图3（b）所示。即使C（z）P（z）的相角超出±90°，但只要C（z）P（z）在高频段的幅值足够小，矢量H（ejωTs）的末端轨迹仍位于单位圆内，系统依然保持稳定。当Q为低通滤波器时，单位圆的圆心随着频率的升高而左移。在低频段，单位圆的圆心很接近（1，0），由于补偿足够准确，可保证重复控制的稳定性。在高频段，单位圆的圆心左移，单位圆进入第Ⅱ、Ⅲ象限，只要C（z）P（z）在高频段增益足够小，系统仍可以保持稳定。

（2）抗干扰性能分析。根据图2，可得扰动信号作用下系统的闭环传递函数

设扰动信号的角频率为ωd，参考信号的角频率为ωr，若扰动信号的角频率为参考信号频率的整数倍，即ωd＝kωr（k＝1，2，…，N／2），则z-N＝1。当采用理想内模，即Q（z）＝1，式（10）变为：

式（11）表明，采用理想内模时，重复控制对于奈奎斯特频率以下的扰动信号可实现完全抑制。

而当Q（z）小于1 时，扰动信号衰减倍数

由式（12）可见，当采用非理想内模时，重复控制无法完全抑制扰动信号，而是衰减到原扰动信号幅值的倍。且Q（z）越接近于1，衰减倍数越多，重复控制对扰动的抑制能力越强。

（3）误差收敛分析。假设参考信号r（z）和扰动信号d（z）具有重复控制性，即每一个基波周期波形与上一个基波周期的波形完全相同。根据离散控制的滞后定理

对具有重复性的扰动信号，z-N＝1。当采用理想内模时，即Q（z）＝1，对式（6）整理可得：

式（14）表明，经过一个基波周期后，误差衰减为上个基波周期的H（z）倍。H（ejωTs）的模值越小，误差的衰减速度越快。由于H（ejωTs）为频率的函数，因此不同频率的谐波收敛速度不同。

（4）稳态误差分析。由式（6）可见，稳态误差由2部分构成，一部分是参考信号r（z）的跟踪误差，另一部分是扰动d（z）引起的误差。其中稳态误差的幅值

从式（15）可见，经重复控制器的调节后，稳态时无论是参考信号的跟踪误差r（ejωTs），还是周期性扰动引起的误差d（ejωTs），都将衰减为原来的

4 重复控制器设计

图2 所示的重复控制结构，由于重复控制器内模含有z-N，导致重复控制器的输出延迟一个基波周期。当突加参考信号或输出电压受到扰动时，重复控制无法快速做出响应，动态响应慢。可采用图4 所示的“嵌入式”重复控制结构，在使用重复控制器的基础上，进一步将参考信号进行前馈，提高系统的动态响应速度。

图4 “嵌入式”重复控制结构

重复控制器的设计主要包括：滤波器Q（z）、周期延迟环节z-N和补偿器C（z）。其中，最关键的是补偿器的选择以及参数设计。为保证系统的稳定，当重复控制器参数设计完毕，需对所设计的重复控制器进行稳定性校验。重复控制器的设计可按以下步骤进行：

步骤1 滤波器。Q（z）可为低通滤波器，也可以是小于1 的常数。本文将Q（z）的值设置为常数0.95。

步骤2 周期延迟环节。控制系统的采样周期Ts＝0.1 ms，逆变器输出电压基波周期T＝20 ms，则N＝T／Ts＝200，周期延迟环节为z-200。

步骤3 补偿器。两电平逆变器经LC 滤波器为负载供电时，逆变器的闭环传递函数

式中：滤波电感Lm＝4 mH；滤波电容Cf＝9.4 μF；滤波电感等效电阻Rm＝0.5 Ω。将以上参数代入式（16），可得：

采用零阶保持器对被控对象P（s）进行离散化

由图5 被控对象的伯德图可以看出，逆变器在谐振频率821 Hz处，谐振峰值为32.3 dB。为消除谐振峰，同时使被控对象P（s）在高频段快速衰减，补偿器C（z）的滤波器S（z）可选用FIR数字滤波器，或者将二阶低通滤波器与零相移陷波滤波器级联组合使用。本文采用后者，零相移陷波滤波器只在谐振频率处拥有很强的衰减能力，用以抵消谐振峰，而不会对其他频率段的增益产生影响。二阶低通滤波器主要是增强被控对象P（s）在高频段衰减特性，其截止频率不必设置得太低。

图5 被控对象P（s）的伯德图

在离散域的零相移陷波滤波器

S1（ω）在特定频率处产生较强衰减时，应满足

于是可得：

在频域的二阶低通滤波器

为实现对高频信号的衰减，二阶低通滤波器的阻尼比ξ≥0.707。本文阻尼比ξ 取为0.707，截止频率ωc设定在20 次谐波处，即6 283 rad／s，该二阶低通滤波器

对式（23）进行双线性变换，可得在离散域的二阶低通滤波器

故滤波器

图6 为S（z）P（z）的伯德图。被控对象P（z）经滤波器S（z）校正后，已无谐振峰，低频段的幅值基本为0 dB。中高频段，校正后的系统有较大的相位滞后，在频率为1 kHz处，相位滞后已经超过270°。为实现中低频段零相移，需要对其进行相位补偿。

图6 S（z）P（z）的伯德图

采用超前环节z3进行相位补偿，补偿后的伯德图如图7 所示。系统在中低频段的相位基本为0。在谐振频率处相位接近90°，校正后的系统在该频率处增益超过了-200 dB，依然可保证系统的稳定性。

图7 z3S（z）P（z）的伯德图

采样以及PWM 环节存在延迟，也需对其进行补偿，最终超前环节选用z5。当补偿器的增益Kr取为1时，补偿器

稳定性校验。根据所设计的重复控制器，可得如图8 所示的Q（z）-C（z）P（z）的奈奎斯特图，从零频到奈奎斯特频率（采样频率的一半），Q（z）-C（z）P（z）的幅值均小于1，因此系统是稳定的，所设计的重复控制器参数满足稳定性要求。

图8 Q（z）-C（z）P（z）的奈奎斯特图

5 仿真与实验验证

为验证控制策略的有效性，搭建实验平台，如图9 所示。信号处理电路由DSP ＋FPGA 构成，其中DSP芯片采用TMS320F28335，控制策略、过压过流保护均在该芯片中完成，FPGA 芯片采用SPARTANT6 XC6SLX9，用于PWM 控制信号的生成、电平保护逻辑、驱动电路的反馈信号检测。

图9 实验平台组成

Simulink搭建的仿真与实验室条件下搭建的小功率实验平台参数相同，见表1。

表1 重复控制的仿真参数

逆变器采用双闭环前馈解耦控制策略，A 相负载20 Ω、B相与C相均为负载10 Ω，仿真波形如图10、11所示，实验波形如图12 所示。由图10 显见，A相电压幅值明显高于B、C 相。由图12 的实验波形可见，A相电压的有效值为32.8 V，B 相25.89 V，C 相26.78 V，逆变器输出的三相电压不再对称。由图11中可见，输出电压中含有正序分量和负序分量，无零序分量。正序电压分量经过Park变换后为直流量，负序电压分量经过Park 变换后为两倍频分量。由内模原理可知，传统PI控制器只能对直流量实现稳态无静差跟踪。经过电压、电流双闭环控制后，负序电压分量依然存在，导致三相电压不对称。

图10 逆变器输出电压

图11 正序、负序、零序电压幅值

图12 逆变器采用前馈解耦控制且负载不平衡实验波形

当采用重复控制器后，仿真波形如图13、14 所示。由图可见，逆变器输出的三相电压依然对称，且正弦度很高，基波电压幅值为39.35 V，稳态误差很小，THD含量仅为0.54%。可见，当三相负载不平衡时，重复控制依然可以控制逆变器输出三相对称的电压。

图13 逆变器输出电压

图14 A相电压FFT分析

三相负载不平衡时，A 相负载20 Ω、B 相与C 相均为负载10 Ω，逆变器采用重复控制器时实验波形如图15 所示。在稳态时，逆变器三相输出电压的有效值分别为：28.40、28.82 和28.05 V，三相电压更加对称。由图16 可见，基波电压幅值为39.72 V，THD 为1.97%。可见，采用重复控制器可抑制输出电压中的负序分量，减小三相电压不平衡。